Linii perpendiculare în spațiu. Linie și plan perpendicular, semn și condiții de perpendicularitate a dreptei și planului Perechi de drepte perpendiculare

Liniile perpendiculare apar în aproape orice problemă geometrică. Uneori, perpendicularitatea liniilor este cunoscută din condiție, iar în alte cazuri, perpendicularitatea liniilor trebuie dovedită. Pentru a demonstra perpendicularitatea a două drepte, este suficient să arăți, folosind orice metode geometrice, că unghiul dintre drepte este egal cu nouăzeci de grade.

Cum să răspund la întrebarea „dreptele sunt perpendiculare” dacă sunt cunoscute ecuațiile care definesc aceste drepte pe un plan sau în spațiul tridimensional?

Pentru a face acest lucru ar trebui să utilizați condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea a două drepte. Să o formulăm sub forma unei teoreme.

Teorema.

oŞi b este necesar şi suficient ca vectorul direcţie să fie drept o a fost perpendiculară pe vectorul direcție al dreptei b.

Dovada acestei condiții pentru perpendicularitatea dreptelor se bazează pe definirea vectorului de direcție al dreptei și pe definirea dreptelor perpendiculare.

Să adăugăm detalii.

Să fie introdus în plan un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare Oxy iar ecuațiile unei drepte pe un plan de un anumit tip sunt date, definind dreptele oŞi b. Să notăm vectorii de direcție ai dreptelor OŞi b ca si in consecinta. Prin ecuații de drepte oŞi b putem determina coordonatele vectorilor de direcție ai acestor drepte - obținem și . Apoi, pentru perpendicularitatea liniilor oŞi b Este necesar și suficient ca condiția de perpendicularitate a vectorilor și să fie satisfăcută, adică pentru produsul scalar al vectorilor și să fie egal cu zero: .

Aşa, oŞi bîntr-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyîn avion are forma , unde și sunt vectorii de direcție ai liniilor oŞi b respectiv.

Această condiție este convenabilă de utilizat atunci când coordonatele vectorilor de direcție ai liniilor drepte sunt ușor de găsit și, de asemenea, atunci când liniile drepte oŞi b corespund ecuațiilor canonice ale unei drepte pe un plan sau ecuațiilor parametrice ale unei drepte pe un plan.

Exemplu.

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxy se acordă trei puncte. Liniile sunt perpendiculare? ABŞi AC?

Soluţie.

Vectorii și sunt vectorii de direcție ai liniilor ABŞi AC. Referindu-ne la coordonatele articolului unui vector bazat pe coordonatele punctelor sale de început și de sfârșit, calculăm . Vectori și sunt perpendiculare, deoarece . Astfel, este îndeplinită condiția necesară și suficientă pentru perpendicularitatea liniilor ABŞi AC. Prin urmare, drept ABŞi AC perpendicular.

Răspuns:

Da, liniile drepte sunt perpendiculare.

Exemplu.

Sunt cei drepti și perpendicular?

Soluţie.

Vectorul de direcție este o linie dreaptă și este vectorul de direcție al unei linii drepte . Să calculăm produsul scalar al vectorilor și: . Este diferit de zero, prin urmare, vectorii de direcție ai liniilor nu sunt perpendiculari. Adică condiția de perpendicularitate a liniilor nu este îndeplinită, prin urmare, liniile originale nu sunt perpendiculare.

Răspuns:

nu, liniile nu sunt perpendiculare.

De asemenea, condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea liniilor oŞi bîntr-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyzîn spaţiul tridimensional are forma , Unde Şi - vectorii de direcție ai liniilor drepte oŞi b respectiv.

Exemplu.

Sunt linii definite într-un sistem de coordonate dreptunghiular perpendiculare? Oxyzîn spaţiul tridimensional prin ecuaţii Și?

Soluţie.

Numerele din numitorii ecuațiilor canonice ale unei linii din spațiu sunt coordonatele corespunzătoare ale vectorului de direcție al dreptei. Și coordonatele vectorului de direcție al dreptei, care este specificat de ecuațiile parametrice ale dreptei în spațiu, sunt coeficienții parametrului. Astfel, și sunt vectorii de direcție ai dreptelor date. Să aflăm dacă sunt perpendiculare: . Deoarece produsul scalar este zero, acești vectori sunt perpendiculari. Aceasta înseamnă că condiția de perpendicularitate a dreptelor date este îndeplinită.

Răspuns:

liniile drepte sunt perpendiculare.

