Emmy Noether a jej veta. Pojem symetria. Noetherova veta Asymptotická aditivita integrálov pohybu. Formulácia Noetherovej vety

Poďme presne sformulovať a dokázať Noetherovu vetu.

Uvažujme o nejakom systéme opísanom Lagrangeovou funkciou

Tvar Lagrangeových-Eulerových rovníc získaných z variačného princípu s takouto Lagrangeovou funkciou je invariantný pri transformáciách tvaru, ako aj pri všeobecnejších transformáciách.

zahŕňa nahradenie nezávislej premennej. Špecifický tvar nového výrazu pre akciu, ako funkcionalita nových súradníc v závislosti od nového času, však môže pri takejto zmene prejsť ľubovoľnými zmenami.

Noetherova veta sa zaujíma iba o prípad, keď k takýmto zmenám nedochádza.

Pomocou (4) dostaneme:

Nech sú premeny také, že

tie. vytvorenie jednoparametrovej skupiny. Uvažujme nekonečne malú transformáciu zodpovedajúcu parametru.

Variácie zovšeobecnených súradníc, ktoré sa vyskytujú počas uvažovanej transformácie, sú v skutočnosti rozdielom medzi hodnotami nových súradníc v určitom okamihu nového času a hodnotami starých súradníc v zodpovedajúcom okamihu starého času. , t.j.

Spolu s nimi je vhodné zaviesť do úvahy variácie formy

závislosti súradníc od času, ktoré sú nenulové, aj keď naša transformácia ovplyvňuje iba čas a nie súradnice.

Pre akúkoľvek funkciu platí nasledujúci vzťah:

Potom existuje vzťah medzi dvoma zavedenými typmi variácií, ktorý možno získať takto: odčítaním rovnice (9) od (8) dostaneme:

berme to do úvahy

potom máme:

Variácie bez hviezdičiek súvisiace s rovnakou hodnotou argumentu sú zameniteľné s diferenciáciou v čase

zatiaľ čo pre variácie s hviezdičkami to vo všeobecnosti neplatí.

Zodpovedajúce dva typy variácií môžu byť zavedené pre akúkoľvek dynamickú premennú. Napríklad pre funkciu Lagrange

kde zahŕňa diferenciáciu ako explicitne zahrnutý čas, tak aj čas zahrnutý implicitne, prostredníctvom súradníc a rýchlostí.

Teraz požadujeme, aby sa integrál akcie pri našej transformácii nezmenil – toto je výnimočný prípad, ktorý si vyžadujú podmienky vety – t.j. to bolo

Kde T"- rovnaká doména integrácie ako T v druhom integráli, ale vyjadrené z hľadiska nových premenných. Potom dosadením (11) do (13) dostaneme

Vyjadrujeme v (15) až (11) a berúc do úvahy vzťah, postupujeme k integrácii cez t namiesto t", dostaneme:

Zvažujem to

Dostaneme: (15)

Poďme nájsť diferenciál

Nahradením (17) za (16) dostaneme:

Pod znamienkom prvého súčtu je Lagrangeova rovnica, t.j.

Nemecký matematik.

Bola pozvaná David Gilbert za prednášanie a vedenie vedeckej práce na univerzite v Göttingene.

