Аксессуары

Математический анализ для начинающих. Высшая математика для чайников, или с чего начать? Свойства операций над множествами

В категории Математический анализ собраны бесплатные онлайн видео уроки по этой теме. Математический анализ – это совокупность разделов математики, которые занимаются изучением функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчисления. Сюда относятся: функциональный анализ, включая теорию интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции, заданные на комплексной плоскости, теория рядов и многомерных интегралов, нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа, векторный анализ, а также вариационное исчисление. Изучение математического анализа по видео урокам будет полезно как для начинающих, так и для более опытных математиков. Видеоуроки из рубрики Математический анализ Вы можете смотреть бесплатно в любое удобное время. К некоторым видео урокам по математическому анализу приложены дополнительные материалы, которые можно скачать. Приятного Вам обучения!

Всего материалов: 12
Показано материалов: 1-10

Что такое производная функции

Хотите узнать, что такое производная функции в математике? Ты конечно много раз слышал о производной и даже, наверное, брал эту самую производную в школе, совершенно не понимая смысла своих действий. В этом видео я не буду учить тебя формулам, а объясню смысл производной на пальцах так, чтобы даже круглому чайнику было понятно. Но сначала тебе лучше посмотреть мое предыдущее видео, где я так же доступно рассказываю о функции. В этом видеоуроке мы просто, понятно и наглядных жизненных примерах...

Введение в анализ. Мощность множеств

Онлайн урок «Введение в анализ. Мощность множеств» посвящен вопросу о таком понятии как мощность множеств. Этот вопрос касается количественной характеристики множеств. Если множество конечно, то можно говорить о количестве его элементов. Но как быть с бесконечными множествами? Ведь в этом случае не будет понятия больше или меньше. Для решения этой задачи вводится такое понятие как мощность. Мощность - это инструмент количественного сравнения бесконечных множеств. В этом занятии дается...

Предел функции в точке - определение, примеры

В этом онлайн уроке рассказывается о таком понятии как предел функции в точке - определение, примеры. Большинство элементов исследования функций опираются на базовое понятие предела функции. Здесь будет рассмотрен предел функции в точке на простом примере, после чего будет дано строгое определение предела функции в точке с подробной иллюстрацией на графике для лучшего усвоения материала. На данном занятии также рассматриваются другие примеры, и сформулировано строгое определение односторонних...

Сходимость степенных рядов - пример как найти область сходимости, исследование

В этом видео уроке рассказывается о таком понятии как сходимость степенных рядов, пример как найти область сходимости, исследование. Степенной ряд - это частный случай функционального ряда, когда его членами являются степенные функции аргумента x. Область сходимости представляет собой все значения переменной x, при которых соответствующие числовые ряды сходятся. Для исследования можно использовать признак Даламбера и с помощью него показать, что степенной ряд сходится или расходится, и при...

Что такое первообразная

В этом видео я расскажу тебе про первообразную, которая является близкой родственницей производной. На самом деле ты про нее и так уже почти все знаешь, если посмотрел мои предыдущие видео, и нам осталось только расставить точки над i. Первообразная - это «родительская» функция для производной. Найти первообразную - это значит ответить на вопрос: а чей ребенок? Если известна дочка, то мы должны найти маму. Раньше мы наоборот искали дочку по заданной маме. Сейчас мы делаем обратный переход - от...

Геометрический смысл производной

В этом видео я расскажу про геометрический смысл производной. Ты узнаешь, что геометрический смысл производной состоит в том, что производная и угол наклона касательной - это почти одно и то же. Я говорю «почти» потому что производная равна тангенсу угла наклона касательной. Можно считать, что производная и наклон касательной - они тесно связаны. Если угол наклона большой, то и производная большая, а функция в этой точке резко возрастает. Если угол наклона маленький, то и производная маленькая...

Что такое функция в математике

Хотите узнать, что такое функция в математике? В этом видеоуроке мы просто и понятно, с использованием графических иллюстраций и на наглядных жизненных примерах расскажем, что такое функция, что такое ее аргумент, какие бывают функции (возрастающие, убывающие, смешанные), как можно задать функцию (с помощью графика, таблицы, формулы). Вы увидите, что зависимость, которая показывает, как одна величина связана с другой величиной, называется функцией. Любая функция - это связь между величинами...

Предел функции на бесконечности - определение, примеры

Урок «Предел функции на бесконечности - определение, примеры» посвящен вопросу о том, что такое пределы на бесконечности. Большинство элементарных функций определено для сколь угодно большого значения аргумента. В этом случае важно знать поведение функции на бесконечности. Один из элементов исследования такого поведения является нахождение предела функции на бесконечности. Хотя бесконечность не является числом, и ей не соответствует ни одна точка на числовой прямой, определение предела на...