Pentru a verifica perpendicularitatea a două drepte într-un plan, există și alte condiții necesare și suficiente pentru perpendicularitate.

Teorema.

Pentru perpendicularitatea liniilor oŞi b pe plan este necesar și suficient ca vectorul normal să fie o dreaptă o a fost perpendicular pe vectorul normal al dreptei b.

Condiția declarată de perpendicularitate a liniilor este convenabilă de utilizat dacă, folosind ecuațiile date de drepte, coordonatele vectorilor normali ai liniilor pot fi găsite cu ușurință. Această afirmație corespunde ecuației generale în linie dreaptă a formei , ecuația unei drepte în segmente și ecuația unei drepte cu coeficient de unghi.

Exemplu.

Asigurați-vă că este drept și perpendiculară.

Soluţie.

Având în vedere ecuațiile de linii, este ușor de găsit coordonatele vectorilor normali ai acestor drepte. – vector linie normală . Să rescriem ecuația sub forma , de unde sunt vizibile coordonatele vectorului normal al acestei linii: .

Vectorii și sunt perpendiculari, deoarece produsul lor scalar este egal cu zero: . Astfel, este îndeplinită condiția necesară și suficientă pentru perpendicularitatea dreptelor date, adică acestea sunt cu adevărat perpendiculare.

În special, dacă este direct o pe plan determină ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular de forma , iar linia dreaptă b– de forma , atunci vectorii normali ai acestor drepte au coordonatele și, respectiv, iar condiția de perpendicularitate a acestor drepte se reduce la următoarea relație între coeficienții unghiulari .

Exemplu.

Liniile și perpendiculare sunt?

Soluţie.

Panta unei drepte este egală cu , iar panta unei drepte este egală cu . Produsul coeficienților unghiulari este egal cu minus unu, prin urmare dreptele sunt perpendiculare.

Răspuns:

dreptele date sunt perpendiculare.

Mai poate fi formulată o condiție pentru perpendicularitatea dreptelor pe un plan.

Teorema.

Pentru perpendicularitatea liniilor oŞi b pe un plan este necesar și suficient ca vectorul direcție al unei linii și vectorul normal al celei de-a doua drepte să fie coliniari.

Această condiție este, evident, convenabilă de utilizat atunci când coordonatele vectorului de direcție al unei linii și coordonatele vectorului normal al celei de-a doua linii sunt ușor de găsit, adică atunci când o linie este dată de o ecuație canonică sau de ecuații parametrice ale unei linii. pe un plan, iar al doilea fie printr-o ecuație generală a unei drepte, fie printr-o ecuație a unei linii în segmente, fie prin ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular.

Exemplu.

Sunt drepte și perpendiculare?

Soluţie.

Evident, este vectorul normal al dreptei și este vectorul de direcție al dreptei. Vectorii și nu sunt coliniari, deoarece pentru ei nu este îndeplinită condiția de coliniaritate a doi vectori (nu există un astfel de număr real t, la care). Prin urmare, liniile date nu sunt perpendiculare.

Răspuns:

liniile nu sunt perpendiculare.

21. Distanța de la un punct la o dreaptă.

Distanța de la un punct la o linie este determinată de distanța de la punct la punct. Să arătăm cum se face.

Să fie dată o dreaptă pe un plan sau într-un spațiu tridimensional oși punct M 1, nu pe o linie dreaptă o. Să tragem prin punct M 1 direct b, perpendicular pe linie o. Să notăm punctul de intersecție al dreptelor oŞi b Cum H 1. Segment M1H1 numit perpendicular, tras din punct M 1 la o linie dreaptă o.

Definiţie.

Distanța de la punct M 1 la o linie dreaptă o numiți distanța dintre puncte M 1Şi H 1.

Cu toate acestea, cea mai comună definiție a distanței de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei.

Definiţie.

Distanța de la punct la linie este lungimea perpendicularei trasate de la un punct dat la o dreaptă dată.

Această definiție este echivalentă cu prima definiție a distanței de la un punct la o linie.

Vă rugăm să rețineți că distanța de la un punct la o linie este cea mai mică dintre distanța de la acest punct la punctele unei linii date. Să o arătăm.

Să o luăm pe linie dreaptă o punct Q, care nu coincide cu punctul M 1. Segment M 1 Q numit înclinat, tras din punct M 1 la o linie dreaptă o. Trebuie să arătăm că perpendiculara trasă din punct M 1 la o linie dreaptă o, mai mică decât orice pantă trasată din punct M 1 la o linie dreaptă o. Este adevărat: un triunghi M 1 QH 1 dreptunghiular cu ipotenuza M 1 Q, iar lungimea ipotenuzei este întotdeauna mai mare decât lungimea oricăruia dintre catete, prin urmare, .