« Emmy Noether mal málo spoločného s legendárnou „matematikou“ Sofia Kovalevskaja, dokonca očarený Weierstrass svojou inteligenciou a mladistvým šarmom. Bola úplne zbavená ženskosti, ako vo vzhľade, tak aj v správaní. Aj dnes si muži, ktorí ju poznali, pamätajú prvé veci: „Mala hlasný a nepríjemný hlas“, „Vyzerala ako energická a veľmi krátkozraká práčovňa“, „Jej oblečenie bolo vždy voľné.“
Všetci nadšene citujú jemnú poznámku, že „milosti nestáli pri jej kolíske“.
Emmy Noetherová však bola predurčená na to, aby mala oveľa dôležitejší vplyv na matematiku ako tá očarujúca Sophia.
Už v tom čase mala solídne znalosti z niektorých predmetov, ktoré Hilbert a Klein potrebovali pre svoju prácu v teórii relativity. Obaja sa rozhodli, že by mala zostať v Göttingene. Napriek tomu, že Göttingen bol prvou univerzitou v Nemecku, ktorá udelila doktorát žene, ktorá sa habilitovala (Termín pochádza z latinského „habilis“ – schopný, vhodný a znamená získanie práva vstúpiť na fakultu univerzity – poznámka I.L. Vikentyeva) Nebola to pre ňu ľahká úloha.
Na hlasovaní o prijatí habilitácie sa musela zúčastniť celá filozofická fakulta, na ktorej boli okrem zástupcov prírodných vied a matematiky aj filozofi, filológovia a historici. Osobitný odpor sa ozval z nematematickej časti fakulty.
Ich formálna námietka sa zúžila na nasledovné: „Ako môže byť žene dovolené, aby sa stala súkromníkom? Keď sa ňou stane, môže sa stať profesorkou a členkou univerzitného senátu. Je možné dovoliť žene vstup do Senátu?“ Neformálna námietka znela: „Čo si pomyslia naši vojaci, keď sa vrátia na univerzitu a zistia, že musia študovať sediac pri nohách ženy?
Gilbert Tieto argumenty pripomínali tie, ktoré počul, keď sa snažil prezentovať Grommerovu dizertačnú prácu tým istým členom fakulty. „Ak študenti bez maturity píšu vždy tie isté dizertačné práce ako Grommer,“ povedal vtedy, „bude potrebné prijať zákon zakazujúci konanie záverečných skúšok. Teraz s rovnakou priamosťou reagoval na ich formálne námietky voči docentstvu Emmy Noetherovej: „Meine Herren, nechápem, prečo by pohlavie kandidáta malo byť dôvodom proti udeleniu titulu Privatdozent. Senát predsa nie je kúpeľný dom.“
Keď napriek takejto námietke stále nie podarilo dosiahnuť udelenie habilitácie Emmy Noether, vyriešil problém jej zachovania v Göttingene po svojom.
Prednášky budú ohlásené pod menom profesor Hilbert a prečíta ich pani Noetherová. Vojna pokračovala."

Constance Reid, Gilbert, M., Science, 1977, s. 187-188.

V roku 1918 Emmy Noetherová dokázala základnú vetu teoretickej fyziky, ktorá spája zákony zachovania so symetriou systému, nazývanú Noetherova veta.

„Noetherova veta hovorí, že každá súvislá transformácia súradníc v inerciálnom referenčnom systéme zodpovedá určitej zachovanej veličine ( nemenný). Keďže uvažovaná transformácia úzko súvisí s jej symetriou priestoru a času (homogénny priestor, izotropný priestor a homogenita času), každá vlastnosť priestoru a času musí zodpovedať v súlade s klasickou mechanikou svojmu špecifickému zákonu zachovania.
Pri homogenite priestoru, t.j. Zákon zachovania hybnosti súvisí so symetriou fyzikálnych zákonov vo vzťahu k priestorovým posunom pôvodu. Pri izotropii priestoru, t.j. Zákon zachovania momentu hybnosti je spojený s ekvivalenciou všetkých priestorových smerov, a teda so symetriou vzhľadom na rotáciu súradnicového systému v priestore.
Myšlienka časovej homogenity (symetria vzhľadom na časové posuny) vedie k zákonu zachovania energie. To znamená, že samotné plynutie času nie môže spôsobiť zmenu energie niektorého uzavretého systému.
Praktický význam vety E. Noethera sa neobmedzuje len na to, že vytvára spojenie medzi klasickými zákonmi zachovania a typmi symetrie, ktoré majú geometrický charakter.
Ak vo fyzickom systéme existuje symetria iného druhu, napríklad dynamická (matematická), tieto symetrie predpovedajú konkrétne zákony zachovania, ktoré majú tiež funkciu zakazovať miestne javy sebarozvoja.

