Производные высших порядков. Старт в науке Формула лейбница примеры решений
Решение прикладных задач сводится к вычислению интеграла, но не всегда это возможно сделать точно. Иногда необходимо знать значение определенного интеграла с некоторой степенью точности, к примеру, до тысячной.
Существуют задачи, когда следовало бы найти приближенное значение определенного интеграла с необходимой точностью, тогда применяют численное интегрирование такое, как метод Симпосна, трапеций, прямоугольников. Не все случаи позволяют вычислить его с определенной точностью.
Данная статья рассматривает применение формулы Ньютона-Лейбница. Это необходимо для точного вычисления определенного интеграла. Будут приведены подробные примеры, рассмотрены замены переменной в определенном интеграле и найдем значения определенного интеграла при интегрировании по частям.
Формула Ньютона-Лейбница
Определение 1Когда функция y = y (x) является непрерывной из отрезка [ a ; b ] ,а F (x) является одной из первообразных функции этого отрезка, тогда формула Ньютона-Лейбница считается справедливой. Запишем ее так ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .
Данную формулу считают основной формулой интегрального исчисления.
Чтобы произвести доказательство этой формулы, необходимо использовать понятие интеграла с имеющимся переменным верхним пределом.
Когда функция y = f (x) непрерывна из отрезка [ a ; b ] , тогда значение аргумента x ∈ a ; b , а интеграл имеет вид ∫ a x f (t) d t и считается функцией верхнего предела. Необходимо принять обозначение функции примет вид ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , она является непрерывной, причем для нее справедливо неравенство вида ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) .
Зафиксируем, что приращении функции Φ (x) соответствует приращению аргумента ∆ x , необходимо воспользоваться пятым основным свойством определенного интеграла и получим
Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) · x + ∆ x - x = f (c) · ∆ x
где значение c ∈ x ; x + ∆ x .
Зафиксируем равенство в виде Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . По определению производной функции необходимо переходить к пределу при ∆ x → 0 , тогда получаем формулу вида Φ " (x) = f (x) . Получаем, что Φ (x) является одной из первообразных для функции вида y = f (x) , расположенной на [ a ; b ] . Иначе выражение можно записать
F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , где значение C является постоянной.
Произведем вычисление F (a) с использованием первого свойства определенного интеграла. Тогда получаем, что
F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C , отсюда получаем, что C = F (a) . Результат применим при вычислении F (b) и получим:
F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) , иначе говоря, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . Равенство доказывает формулу Ньютона-Лейбница ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .
Приращение функции принимаем как F x a b = F (b) - F (a) . С помощью обозначения формулу Ньютона-Лейбница принимает вид ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .
Чтобы применить формулу, обязательно необходимо знать одну из первообразных y = F (x) подынтегральной функции y = f (x) из отрезка [ a ; b ] , произвести вычисление приращения первообразной из этого отрезка. Рассмотрим несколько примером вычисления, используя формулу Ньютона-Лейбница.
Пример 1
Произвести вычисление определенного интеграла ∫ 1 3 x 2 d x по формуле Ньютона-Лейбница.
Решение
Рассмотрим, что подынтегральная функция вида y = x 2 является непрерывной из отрезка [ 1 ; 3 ] , тогда и интегрируема на этом отрезке. По таблице неопределенных интегралов видим, что функция y = x 2 имеет множество первообразных для всех действительных значений x , значит, x ∈ 1 ; 3 запишется как F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Необходимо взять первообразную с С = 0 , тогда получаем, что F (x) = x 3 3 .
Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница и получим, что вычисление определенного интеграла примет вид ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .
Ответ: ∫ 1 3 x 2 d x = 26 3
Пример 2
Произвести вычисление определенного интеграла ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x по формуле Ньютона-Лейбница.
Решение
Заданная функция непрерывна из отрезка [ - 1 ; 2 ] , значит, на нем интегрируема. Необходимо найти значение неопределенного интеграла ∫ x · e x 2 + 1 d x при помощи метода подведения под знак дифференциала, тогда получаем ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C .
Отсюда имеем множество первообразных функции y = x · e x 2 + 1 , которые действительны для всех x , x ∈ - 1 ; 2 .
Необходимо взять первообразную при С = 0 и применить формулу Ньютона-Лейбница. Тогда получим выражение вида
∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Ответ: ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Пример 3
Произвести вычисление интегралов ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x и ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .
Решение
Отрезок - 4 ; - 1 2 говорит о том, что функция, находящаяся под знаком интеграла, является непрерывной, значит, она интегрируема. Отсюда найдем множество первообразных функции y = 4 x 3 + 2 x 2 . Получаем, что
∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C
Необходимо взять первообразную F (x) = 2 x 2 - 2 x , тогда, применив формулу Ньютона-Лейбница, получаем интеграл, который вычисляем:
∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28
Производим переход к вычислению второго интеграла.
Из отрезка [ - 1 ; 1 ] имеем, что подынтегральная функция считается неограниченной, потому как lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , тогда отсюда следует, что необходимым условием интегрируемости из отрезка. Тогда F (x) = 2 x 2 - 2 x не является первообразной для y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ - 1 ; 1 ] , так как точка O принадлежит отрезку, но не входит в область определения. Значит, что имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ - 1 ; 1 ] .
Ответ: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 , имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ - 1 ; 1 ] .
Перед использованием формулы Ньютона-Лейбница нужно точно знать о существовании определенного интеграла.
Замена переменной в определенном интеграле
Когда функция y = f (x) является определенной и непрерывной из отрезка [ a ; b ] , тогда имеющееся множество [ a ; b ] считается областью значений функции x = g (z) , определенной на отрезке α ; β с имеющейся непрерывной производной, где g (α) = a и g β = b , отсюда получаем, что ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z .
Данную формулу применяют тогда, когда нужно вычислять интеграл ∫ a b f (x) d x , где неопределенный интеграл имеет вид ∫ f (x) d x , вычисляем при помощи метода подстановки.
Пример 4
Произвести вычисление определенного интеграла вида ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .
Решение
Подынтегральная функция считается непрерывной на отрезке интегрирования, значит определенный интеграл имеет место на существование. Дадим обозначение, что 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Значение х = 9 , значит, что z = 2 · 9 - 9 = 9 = 3 , а при х = 18 получаем, что z = 2 · 18 - 9 = 27 = 3 3 , тогда g α = g (3) = 9 , g β = g 3 3 = 18 . При подстановке полученных значений в формулу ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z получаем, что
∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z
По таблице неопределенных интегралов имеем, что одна из первообразных функции 2 z 2 + 9 принимает значение 2 3 a r c t g z 3 . Тогда при применении формулы Ньютона-Лейбница получаем, что
∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18
Нахождение можно было производить, не используя формулу ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z .
Если при методе замены использовать интеграл вида ∫ 1 x 2 x - 9 d x , то можно прийти к результату ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .
Отсюда произведем вычисления по формуле Ньютона-Лейбница и вычислим определенный интеграл. Получаем, что
∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 · 18 - 9 3 - a r c t g 2 · 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18
Результаты совпали.
Ответ: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18
Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла
Если на отрезке [ a ; b ] определены и непрерывны функции u (x) и v (x) , тогда их производные первого порядка v " (x) · u (x) являются интегрируемыми, таким образом из этого отрезка для интегрируемой функции u " (x) · v (x) равенство ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x справедливо.
Формулу можно использовать тогда, необходимо вычислять интеграл ∫ a b f (x) d x , причем ∫ f (x) d x необходимо было искать его при помощи интегрирования по частям.
Пример 5
Произвести вычисление определенного интеграла ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .
Решение
Функция x · sin x 3 + π 6 интегрируема на отрезке - π 2 ; 3 π 2 , значит она непрерывна.
Пусть u (x) = х, тогда d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + π 6 d x , причем d (u (x)) = u " (x) d x = d x , а v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . Из формулы ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x получим, что
∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2
Решение примера можно выполнить другим образом.
Найти множество первообразных функции x · sin x 3 + π 6 при помощи интегрирования по частям с применением формулы Ньютона-Лейбница:
∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2
Ответ: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Производные высших порядков
На данном уроке мы научимся находить производные высших порядков, а также записывать общую формулу «энной» производной. Кроме того, будет рассмотрена формула Лейбница таковой производной и по многочисленным просьбам – производные высших порядков от неявно заданной функции . Предлагаю сразу же пройти мини-тест:
Вот функция: и вот её первая производная:
В том случае, если у вас возникли какие-либо трудности/недопонимание по поводу этого примера, пожалуйста, начните с двух базовых статей моего курса: Как найти производную? и Производная сложной функции . После освоения элементарных производных рекомендую ознакомиться с уроком Простейшие задачи с производной , на котором мы разобрались, в частности со второй производной .
Нетрудно даже догадаться, что вторая производная – это производная от 1-й производной:
В принципе, вторую производную уже считают производной высшего порядка.