22. Planul în spațiul R3. Ecuația unui plan.

Un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian poate fi dat de ecuația, care se numeste ecuație generală avion.

Definiţie. Vectorul este perpendicular pe plan și se numește al său vector normal.

Dacă într-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt cunoscute coordonatele a trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă, atunci ecuația planului se scrie astfel: .

După ce am calculat acest determinant, obținem ecuația generală a planului.

Exemplu. Scrieți ecuația planului care trece prin puncte.

Soluţie:

Ecuația plană: .

23. Studiul ecuaţiei generale a planului.

Definiția 2. Orice vector perpendicular pe un plan se numește vector normal al acelui plan.

Dacă se cunoaşte un punct fix M 0 (x 0 , y 0 , z 0), situat într-un plan dat și vectorul perpendicular pe un plan dat, apoi ecuația planului care trece prin punctul M 0 (x 0 , y 0 , z 0), perpendicular pe vector, are forma

O(x-x 0)+B(a-a 0)+C(z-z 0)= 0. (3.22)

Să arătăm că ecuația (3.22) este ecuația generală a planului (3.21). Pentru a face acest lucru, deschideți parantezele și puneți termenul liber între paranteze:

.Ax + By+ Cz +(-Topor 0 -De-Cz 0)= 0

După ce a desemnat D = -Topor 0 -De-Cz 0, obținem ecuația Ax + By + Cz + D= 0.

Sarcina 1. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin punctul A, perpendicular pe vector, dacă O(4, -3, 1), B(1, 2, 3).

Soluţie. Să găsim vectorul normal al planului:

Pentru a găsi ecuația planului folosim ecuația (3.22):

Răspuns: -3x + 5y + 2z + 25 = 0.

Sarcina 2. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct M 0 (-1, 2, -1), perpendicular pe ax OZ.

Soluţie. Ca vector normal al planului dorit, puteți lua orice vector situat pe axa OZ, de exemplu, , apoi ecuația planului

Răspuns: z + 1 = 0.

24. Distanța de la un punct la un plan.

Distanța de la un punct la un plan este determinată prin distanța de la un punct la un punct, dintre care unul este un punct dat, iar celălalt este proiecția unui punct dat pe un plan dat.

Fie dat un punct în spațiul tridimensional M 1 si avionul. Să tragem prin punct M 1 direct o, perpendicular pe plan. Să notăm punctul de intersecție al dreptei oși avioane ca H 1. Segment M1H1 numit perpendicular, a scăzut din punct M 1 la un avion și la un punct H 1 – baza perpendicularei.

Definiţie.

este distanța de la un punct dat la baza unei perpendiculare trasate dintr-un punct dat la un plan dat.

Cea mai comună definiție a distanței de la un punct la un plan este următoarea.

Definiţie.

Distanța de la punct la plan este lungimea perpendicularei trasate dintr-un punct dat pe un plan dat.

Trebuie remarcat faptul că distanța de la punct M 1 faţă de plan, definit în acest fel, este cea mai mică dintre distanţele de la un punct dat M 1în orice punct al avionului. Într-adevăr, lăsați punctul H 2 se află în plan și este diferit de punct H 1. Evident, un triunghi M2H1H2 este dreptunghiulară, în el M1H1– picior, și M1H2– ipotenuza, prin urmare, . Apropo, segmentul M1H2 numit înclinat, tras din punct M 1 spre avion. Deci, o perpendiculară trasată dintr-un punct dat pe un plan dat este întotdeauna mai mică decât una înclinată trasată din același punct către un plan dat.

Dacă o dreaptă trece prin două puncte date , apoi ea ecuaţie scris sub forma : .

Definiţie. Vectorul este numit ghiduri vector al unei drepte dacă este paralelă sau îi aparține.

Exemplu. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin două puncte date .

Rezolvare: Folosim formula generală a unei drepte care trece prin două puncte date: - ecuația canonică a unei drepte care trece prin puncte și . Vectorul este un vector cu direcție dreaptă.

26. Poziția relativă a dreptelor în spațiul R3.

Să trecem la opțiuni pentru poziția relativă a două linii în spațiu.

În primul rând, două drepte pot coincide, adică au infinit de puncte comune (cel puțin două puncte comune).