Balakshin O.B. , Harmónia sebarozvoja v prírode a spoločnosti: podobnosť a analógie, M., Vydavateľstvo LKI, 2008, s. 112.

Emmy Noether sa v roku 1919 mohol stať súkromným odborným asistentom a v roku 1922 nadpočetným profesorom.

V roku 1933, keď sa v Nemecku dostali k moci nacisti, Emmy Noether presťahovali do USA.

Keď sa dozvedel o jej smrti, Albert Einstein napísal: „Väčšina ľudí vynakladá všetky svoje sily na boj o svoj každodenný chlieb. Dokonca aj mnohí z tých, ktorých osud alebo nejaký zvláštny dar „ušetril od potreby viesť tento boj, venujú väčšinu svojich síl zveľaďovaniu svetských statkov a svojho majetku.
Za takýmto úsilím zameraným na hromadenie najrôznejších výhod sa dosť často skrýva ilúzia, že ide o najvýznamnejší a najžiadanejší cieľ, ku ktorému by sa človek mal snažiť.
Našťastie je tu menšina tých, ktorí si zavčasu uvedomili, že najkrajšie zážitky a najväčšia spokojnosť ľudstva neprichádzajú zvonku, ale že sú spojené s rozvojom vlastných pocitov, myšlienok a činov každého jednotlivca.
Skutoční umelci, prieskumníci a myslitelia boli vždy ľuďmi tohto druhu. Bez ohľadu na to, ako bez povšimnutia prešiel život týchto ľudí, ovocie ich úsilia sa ukázalo ako najvzácnejší príspevok k odkazu, ktorý generácia zanecháva svojim pokračovateľom.
Pred pár dňami zomrel vynikajúci profesor matematiky vo veku päťdesiattri rokov. Emmy Noether, kedysi spojený s univerzitou v Göttingene a posledné dva roky pôsobí na Bryn Mawr College. Podľa najkompetentnejších žijúcich matematikov, Fraulein Emmy Noetherová bola jedným z najvýznamnejších a najkreatívnejších matematických géniov, ktorí sa objavili odkedy ženy začali získavať vyššie vzdelanie.
V oblasti algebry, ktorej sa po stáročia zaoberali najtalentovanejší matematici, objavila metódy, ktoré mali obrovský vplyv na rozvoj modernej generácie mladých matematikov. Čistá matematika je druh poézie logiky myšlienok. Matematici sa snažia nájsť čo najvšeobecnejšie chápanie operácie, ktoré by im umožnilo jednoducho, logicky a jednotne pokryť čo najširšiu škálu formálnych vzťahov.“

Albert Einstein, Na pamiatku Emmy Noetherovej / Zhromaždené vedecké práce v 4 zväzkoch, zväzok 4, 1967, „Veda“, s. 108.

Alexey Levin Termín „teorém“ prišiel do vedy z geometrie helenistickej éry. Venuje sa najmä matematike. Existujú však vety aj v iných vedách, najmä vo fyzike. V 19. storočí bola teda v klasickej štatistickej mechanike sformulovaná veta o ekvidistribúcii kinetickej energie častíc v stupňoch voľnosti a potom N-Boltzmannova veta, podľa ktorej entropia nerovnovážneho systému s časom vždy rastie. V 20. storočí výrazne vzrástol počet fyzikálnych teorémov. Príklady zahŕňajú Farryho vetu, ktorá hovorí, že v elektromagnetických procesoch je zachovaná parita počtu fotónov; Pauliho veta o spojení medzi spinom a štatistikou; Wickov teorém, ktorý hrá kľúčovú úlohu v kvantovej teórii poľa.

V tejto slávnej sérii zaujíma veľmi zvláštne miesto teorém, ktorý dokázala Emmy Noetherová, nezávislá zamestnankyňa Univerzity v Göttingene, na vrchole Veľkej vojny – niekde na prelome rokov 1915-1916. Autor o tom prvýkrát podal správu na seminári Göttingenskej matematickej spoločnosti 23. júla 1918, takže storočnica je za dverami.