Аналогично: третья производная – это производная от 2-й производной:
Четвёртная производная – есть производная от 3-й производной:
Пятая производная: , и очевидно, что все производные более высоких порядков тоже будут равны нулю:
Помимо римской нумерации на практике часто используют следующие обозначения:
, производную же «энного» порядка обозначают через . При этом надстрочный индекс нужно обязательно заключать в скобки
– чтобы отличать производную от «игрека» в степени.
Иногда встречается такая запись: – третья, четвёртая, пятая, …, «энная» производные соответственно.
Вперёд без страха и сомнений:
Пример 1
Дана функция . Найти .
Решение
: что тут попишешь… – вперёд за четвёртой производной:)
Четыре штриха ставить уже не принято, поэтому переходим на числовые индексы:
Ответ :
Хорошо, а теперь задумаемся над таким вопросом: что делать, если по условию требуется найти не 4-ю, а например, 20-ю производную? Если для производной 3-4-5-го (максимум, 6-7-го) порядка решение оформляется достаточно быстро, то до производных более высоких порядков мы «доберёмся» ой как не скоро. Не записывать же, в самом деле, 20 строк! В подобной ситуации нужно проанализировать несколько найдённых производных, увидеть закономерность и составить формулу «энной» производной . Так, в Примере №1 легко понять, что при каждом следующем дифференцировании перед экспонентой будет «выскакивать» дополнительная «тройка», причём на любом шаге степень «тройки» равна номеру производной, следовательно:
Где – произвольное натуральное число.
И действительно, если , то получается в точности 1-я производная: , если – то 2-я: и т.д. Таким образом, двадцатая производная определяется мгновенно: – и никаких «километровых простыней»!
Разогреваемся самостоятельно:
Пример 2
Найти функции . Записать производную порядка
Решение и ответ в конце урока.
После бодрящей разминки рассмотрим более сложные примеры, в которых отработаем вышеприведённый алгоритм решения. Тем, кто успел ознакомиться с уроком Предел последовательности , будет чуть легче:
Пример 3
Найти для функции .
Решение
: чтобы прояснить ситуацию найдём несколько производных:
Полученные числа перемножать не спешим! ;-)
Пожалуй, хватит. …Даже немного переборщил.
На следующем шаге лучше всего составить формулу «энной» производной (коль скоро, условие этого не требует, то можно обойтись черновиком) . Для этого смотрим на полученные результаты и выявляем закономерности, с которыми получается каждая следующая производная.
Во-первых, они знакочередуются. Знакочередование обеспечивает «мигалка» , и поскольку 1-я производная положительна, то в общую формулу войдёт следующий множитель: . Подойдёт и эквивалентный вариант , но лично я, как оптимист, люблю знак «плюс» =)
Во-вторых, в числителе «накручивается» факториал , причём он «отстаёт» от номера производной на одну единицу:
И в-третьих, в числителе растёт степень «двойки», которая равна номеру производной. То же самое можно сказать о степени знаменателя. Окончательно:
В целях проверки подставим парочку значений «эн», например, и :
Замечательно, теперь допустить ошибку – просто грех:
Ответ :
Более простая функция для самостоятельного решения:
Пример 4
Найти функции .
И задачка позанятнее:
Пример 5
Найти функции .
Ещё раз повторим порядок действий:
1) Сначала находим несколько производных. Чтобы уловить закономерности обычно хватает трёх-четырёх.
2) Затем настоятельно рекомендую составить (хотя бы на черновике) «энную» производную – она гарантированно убережёт от ошибок. Но можно обойтись и без , т.е. мысленно прикинуть и сразу записать, например, двадцатую или восьмую производную. Более того, некоторые люди вообще способны решить рассматриваемые задачи устно. Однако следует помнить, что «быстрые» способы чреваты, и лучше перестраховаться.
3) На заключительном этапе выполняем проверку «энной» производной – берём пару значений «эн» (лучше соседних) и выполняем подстановку. А ещё надёжнее – проверить все найдённые ранее производные. После чего подставляем в нужное значение, например, или и аккуратно причёсываем результат.
Краткое решение 4 и 5-го примеров в конце урока.
В некоторых задачах, во избежание проблем, над функцией нужно немного поколдовать:
Пример 6
Решение : дифференцировать предложенную функцию совсем не хочется, поскольку получится «плохая» дробь, которая сильно затруднит нахождение последующих производных.
В этой связи целесообразно выполнить предварительные преобразования: используем формулу разности квадратов и свойство логарифма :
Совсем другое дело:
И старые подруги:
Думаю, всё просматривается. Обратите внимание, что 2-я дробь знакочередуется, а 1-я – нет. Конструируем производную порядка:
Контроль:
Ну и для красоты вынесем факториал за скобки:
Ответ :
Интересное задание для самостоятельного решения:
Пример 7
Записать формулу производной порядка для функции
А сейчас о незыблемой круговой поруке, которой позавидует даже итальянская мафия:
Пример 8
Дана функция . Найти
Восемнадцатая производная в точке . Всего-то.