În al doilea rând, două linii din spațiu se pot intersecta, adică au un punct comun. În acest caz, aceste două linii se află într-un anumit plan al spațiului tridimensional. Dacă două drepte se intersectează în spațiu, atunci ajungem la conceptul de unghi între liniile care se intersectează.

În al treilea rând, două linii în spațiu pot fi paralele. În acest caz, ele se află în același plan și nu au puncte comune. Vă recomandăm să studiați articolul linii paralele, paralelism de linii.

După ce am dat definiția dreptelor paralele în spațiu, ar trebui să vorbim despre vectorii de direcție ai unei drepte datorită importanței lor. Orice vector diferit de zero situat pe această linie sau pe o linie paralelă cu aceasta va fi numit vector de direcție al dreptei. Vectorul direcție al unei linii drepte este foarte des folosit la rezolvarea problemelor care implică o linie dreaptă în spațiu.

În cele din urmă, două linii din spațiul tridimensional se pot intersecta. Două drepte din spațiu se numesc înclinate dacă nu se află în același plan. Această aranjare reciprocă a două drepte în spațiu ne conduce la conceptul de unghi între linii drepte care se intersectează.

De o importanță practică deosebită este cazul când unghiul dintre liniile care se intersectează sau se încrucișează în spațiul tridimensional este egal cu nouăzeci de grade. Astfel de drepte se numesc perpendiculare (vezi articolul linii perpendiculare, perpendicularitatea dreptelor).

27. Poziția relativă a unei drepte și a unui plan în spațiul R3.

O linie dreaptă poate să se afle pe un plan dat, să fie paralelă cu un plan dat sau să o intersecteze într-un punct, vezi următoarele figuri.

Dacă , atunci aceasta înseamnă că . Și acest lucru este posibil numai atunci când linia dreaptă se află pe plan sau este paralelă cu acesta. Dacă o dreaptă se află pe un plan, atunci orice punct de pe linie este un punct pe plan și coordonatele oricărui punct de pe linie satisfac ecuația planului. Prin urmare, este suficient să verificați dacă punctul se află pe plan. Dacă , atunci punct - se află pe plan, ceea ce înseamnă că linia dreaptă în sine se află pe plan.

Dacă , a , atunci punctul de pe dreaptă nu se află pe plan, ceea ce înseamnă că linia este paralelă cu planul.

Teorema este demonstrată.

Înapoi Înainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Ţintă: să cunoască, să înțeleagă și să fie capabil să aplice semnul de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan.

Sarcini:

• repetați definițiile perpendicularității dreptelor, dreptelor și planelor.
• repetă afirmații despre perpendicularitatea dreptelor paralele.
• familiarizați-vă cu semnul de perpendicularitate al unei drepte și al unui plan.
• înţelege necesitatea folosirii semnului de perpendicularitate pe o dreaptă şi un plan.
• să poată găsi date care vă permit să aplicați semnul perpendicularității unei drepte și unui plan.
• antrenează atenția, acuratețea, gândirea logică, imaginația spațială.
• cultivă simțul responsabilității.

Echipament: computer, proiector, ecran.

Planul de lecție

1. Moment organizatoric. (informați subiectul, motivația, formulați scopul lecției)

2. Repetarea materialului studiat anterior și a teoremelor (actualizarea cunoștințelor anterioare ale elevilor: formularea de definiții și teoreme cu explicație ulterioară sau aplicare pe desenul finit).

3. Studierea materialelor noi ca asimilare de noi cunoștințe (formulare, demonstrare).

4. Consolidare primară (munca frontală, autocontrol).

5. Control repetat (lucrare urmată de verificare reciprocă).

6. Reflecție.

7. Tema pentru acasă.

8. Rezumând.

Progresul lecției

1. Moment organizatoric

Raportați subiectul lecției (diapozitivul 1): Semnul perpendicularității unei drepte și a unui plan

Motivație: în ultima lecție am dat definiția unei drepte perpendiculare pe un plan, dar nu este întotdeauna convenabil să o aplici (diapozitivul 2).

Formularea scopului: să cunoască, să înțeleagă și să fie capabil să aplice semnul perpendicularității la o dreaptă și un plan (diapozitivul 3)

2. Repetarea materialului studiat anterior

Profesor: Să ne amintim ce știm deja despre perpendicularitatea în spațiu.

Dictare matematică cu autotest pas cu pas.

Desenați un cub ABCDA'B'C'D' în caiet.