33-ročná Emmy Noetherová prišla do Göttingenu na jar 1915 na pozvanie veľkých matematikov Felixa Kleina a Davida Hilberta. O niekoľko mesiacov neskôr sa tam udiali udalosti, ktoré sa stali predohrou k jej prvému veľkému dielu. Albert Einstein v lete oboznámil svojich kolegov z Göttingenu so základnými myšlienkami svojej už takmer dokončenej teórie gravitácie, známejšie ako všeobecná teória relativity. Medzi poslucháčmi bol aj Hilbert, ktorý sa začal zaujímať o Einsteinove myšlienky. V novembri Einstein napísal konečnú verziu všeobecných rovníc relativity, ktorú okamžite predložil Pruskej akadémii vied. O niečo neskôr Hilbert odvodil tie isté rovnice novým spôsobom, o čom informoval v článku uverejnenom koncom marca 1916.

Počas tejto práce si Hilbert uvedomil, že nová teória gravitácie spochybňuje zákon zachovania energie. Všeobecné rovnice relativity možno zapísať do ľubovoľných systémov časopriestorových súradníc, medzi ktorými sú možné plynulé transformácie. S ich pomocou môžete vynulovať veľkosť gravitačného poľa v akomkoľvek ľubovoľne zvolenom bode a jeho nekonečne malé okolie. Fyzicky to znamená, že imaginárny pozorovateľ nebude v tomto bode schopný zaregistrovať gravitačnú silu (toto je Einsteinov princíp ekvivalencie). Z toho vyplýva, že vo všeobecnej teórii relativity je jednoznačná lokalizácia energie v zásade nemožná. Otázka, čo robiť s jej zachovaním, Hilberta veľmi znepokojila a požiadal Emmy Noetherovú, aby to vyriešila. Emmy Noether v roku 1910 (Wikipedia) Táto požiadavka bola viac než splnená. Noether dosiahol mimoriadne silné výsledky, ktorých rozsah sa ukázal byť oveľa širší ako rozsah problému, ktorý pôvodne predstavoval Hilbert. Dnes vieme, že pokrýva nielen všeobecnú teóriu relativity a iné teórie polí klasickej fyziky, ale aj teórie kvantovaných polí vyvinuté v druhej polovici dvadsiateho storočia.

Vo svojej najvšeobecnejšej podobe možno podstatu Noetherovej vety povedať doslova v skratke. Vedci študujú prírodu na základnej úrovni a hľadajú charakteristiky fyzikálnych systémov, ktoré zostávajú nezmenené počas akejkoľvek transformácie. Z Noetherovej vety vyplýva, že existencia takýchto zachovaných vlastností priamo súvisí so symetriami takzvanej akcie, základnej fyzikálnej veličiny, ktorá určuje dynamiku systému. Inými slovami, zákony zachovania sú priamym dôsledkom prítomnosti určitých akčných symetrií. Tento záver sa stal univerzálnym nástrojom na identifikáciu takýchto zákonov v rôznych oblastiach fyziky – od newtonovskej mechaniky až po Štandardný model elementárnych častíc. Navyše ho možno považovať za jeden z najkrajších teoretických poznatkov v celých dejinách vedy.

Hilbert odvodil rovnice všeobecnej relativity na základe princípu, že v reálnych fyzikálnych procesoch má akcia extrémnu hodnotu - spravidla dosahuje minimum. V tých časoch už vedeli, že tento princíp umožňuje získať rovnice klasickej mechaniky aj Maxwellovej elektrodynamiky – a oveľa viac. Preto bol považovaný za výkonný nástroj na zostavovanie rovníc, ktoré určujú dynamiku rôznych fyzikálnych systémov. Spolupracovala s ním aj Emmy Noether. Zaujímala sa o operácie, ktoré transformujú matematické objekty zapojené do výpočtu akcie, no jej číselnú hodnotu nechávajú nezmenenú – alebo všeobecnejšie túto hodnotu nemenia príliš (samozrejme, existuje presná matematická definícia pre toto „nie príliš “). To znamená, že takéto operácie ponechávajú akciu invariantnú.