Решение
: сначала, очевидно, нужно найти . Поехали:
С синуса начинали, к синусу и пришли. Понятно, что при дальнейшем дифференцировании этот цикл будет продолжаться до бесконечности, и возникает следующий вопрос: как лучше «добраться» до восемнадцатой производной?
Способ «любительский»: быстренько записываем справа в столбик номера последующих производных:
Таким образом:
Но это работает, если порядок производной не слишком велик. Если же надо найти, скажем, сотую производную, то следует воспользоваться делимостью на 4 . Сто делится на 4 без остатка, и легко видеть, что таковые числа располагаются в нижней строке, поэтому: .
Кстати, 18-ю производную тоже можно определить из аналогичных соображений:
во второй строке находятся числа, которые делятся на 4 с остатком 2.
Другой, более академичный метод основан на периодичности синуса
и формулах приведения
. Пользуемся готовой формулой «энной» производной синуса , в которую просто подставляется нужный номер. Например:
(формула приведения
)
;
(формула приведения
)
В нашем случае:
(1) Поскольку синус – это периодическая функция с периодом , то у аргумента можно безболезненно «открутить» 4 периода (т.е. ).
Производную порядка от произведения двух функций можно найти по формуле:
В частности:
Специально запоминать ничего не надо, ибо, чем больше формул знаешь – тем меньше понимаешь. Гораздо полезнее ознакомиться с биномом Ньютона , поскольку формула Лейбница очень и очень на него похожа. Ну а те везунчики, которым достанется производная 7-го либо более высоких порядков (что, правда, маловероятно) , будут вынуждены это сделать. Впрочем, когда черёд дойдёт до комбинаторики – то всё равно придётся =)
Найдём третью производную функции . Используем формулу Лейбница:
В данном случае: . Производные легко перещёлкать устно:
Теперь аккуратно и ВНИМАТЕЛЬНО выполняем подстановку и упрощаем результат:
Ответ :
Аналогичное задание для самостоятельного решения:
Пример 11
Найти функции
Если в предыдущем примере решение «в лоб» ещё конкурировало с формулой Лейбница, то здесь оно уже будет действительно неприятным. И ещё неприятнее – в случае более высокого порядка производной:
Пример 12
Найти производную указанного порядка
Решение : первое и существенное замечание – решать вот так , наверное, не нужно =) =)
Запишем функции и найдём их производные до 5-го порядка включительно. Предполагаю, что производные правого столбца стали для вас устными:
В левом же столбце «живые» производные быстро «закончились» и это очень хорошо – в формуле Лейбница обнулятся три слагаемых:
Вновь остановлюсь на дилемме, которая фигурировала в статье о сложных производных : упрощать ли результат? В принципе, можно оставить и так – преподавателю будет даже легче проверять. Но он может потребовать довести решение до ума. С другой стороны, упрощение по собственной инициативе чревато алгебраическими ошибками. Однако у нас есть ответ, полученный «первобытным» способом =) (см. ссылку в начале) , и я надеюсь, он правильный:
Отлично, всё сошлось.
Ответ :
Счастливое задание для самостоятельного решения:
Пример 13
Для функции :
а) найти непосредственным дифференцированием;
б) найти по формуле Лейбница;
в) вычислить .
Нет, я вовсе не садист – пункт «а» здесь достаточно прост =)
А если серьёзно, то «прямое» решение последовательным дифференцированием тоже имеет «право на жизнь» – в ряде случаев его сложность сопоставима со сложностью применения формулы Лейбница. Используйте, если сочтёте целесообразным – это вряд ли будет основанием для незачёта задания.
Краткое решение и ответ в конце урока.
Чтобы поднять заключительный параграф нужно уметь дифференцировать неявные функции :
Производные высших порядков от функций, заданных неявно
Многие из нас потратили долгие часы, дни и недели жизни на изучение окружностей , парабол , гипербол – а иногда это вообще казалось сущим наказанием. Так давайте же отомстим и продифференцируем их как следует!
Начнём со «школьной» параболы в её каноническом положении :
Пример 14
Дано уравнение . Найти .