Fiecare sarcină implică formularea verbală și înregistrarea exemplului tău într-un caiet.

1. Formulați definiția dreptelor perpendiculare.

Dați un exemplu într-un desen al unui cub (diapozitivul 4).

2. Formulați o lemă despre perpendicularitatea a două drepte paralele pe o a treia.

Demonstrați că AA' este perpendicular pe DC (diapozitivul 5).

3. Formulați definiția unei drepte perpendiculare pe un plan.

Numiți o dreaptă perpendiculară pe planul bazei cubului. (diapozitivul 6)

4. Formulaţi teoreme care să stabilească legătura dintre paralelismul dreptelor şi perpendicularitatea acestora pe plan. (diapozitivul 7)

5. Rezolvați problema #1. (diapozitivul 8)

Aflați unghiul dintre liniile drepte FO și AB, dacă ABCDA’B’C’D’ este un cub, punctul O este punctul de intersecție al diagonalelor bazei, F este mijlocul lui A’C.

6. Revizuirea temei nr. 119 (diapozitivul 9) (oral)

Luați în considerare diferite soluții: prin demonstrarea egalității triunghiurilor dreptunghiulare și a proprietății unui triunghi isoscel.

Enunțarea problemei

Luați în considerare adevărul afirmației:

• O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă situată în acest plan.
• O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe niște drepte paralele aflate în acest plan. (diapozitivul 10-11)

3. Învățarea de materiale noi

Elevii oferă opțiuni pentru semn.

Se formulează semnul de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan (diapozitivul 12).

Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci este perpendiculară pe acest plan.

Dovada.

Etapa 1(diapozitivul 13).

Fie ca linia dreaptă a intersectează planul în punctul de intersecție al dreptelor p și q. Să trasăm prin punctul O o dreaptă paralelă cu m și o dreaptă arbitrară, astfel încât să intersecteze toate cele trei drepte în punctele P, Q, L.

APQ = BPQ (diapozitivul 14)

APL= BPL (diapozitivul 15)

Mediana LO este înălțimea (diapozitivul 16)

Datorită arbitrarului alegerii dreptei m, se demonstrează că linia a este perpendiculară pe plan

Etapa 2(diapozitivul 17)

Linia a intersectează planul într-un punct diferit de punctul O.

Să tragem o linie dreaptă a’ astfel încât a || a’ și trecând prin punctul O,

și din moment ce a’ o conform dovedit anterior

apoi a o

Teorema este demonstrată

4. Consolidare primară.

Deci, pentru a pretinde că o dreaptă este perpendiculară pe un plan, ce condiție este suficientă?

Evident, stâlpul este perpendicular atât pe traverse, cât și pe șine. (diapozitivul 18)

Să rezolvăm problema nr. 128. (diapozitivul 19) (lucrați în grupuri, dacă pot face singuri, atunci dovada este rostită oral, pentru elevii slabi se folosește un indiciu pe ecran)

5. Control repetat.

Stabiliți adevărul afirmațiilor (răspunsul I (adevărat), L (fals).) (diapozitivul 20)

Linia a trece prin centrul cercului.

Este posibil să spunem că dreapta a este perpendiculară pe cercul dacă

• este perpendicular pe diametru
• două raze
• două diametre

6. Reflecție

Elevii spun etapele principale ale lecției: ce problemă a apărut, ce soluție (semn) a fost propusă.

Profesorul face un comentariu despre verificarea verticalității în timpul construcției (diapozitivul 21).

7. Tema pentru acasă

P.15-17 nr. 124, 126 (diapozitivul 23)

8. Rezumând

• Care este subiectul lecției noastre?
• Care a fost scopul?
• Scopul a fost atins?

Aplicație

Prezentarea folosește desene realizate cu ajutorul programului „Live Mathematics” prezentat în Anexa 1.

Literatură

1. Geometrie. Clasele 10-11: manual. pentru învăţământul general
2. instituţii: de bază şi de profil. niveluri/P.S.
3. Atanasyan, V.F. Butozov, S.B. Kadomtsev și colab.
4. CM. Sahakyan V.F. Butuzov Studierea geometriei la clasele 10-11: recomandări metodologice pentru studii: carte.

pentru profesor.
TELEVIZOR. Valakhanovich, V.V. Shlykov Materiale didactice despre geometrie: clasa a XI-a: un manual pentru profesorii de învățământ general. instituţii cu limba rusă limbă pregătire cu o perioadă de studiu de 12 ani (nivel de bază și avansat) Mn.
Desfăşurarea lecţiei de geometrie: clasa a X-a / Comp. V.A. Yarovenko.