Invariantnosť vzhľadom na konkrétnu transformáciu alebo na celú triedu transformácií sa nazýva symetria. Emmy Noether vo svojej práci položila otázku, k akým dôsledkom vedie prítomnosť určitých symetrií v akcii.

Tento problém riešila vo veľmi všeobecnej forme, ale len pre spojité symetrie: neuvažovala o diskrétnych. Matematika už mala účinný nástroj na štúdium takýchto symetrií vo forme Lieových grup. Ich teória bola dobre rozvinutá a Noether jej dobre rozumel.

Emmy Noetherová študovala transformácie symetrie, v ktorých fungujú dva typy Lieových grup. V jednom prípade je každá transformácia (teda každý prvok Lieovej grupy) definovaná konečnou množinou číselných parametrov. Prvky Lieových grúp druhého typu naopak závisia od jedného alebo druhého počtu ľubovoľných funkcií. Napríklad rotácie roviny sú špecifikované jedným parametrom (uhol rotácie) a rotácie v trojrozmernom priestore sú špecifikované tromi (každá z nich môže byť reprezentovaná ako sekvencia rotácií okolo troch súradnicových osí). Einsteinova všeobecná relativita je založená na schopnosti ľubovoľne zvoliť lokálny referenčný rámec v akomkoľvek bode časopriestoru. Toto je tiež typ symetrie a presne ten, ktorý Emmy Noether zaradila do druhého typu.

Noetherova veta sa skladá z dvoch častí. Najprv zvažovala dôsledky invariantnosti akcie pod symetriami, ktoré zodpovedajú skupinovým transformáciám prvého typu. Ukázalo sa, že takáto invariantnosť umožňuje zapísať matematické vzťahy, ktoré možno interpretovať ako zákony zachovania fyzikálnych veličín, ktoré tieto symetrie spĺňajú. Zjednodušene povedané, tieto zákony sú priamymi dôsledkami určitých symetrií.

Tu je niekoľko príkladov. V izolovanom systéme častíc, ktoré sa riadia newtonovskou mechanikou a newtonovskou teóriou gravitácie, je akcia pri posunoch času invariantná. Z Noetherovej vety vyplýva, že celková energia častíc nezávisí od času, to znamená, že sa zachováva. Rovnakým spôsobom invariantnosť vzhľadom na ľubovoľné posuny v priestore znamená zachovanie celkovej hybnosti a invariancia vzhľadom na rotácie znamená zachovanie momentu hybnosti.

Samozrejme, tieto zákony boli známe už predtým, ale ich povaha zostala záhadná; ak chcete, tajomný. Noetherova veta raz a navždy odstránila závoj z tohto tajomstva a spojila zákony zachovania so symetriami priestoru a času.

Tu je ďalší príklad, ktorý bol realizovaný po nástupe kvantovej elektrodynamiky. Doteraz sme hovorili o vonkajších symetriách súvisiacich nie priamo s fyzickým systémom, ale s jeho vzťahmi s časom a priestorom. Noetherova veta nám však umožňuje brať do úvahy aj vnútorné symetrie, inými slovami, symetrie fyzikálnych polí, ktorých dynamiku určuje jedna alebo druhá akcia (formálne ide o symetrie matematických konštrukcií reprezentujúcich tieto polia). To vedie aj k objaveniu rôznych zákonov ochrany.

Obmedzím sa na jeden príklad. Pôsobenie voľného relativistického elektrónu, na základe ktorého možno odvodiť Diracovu rovnicu, sa pri transformácii vlnovej funkcie nemení, čím sa redukuje na jej násobenie komplexným číslom s jednotkovým modulom. Fyzikálne to znamená zmenu fázy vlnovej funkcie o konštantnú hodnotu, ktorá nezávisí od časopriestorových súradníc (táto symetria sa nazýva globálna). Geometricky je táto transformácia ekvivalentná rotácii roviny o ľubovoľný, ale pevný uhol, a preto je opísaná veľmi jednoduchou Lieovovou grupou s jedným parametrom. Z Noetherovej vety vyplýva, že vďaka tejto symetrii je elektrický náboj zachovaný. Nie je to slabý výsledok a určite nie triviálny!