Решение
: первый шаг хорошо знаком:
То, что функция и её производная выражены неявно сути дела не меняет, вторая производная – это производная от 1-й производной:
Однако свои правила игры существуют: производные 2-го и более высоких порядков принято выражать только через «икс» и «игрек»
. Поэтому в полученную 2-ю производную подставим :
Третья производная – есть производная от 2-й производной:
Аналогично, подставим :
Ответ :
«Школьная» гипербола в каноническом положении – для самостоятельной работы:
Пример 15
Дано уравнение . Найти .
Повторяю, что 2-ю производную и результат следует выразить только через «икс»/«игрек»!
Краткое решение и ответ в конце урока.
После детских шалостей посмотрим немецкую поpнoгр@фию рассмотрим более взрослые примеры, из которых узнаем ещё один важный приём решения:
Пример 16
Эллипс собственной персоной.
Решение
: найдём 1-ю производную:
А теперь остановимся и проанализируем следующий момент: сейчас предстоит дифференцировать дробь, что совсем не радует. В данном случае она, конечно, проста, но в реально встречающихся задачах таких подарков раз два и обчёлся. Существует ли способ избежать нахождения громоздкой производной? Существует! Берём уравнение и используем тот же самый приём, что и при нахождении 1-й производной – «навешиваем» штрихи на обе части:
Вторая производная должна быть выражена только через и , поэтому сейчас (именно сейчас)
удобно избавиться от 1-й производной. Для этого в полученное уравнение подставим :
Чтобы избежать лишних технических трудностей, умножим обе части на :
И только на завершающем этапе оформляем дробь:
Теперь смотрим на исходное уравнение и замечаем, что полученный результат поддаётся упрощению:
Ответ :
Как найти значение 2-й производной в какой-либо точке (которая, понятно, принадлежит эллипсу)
, например, в точке ? Очень легко! Этот мотив уже встречался на уроке об уравнении нормали
: в выражение 2-й производной нужно подставить :
Безусловно, во всех трёх случаях можно получить явно заданные функции и дифференцировать их, но тогда морально настройтесь работать с двумя функциями, которые содержат корни. На мой взгляд, решение удобнее провести «неявным путём».
Заключительный пример для самостоятельного решения:
Пример 17
Найти неявно заданной функции
Приводится формула Лейбница для вычисления n-й производной произведения двух функций. Дано ее доказательство двумя способами. Рассмотрен пример вычисления производной n-го порядка.
СодержаниеСм. также: Производная произведения двух функций
Формула Лейбница
С помощью формулы Лейбница можно вычислить производную n-го порядка от произведения двух функций. Она имеет следующий вид:
(1)
,
где
- биномиальные коэффициенты.
Биномиальные коэффициенты являются коэффициентами разложения бинома по степеням и :
.
Также число является числом сочетаний из n
по k
.
Доказательство формулы Лейбница
Применим формулу производной произведения двух функций :
(2)
.
Перепишем формулу (2) в следующем виде:
.
То есть мы считаем, что одна функция зависит от переменной x
,
а другая - от переменной y
.
В конце расчета мы полагаем .
Тогда предыдущую формулу можно записать так:
(3)
.
Поскольку производная равна сумме членов, и каждый член является произведением двух функций, то для вычисления производных высших порядков, можно последовательно применять правило (3).
Тогда для производной n-го порядка имеем:
.
Учитывая, что и ,
мы получаем формулу Лейбница:
(1)
.
Доказательство методом индукции
Приведем доказательство формулы Лейбница методом математической индукции.
Еще раз выпишем формулу Лейбница:
(4)
.
При n = 1 имеем:
.
Это формула производной произведения двух функций. Она справедлива.
Предположим, что формула (4) справедлива для производной n -го порядка. Докажем, что она справедлива для производной n + 1 -го порядка.
Дифференцируем (4):
;
.
Итак, мы нашли:
(5)
.
Подставим в (5) и учтем, что :
.
Отсюда видно, что формула (4) имеет тот же вид и для производной n + 1
-го порядка.
Итак, формула (4) справедлива при n = 1
.
Из предположения, что она выполняется, для некоторого числа n = m
следует, что она выполняется для n = m + 1
.
Формула Лейбница доказана.
Пример
Вычислить n-ю производную функции
.
Применим формулу Лейбница
(2)
.
В нашем случае
;
.
По таблице производных имеем:
.
Применяем свойства тригонометрических функций :
.
Тогда
.
Отсюда видно, что дифференцирование функции синус приводит к ее сдвигу на .
Тогда
.
Находим производные от функции .
;
;
;
,
.
Поскольку при ,
то в формуле Лейбница отличны от нуля только первые три члена. Находим биномиальные коэффициенты.
;
.
По формуле Лейбница имеем:
.