Нагромождение страшных формул, пособия по высшей математике, которые откроешь и тут же закроешь, мучительные поиски решения казалось бы совсем простой задачи…. Подобная ситуация не редкость, особенно когда учебник по математике последний раз открывался в далеком 11 классе. А между тем, в ВУЗах учебные планы многих специальностей предусматривают изучение всеми любимой высшей математики. И в этой ситуации нередко ощущаешь себя полным чайником перед нагромождением ужасной математической абракадабры. Причем, похожая ситуация может сложиться при изучении любого предмета, особенно из цикла естественных наук.

Что делать? Для студента-очника всё значительно проще, если, конечно, предмет не сильно запущен. Можно проконсультироваться у преподавателя, одногруппников, да и просто списать у соседа по парте. Даже полный чайник в высшей математике при таких раскладах сессию переживет.

А если человек учится на заочном отделении ВУЗа, и высшая математика, мягко говоря, в будущем вряд ли потребуется? К тому же совсем нет времени на занятия. Так-то оно, в большинстве случаев так, но никто не отменял выполнение контрольных работ и сдачу экзамена (чаще всего, письменного). С контрольными работами по высшей математике все проще, чайник ты, или не чайник – контрольную работу по математике можно заказать . Например, у меня. И по остальным предметам тоже можно заказать. Уже не здесь. Но выполнение и сдача на рецензию контрольных работ еще не приведет к заветной записи в зачетной книжке. Часто бывает, что произведение искусства, выполненное на заказ, нужно защищать, и объяснить, почему из этих буковок следует вон та формула. Кроме того, предстоят экзамены, а там уже придется решать определители, пределы и производные САМОСТОЯТЕЛЬНО. Если, конечно, преподаватель не принимает ценные подарки, или нет нанятого доброжелателя за стенами аудитории.

Позвольте, дам очень важный совет. На зачетах, экзаменах по точным и естественным наукам ОЧЕНЬ ВАЖНО ХОТЬ ЧТО-ТО ПОНИМАТЬ. Запомните, ХОТЬ ЧТО-ТО. Полное отсутствие мыслительных процессов просто бесит преподавателя, мне известны случаи, когда студентов-заочников заворачивали по 5-6 раз. Помнится, один молодой человек сдавал контрольную работу 4 раза, и после каждой пересдачи обращался ко мне за бесплатной гарантийной консультацией. В конце концов, я заметил, что в ответе он вместо буквы «пи» писал букву «пэ», за что и последовали жесткие санкции со стороны рецензента. Студент ДАЖЕ НЕ ХОТЕЛ ВНИКАТЬ в задание, которое он небрежно переписал

Можно быть полным чайником в высшей математике, но крайне желательно знать, что производная константы равна нулю. Потому что, если Вы ответите какую-нибудь глупость на элементарный вопрос, то велика вероятность того, что на этом учеба в ВУЗе для Вас закончится. Преподаватели гораздо благосклоннее относятся к тому студенту, который ХОТЯ БЫ ПЫТАЕТСЯ разобраться в предмете, к тому, кто, пусть и ошибочно, но пробует что-либо решить, объяснить или доказать. И это утверждение справедливо для всех дисциплин. Поэтому следует решительно отмести позицию «я ничего не знаю, я ничего не понимаю».

Второй важный совет – ПОСЕЩАТЬ ЛЕКЦИИ, даже если их немного. Об этом я уже упоминал на главной странице сайта Математика для заочников . Повторяться нет смысла, почему это ОЧЕНЬ важно, читайте там.

Итак, что же делать, если на носу зачет, экзамен по высшей математике, а дела плачевны – состояние полного, а точнее говоря, пустого чайника?

Один из вариантов – нанять репетитора. С крупнейшей базой репетиторов можно ознакомиться (преимущественно, Москва) или (преимущественно, Санкт-Петербург). По поисковой системе вполне вероятно найти репетитора в своем городе, либо посмотреть местные рекламные газеты. Цена на услуги репетитора может варьироваться от 400 и более рублей за час в зависимости от квалификации преподавателя. Следует отметить, что дёшево – это не значит плохо, особенно если у Вас неплохая математическая подготовка. В то же время за 2-3К рублей Вы и получите НЕМАЛО. Зря таких денег никто не берёт, и напрасно таких денег никто не платит;-). Единственный важный момент – старайтесь выбрать репетитора с профильным педагогическим образованием. И в самом деле, мы же не ходим за юридической помощью к стоматологу.

В последнее время набирает популярность сервис онлайн репетиторов . Он очень удобен, когда необходимо срочно решить одну-две задачи, разобраться в теме или подготовиться к экзамену. Безусловным преимуществом являются цены, которые в несколько раз ниже, чем у оффлайн репетитора + экономия времени на проезд, что особенно актуально для жителей мегаполисов.

В курсе высшей математики некоторые вещи без репетитора освоить весьма трудно, нужно именно «живое» объяснение.