Druhá Noetherova veta popisuje situácie, keď transformácie symetrie, ktoré ponechávajú akciu invariantnú, nezávisia od numerických parametrov, ale od niektorých ľubovoľných funkcií. Vo všeobecnosti takáto invariantnosť neumožňuje formulovať zákony zachovania fyzikálne merateľných veličín. Najmä z druhej Noetherovej vety vyplýva, že vo všeobecnej teórii relativity neexistujú žiadne univerzálne zákony zachovania energie, hybnosti a momentu hybnosti, ktoré by mali jednoznačný význam vo fyzikálne reálnych (teda nie nekonečne malých) oblastiach časopriestoru. Je pravda, že existujú špeciálne prípady, keď v rámci všeobecnej teórie relativity možno správne nastoliť otázku šetrenia energie. Vo všeobecnosti však riešenie tohto problému závisí od toho, čo presne sa považuje za energiu gravitačného poľa a v akom zmysle hovoríme o jej zachovaní. Navyše celková energia častíc, ktoré sa pohybujú v priestore s dynamickým gravitačným poľom (inými slovami, vo vesmíre s meniacou sa metrikou), nie je zachovaná. V našom rozpínajúcom sa vesmíre teda fotóny žiarenia kozmického mikrovlnného pozadia neustále strácajú energiu – to je dobre známy jav kozmologického červeného posunu.

Vo fundamentálnej fyzike sa neustále používajú symetrie druhej Noetherovej vety. Umožňujú stanoviť súlad medzi vlastnosťami častíc a poľami, s ktorými môžu tieto častice interagovať. Opäť – vôbec nie slabé! Nie je náhoda, že slávny americký teoretický fyzik, profesor na Kalifornskej univerzite Anthony Zee, vo svojej monografii „Teória skupiny v kocke pre fyzikov“ vydanej v roku 2016 nazval Emmy Noether pravdepodobne najhlbšou fyzičkou, aká kedy žila. Také vysoké hodnotenie – a to len kvôli jedinému článku!

Emmy Noether je právom považovaná za skvelú matematičku – a to nielen vďaka svojej vete. Od roku 1920 sa venovala abstraktnej algebre a algebraickej geometrii, kde získala mnohé zásadné výsledky. V roku 1933 bola ako Židovka vyhnaná z Göttingenu a presťahovala sa do Spojených štátov amerických, kde zaujala miesto na Bryn Mawr Women's College v Pensylvánii. Ale nemala dlho žiť. 14. apríla 1935 Emmy Noetherová zomrela na komplikácie po operácii, s najväčšou pravdepodobnosťou na ťažkú ​​infekciu.

Životopis Emmy Noetherovej sa číta ľahko a nemal by byť prerozprávaný. Je tu však zaujímavý detail, ktorý málokto vie. Noethera pozvala do Bryn Mawr dekanka katedry matematiky Anna Pell Wheeler. Jej vedeckým mentorom a prvým manželom bol Alexander Pell, profesor matematiky na Univerzite v Južnej Dakote, ktorý už bol v tom čase mŕtvy. Pell však nebol vždy Pell. Narodil sa v roku 1857 v Moskve a vtedy sa volal Sergej Petrovič Degaev. Do dejín ruského revolučného undergroundu sa zapísal ako najväčší zradca a provokatér, ktorý vydal tajnej polícii Veru Fignerovú a ďalších členov Národnej voly. Neskôr, aby sa vyhol smrti z rúk svojich bývalých kamarátov, im pomohol pri vražde svojho kurátora, žandára podplukovníka Georgija Porfirjeviča Sudeikina (tento príbeh je podrobne opísaný v románe Jurija Davydova „Mŕtvy čas pádu lístia“ ). Členovia Narodnaya Volya, ktorí zostali na slobode, umožnili Degaevovi ísť do Ameriky, kde si zmenil meno a zmenil sa na Pella. V Štátoch získal matematické vzdelanie, potom absolvoval postgraduálnu školu na Univerzite Johna Hopkinsa v Baltimore a nakoniec sa z neho stal veľmi slušný konzervatívny gentleman a vynikajúci učiteľ. Ukazuje sa, že na to, aby sa Emmy Noetherová dostala do Spojených štátov, bolo potrebné, aby sa zlý génius Narodnaja Volya zmenil na uznávaného amerického profesora, ktorý si všimol a povýšil nadaného študenta z hlbokých provincií. Dokonalý príklad toho, čomu sa hovorí irónia histórie.