În această lecție ne vom uita la perpendicularitatea dreptelor în spațiu, la perpendicularitatea unei drepte și a unui plan și la liniile paralele care sunt perpendiculare pe un plan.

Lecția: Liniile perpendiculare în spațiu. Drepte paralele perpendiculare pe un plan

În această lecție ne vom uita la perpendicularitatea dreptelor în spațiu, la perpendicularitatea unei drepte și a unui plan și la liniile paralele care sunt perpendiculare pe un plan.

Definiţie. Două drepte se numesc perpendiculare dacă unghiul dintre ele este de 90°.

Desemnare. .

Luați în considerare liniile drepte OŞi b. Liniile se pot intersecta, se pot încrucișa sau pot fi paralele. Pentru a construi un unghi între ele, trebuie să selectați un punct și să desenați prin el O,și o linie paralelă cu linia b. Dreaptă și intersectată. Unghiul dintre ele este unghiul dintre linii OŞi b. Dacă unghiul este de 90°, atunci drept OŞi b perpendicular.

Dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe a treia dreaptă, atunci cealaltă dreaptă este perpendiculară pe această dreaptă.

Dovada:

Să fie date două drepte paralele OŞi b, si drept Cu, și . Este necesar să se demonstreze că.

Să luăm un punct arbitrar M. Prin punct M trageți o linie paralelă cu linia Oși o linie paralelă cu linia c(Fig. 2). Apoi unghiul AMS este egal cu 90°.

Drept b paralel cu linia O prin condiție, linia este paralelă cu linia O prin constructie. Aceasta înseamnă drept și b paralel.

Avem, drept și b paralel, drept Cuși paralele în construcție. Deci, unghiul dintre linii bŞi Cu - este unghiul dintre drepte și, adică unghiul AMS, egal cu 90°. Deci e drept bŞi Cu sunt perpendiculare, după cum trebuie demonstrat.

Definiţie. O dreaptă se numește perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă situată în acest plan.

Desemnare. .

1. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru elevii instituţiilor de învăţământ general (nivel de bază şi de specialitate) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ediția a V-a, corectată și extinsă - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.

Sarcinile 5, 6, 7 p. 54

2. Dați definiția perpendicularității dreptelor în spațiu.

3. Laturi egale ABŞi CD patrulater ABCD perpendicular pe un anumit plan. Determinați tipul patrulaterului.

4. Latura triunghiului este perpendiculară pe o dreaptă O. Demonstrați că una dintre liniile mediane ale triunghiului este perpendiculară pe dreapta O.

Perpendicularitatea în spațiu poate avea:

1. Două linii drepte

3. Două avioane

Să ne uităm pe rând la aceste trei cazuri: toate definițiile și enunțurile teoremelor legate de ele. Și apoi vom discuta despre teorema foarte importantă despre trei perpendiculare.

Perpendicularitatea a două drepte.

Definiţie:

Puteți spune: au descoperit America și pentru mine! Dar amintiți-vă că în spațiu totul nu este exact la fel ca într-un avion.

Pe un plan, doar următoarele drepte (care se intersectează) pot fi perpendiculare:

Dar două drepte pot fi perpendiculare în spațiu chiar dacă nu se intersectează. Uite:

o linie dreaptă este perpendiculară pe o dreaptă, deși nu se intersectează cu ea. Cum așa? Să ne amintim definiția unghiului dintre liniile drepte: pentru a găsi unghiul dintre liniile care se intersectează și, trebuie să trasați o linie dreaptă printr-un punct arbitrar pe linia a. Și atunci unghiul dintre și (prin definiție!) va fi egal cu unghiul dintre și.

Vă amintiți? Ei bine, în cazul nostru, dacă liniile drepte și se dovedesc a fi perpendiculare, atunci trebuie să luăm în considerare liniile drepte și să fie perpendiculare.

Pentru o claritate deplină, să ne uităm la exemplu. Să fie un cub. Și vi se cere să găsiți unghiul dintre linii și. Aceste linii nu se intersectează - se intersectează. Pentru a găsi unghiul dintre și, să desenăm.

Datorită faptului că este un paralelogram (și chiar un dreptunghi!), se dovedește că. Și datorită faptului că este un pătrat, se dovedește că. Ei bine, asta înseamnă.

Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan.

Definiţie:

Iată o poză:

o dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe toate, toate dreptele din acest plan: și, și, și, și chiar! Și alte un miliard direct!