Тем не менее, во многих типах задач вполне можно разобраться самостоятельно, и, цель данного раздела сайта – научить Вас решать типовые примеры и задачи, которые практически всегда встречаются на экзаменах. Более того, для ряда заданий существуют «жёсткие» алгоритмы, где от правильного решения вообще «никуда не деться». И, в меру моих знаний, я попытаюсь Вам помочь, тем более есть педагогическое образование и опыт работы по специальности.

Начнем разгребать математические абракадабры. Ничего страшного, даже если Вы чайник, высшая математика – это действительно просто и действительно доступно.

А начать нужно с повторения школьного курса математики. Повторение – мать мучения.

Прежде чем, Вы приступите к изучению моих методических материалов, да и вообще приступите к изучению любых материалов по высшей математике, я НАСТОЯТЕЛЬНО РЕКОМЕНДУЮ, прочитать нижеследующее .

Для того чтобы успешно решать задачи по высшей математике НЕОБХОДИМО:

ЗАПАСИТЕСЬ МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРОМ.

Из программ – Эксель (отличный выбор!). Мануал для «чайников» я загрузил в библиотеку .

Есть? Уже хорошо.

– От перестановки слагаемых – сумма не меняется : .
А вот это совершенно разные вещи:

Переставлять «икс» и «четверку» просто так нельзя. Заодно вспоминаем культовую букву «икс», которая в математике обозначает неизвестную или переменную величину.

– От перестановки множителей – произведение не меняется : .
С делением такой фокус не пройдет, и – это две совершенно разные дроби и перестановка числителя со знаменателем без последствий не обходится.
Также вспоминаем, что знак умножения («точкy») чаще всего принято не писать: ,

– Вспоминаем правила раскрытия скобок :
– здесь знаки у слагаемых не меняются
– а здесь меняются на противоположные.
И для умножения:

Вообще, достаточно помнить, что ДВА МИНУСА ДАЮТ ПЛЮС , а ТРИ МИНУСА – ДАЮТ МИНУС . И, постараться при решении задач по высшей математике в этом НЕ ЗАПУТАТЬСЯ (очень частая и досадная ошибка).

– Вспоминаем приведение подобных слагаемых , Вы должны хорошо понимать следующее действие:

– Вспоминаем что такое степень :

, , , .

Степень – это всего лишь обычное умножение.

– Вспоминаем, что дроби можно сокращать : (сократили на 2), (сократили на пять), (сократили на ).

– Вспоминаем действия с дробями :

а также, очень важное правило приведения дробей к общему знаменателю:

Если данные примеры малопонятны, смотрите школьные учебники.
Без этого ТУГО будет.

СОВЕТ : все ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ вычисления в высшей математике лучше проводить в ОБЫКНОВЕННЫХ ПРАВИЛЬНЫХ И НЕПРАВИЛЬНЫХ ДРОБЯХ, даже если будут получаться страшные дроби вроде . Вот эту вот дробь НЕ НАДО представлять в виде , и, тем более, НЕ НАДО делить на калькуляторе числитель на знаменатель, получая 4,334552102….

ИСКЛЮЧЕНИЕМ из правила является конечный ответ задания, вот тогда как раз лучше записать или .

– Уравнение . У него есть левая часть и правая часть. Например:

Можно перенести любое слагаемое в другую часть, сменив у него знак :
Перенесем, например, все слагаемые в левую часть:

Или в правую:

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что "скучная теория" должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Примеры решений

Пример 1
Вычислить а) $ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} $; б)$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} $
Решение
а) $$ \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty $$ б)$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$ Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ \text{a)} \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty \text{ б)}\lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$

Что делать с неопределенностью вида: $ \bigg [\frac{0}{0} \bigg ] $

Пример 3
Решить $ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} $
Решение
Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела. $$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(-1)^2-1}{-1+1}=\frac{0}{0} $$ Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её :) Получаем, что числитель $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование: $$ \lim \limits_{x \to -1}\frac{x^2-1}{x+1} = \lim \limits_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = $$ $$ = \lim \limits_{x \to -1}(x-1)=-1-1=-2 $$
Ответ
$$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} = -2 $$

Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] $

Пример 5
Вычислить $ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} $
Решение
$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{\infty}{\infty} $ Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное - возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем... $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} =\lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2(1-\frac{1}{x^2})}{x(1+\frac{1}{x})} = $$ $$ = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x(1-\frac{1}{x^2})}{(1+\frac{1}{x})} = $$ Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем: $$ = \frac{\infty(1-\frac{1}{\infty})}{(1+\frac{1}{\infty})} = \frac{\infty \cdot 1}{1+0} = \frac{\infty}{1} = \infty $$
Ответ
$$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} = \infty $$

Алгоритм вычисления лимитов

Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:

Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: "ноль делить на ноль" или "бесконечность делить на бесконечность" и переходим к следующим пунктам инструкции.
Чтобы устранить неопределенность "ноль делить на ноль" нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
Если неопределенность "бесконечность делить на бесконечность", тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!