Da, dar atunci cum poți verifica în general perpendicularitatea într-o linie dreaptă și într-un plan? Deci viata nu este de ajuns! Dar, din fericire pentru noi, matematicienii ne-au salvat de coșmarul infinitului inventând semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan.

Formulăm:

Evaluează cât de grozav este:

dacă există doar două drepte (și) în planul pe care linia dreaptă este perpendiculară, atunci această linie dreaptă se va dovedi imediat a fi perpendiculară pe plan, adică pe toate liniile drepte din acest plan (inclusiv unele drepte). linia stând în lateral). Aceasta este o teoremă foarte importantă, așa că îi vom desena și semnificația sub forma unei diagrame.

Și să ne uităm din nou exemplu.

Să ni se dea un tetraedru regulat.

Sarcină: dovedesc asta. Veți spune: acestea sunt două linii drepte! Ce legătură are cu ea perpendicularitatea unei drepte și a unui plan?!

Dar uite:

să marchem mijlocul marginii și să desenăm și. Acestea sunt medianele în și. Triunghiurile sunt regulate și...

Iată, o minune: se dovedește că, din moment ce și. Și mai departe, la toate liniile drepte din plan, ceea ce înseamnă și. Au dovedit-o. Iar cel mai important punct a fost tocmai folosirea semnului de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan.

Când planurile sunt perpendiculare

Definiţie:

Adică (pentru mai multe detalii, vezi subiectul „unghi diedru”) două plane (și) sunt perpendiculare dacă se dovedește că unghiul dintre două perpendiculare (și) la linia de intersecție a acestor plane este egal. Și există o teoremă care leagă conceptul de planuri perpendiculare cu conceptul de perpendicularitate în spațiul unei drepte și al unui plan.

Această teoremă se numește

Criteriul de perpendicularitate a planurilor.

Să formulăm:

Ca întotdeauna, decodificarea cuvintelor „atunci și numai atunci” arată astfel:

• Dacă, atunci trece prin perpendiculară pe.

• Dacă trece prin perpendiculară pe, atunci.

(firesc, aici suntem avioane).

Această teoremă este una dintre cele mai importante în stereometrie, dar, din păcate, și una dintre cele mai greu de aplicat.

Deci trebuie să fii foarte atent!

Deci, formularea:

Și din nou descifrând cuvintele „atunci și numai atunci”. Teorema spune două lucruri deodată (uitați-vă la imagine):

să încercăm să aplicăm această teoremă pentru a rezolva problema.

Sarcină: este dată o piramidă hexagonală regulată. Găsiți unghiul dintre drepte și.

Soluţie:

Datorită faptului că, într-o piramidă obișnuită, vârful, atunci când este proiectat, cade în centrul bazei, se dovedește că linia dreaptă este o proiecție a dreptei.

Dar știm că este într-un hexagon obișnuit. Aplicam teorema a trei perpendiculare:

Și scriem răspunsul: .

PERPENDICULARITATEA LINIILOR DREPTĂ ÎN SPAȚIU. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Perpendicularitatea a două drepte.

Două drepte din spațiu sunt perpendiculare dacă există un unghi între ele.

Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan.

O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe toate dreptele din acel plan.

Perpendicularitatea planurilor.

Planele sunt perpendiculare dacă unghiul diedric dintre ele este egal.

Criteriul de perpendicularitate a planurilor.

Două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă unul dintre ele trece prin perpendiculară pe celălalt plan.

Teorema trei perpendiculare:

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a Examenului Unificat de Stat, pentru intrarea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ PRIN REZOLVAREA PROBLEMELOR PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neaparat cu solutii, analiza detaliatași decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 899 RUR

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

Si in concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!

În acest articol vom vorbi despre perpendicularitatea unei drepte și a unui plan. În primul rând, este dată definiția unei linii perpendiculare pe un plan, o ilustrare grafică și un exemplu și este prezentată desemnarea unei linii perpendiculare pe un plan. După aceasta, se formulează semnul de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan. În continuare, se obțin condiții care permit să se demonstreze perpendicularitatea unei drepte și a unui plan atunci când linia dreaptă și planul sunt specificate prin anumite ecuații într-un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu tridimensional. În concluzie, sunt prezentate soluții detaliate la exemple și probleme tipice.

Navigare în pagină.

Linie dreaptă perpendiculară și plan - informații de bază.

Vă recomandăm să repetați mai întâi definiția dreptelor perpendiculare, deoarece definiția unei drepte perpendiculare pe un plan este dată prin perpendicularitatea dreptelor.

Definiţie.

Ei spun asta linia este perpendiculară pe plan, dacă este perpendiculară pe orice dreaptă situată în acest plan.

De asemenea, putem spune că un plan este perpendicular pe o dreaptă, sau o dreaptă și un plan sunt perpendiculare.

Pentru a indica perpendicularitatea, utilizați o pictogramă ca „”. Adică, dacă dreapta c este perpendiculară pe plan, atunci putem scrie pe scurt .

Un exemplu de linie perpendiculară pe un plan este linia de-a lungul căreia doi pereți adiacenți ai unei încăperi se intersectează. Această linie este perpendiculară pe plan și pe planul tavanului. O frânghie într-o sală de sport poate fi considerată și ca un segment de linie dreaptă perpendicular pe planul podelei.

În încheierea acestui paragraf al articolului, observăm că, dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci unghiul dintre linie dreaptă și plan este considerat egal cu nouăzeci de grade.

Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan - semn și condiții de perpendicularitate.

În practică, apare adesea întrebarea: „Linia dreaptă și planul dat sunt perpendiculare?” Pentru a răspunde la asta există condiție suficientă pentru perpendicularitatea unei drepte și a unui plan, adică o condiţie a cărei îndeplinire garantează perpendicularitatea dreptei şi a planului. Această condiție suficientă se numește semnul perpendicularității unei drepte și a unui plan. Să o formulăm sub forma unei teoreme.

Teorema.

Pentru ca o dreaptă și un plan dat să fie perpendiculare, este suficient ca linia să fie perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate în acest plan.

Vă puteți uita la dovada semnului de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan într-un manual de geometrie pentru clasele 10-11.

La rezolvarea problemelor de stabilire a perpendicularității unei drepte și a unui plan, se folosește adesea și următoarea teoremă.

Teorema.

Dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe un plan, atunci a doua dreaptă este de asemenea perpendiculară pe plan.

La școală se iau în considerare multe probleme, pentru rezolvarea cărora se folosește semnul perpendicularității unei drepte și a unui plan, precum și ultima teoremă. Nu ne vom opri aici asupra lor. În această secțiune a articolului ne vom concentra pe aplicarea următoarei condiții necesare și suficiente pentru perpendicularitatea unei linii și a unui plan.

Această condiție poate fi rescrisă în următoarea formă.

Lasă este vectorul de direcție al dreptei a și este vectorul normal al planului. Pentru ca dreapta a și planul să fie perpendiculare, este necesar și suficient ca Şi : , unde t este un număr real.

Dovada acestei condiții necesare și suficiente pentru perpendicularitatea unei drepte și a unui plan se bazează pe definițiile vectorului de direcție al unei drepte și al vectorului normal al unui plan.

Evident, această condiție este convenabilă de utilizat pentru a demonstra perpendicularitatea unei drepte și a unui plan, atunci când coordonatele vectorului de direcție al dreptei și coordonatele vectorului normal al planului într-un spațiu tridimensional fix pot fi găsite cu ușurință . Acest lucru este valabil pentru cazurile în care sunt date coordonatele punctelor prin care planul și linia trec, precum și pentru cazurile în care linia este determinată de unele ecuații ale unei linii din spațiu, iar planul este dat de o ecuație de un avion de vreun fel.

Să ne uităm la soluții pentru mai multe exemple.

Exemplu.

Demonstrați perpendicularitatea dreptei și avioane.

Soluţie.

Știm că numerele din numitorii ecuațiilor canonice ale unei linii din spațiu sunt coordonatele corespunzătoare ale vectorului de direcție al acestei drepte. Astfel, - vector direct .

Coeficienții variabilelor x, y și z din ecuația generală a unui plan sunt coordonatele vectorului normal al acestui plan, adică este vectorul normal al planului.

Să verificăm îndeplinirea condiției necesare și suficiente pentru perpendicularitatea unei drepte și a unui plan.

Deoarece , atunci vectorii și sunt legați prin relație , adică sunt coliniare. Prin urmare, drept perpendicular pe plan.

Exemplu.

Liniile sunt perpendiculare? si avionul.

Soluţie.

Să găsim vectorul direcție al unei drepte date și vectorul normal al planului pentru a verifica dacă este îndeplinită condiția necesară și suficientă pentru perpendicularitatea dreptei și a planului.

Vectorul direcție este drept este