V tejto časti sa použije variačný prístup k problému mechaniky a najmä všeobecný vzorec pre variáciu funkcionálu získaný v § 4, aby sa vytvorila súvislosť medzi zákonmi zachovania, ktoré boli získané v predchádzajúcich kapitolách a všeobecné vlastnosti priestoru a času, ktoré nachádzajú svoje vyjadrenie v invariantnosti zákonov mechaniky vzhľadom na transformácie referenčných systémov. Vytvorenie tohto spojenia nám umožní pochopiť vnútornú podstatu zákonov ochrany a dôvody, prečo tieto zákony existujú. Toto pochopenie je obzvlášť dôležité, pretože niekedy umožňuje predvídať prvé integrály a tým uľahčiť štúdium rovníc, ktoré popisujú pohyb.

Keď začneme pripravovať materiál, ktorý je potrebný na formulovanie vety Emmy Noetherovej, ktorá vytvára toto spojenie, uvažujme o jednej skupine transformácií referenčného systému s jedným parametrom, t. j. o súradniciach a čase:

kde index je priradený k „novým“ súradniciam a „novému“ času a je určitým parametrom. Predpokladajme, že transformácia (66) spĺňa tieto dve podmienky:

1° Táto transformácia je totožná pre , t.j.

2° Pre túto transformáciu existuje inverzná funkcia:

Teraz môžeme sformulovať vetu Emmy Noetherovej. Noetherova veta. Nech je daný systém hmotných bodov pohybujúcich sa v potenciálnom poli s Lagrangiánom , a nech existuje jednoparametrová rodina transformácií (66) spĺňajúca podmienky 1° a 2°. Nech je ďalej Lagrangián L vzhľadom na takéto transformácie invariantný, to znamená, že „nový“ Lagrangián (vypočítaný pomocou vzorca) nezávisí od a ako funkcia má presne rovnakú formu ako „starý“ Lagrangián L ako funkciu. Potom je tu funkcia, ktorá sa počas pohybu tohto systému nemení, čiže je prvým integrálom pohybu. Táto funkcia vyzerá

kde H je Hamiltonián uvažovaného systému.

Dôkaz. Uvažujme dva rozšírené súradnicové priestory; jeden z nich zodpovedá „starým“ a druhý „novým“ súradniciam a času získaným v dôsledku transformácie (66). V prvom z týchto priestorov (v priestore q, t) si vyberieme dva ľubovoľné body a medzi týmito bodmi nakreslíme nejakú krivku. Potom jednoparametrová rodina transformácií (66) generuje v druhom rozšírenom súradnicovom priestore jednoparametrovú rodinu kriviek (obr. VII.5). Získa sa, ak z rovnosti (66)

vylúčiť .

Vzhľadom na prvú podmienku, teda kvôli vzorcom (67), parameter zodpovedá pôvodnej krivke, t.j.

Začiatok a koniec krivky, t. j. body z priestoru, zodpovedajú v priestore krivkám zadaným parametricky (parametrom) vzorcami

Tieto vzorce získame zo vzorcov (70), ak zodpovedajúcim spôsobom dosadíme t.

Zoberme si ako krivku segment od do priamej cesty systému s Lagrangiánom L. Uvažujme Hamiltonovu akciu na tejto ceste:

Nahradením premennej t v integráli (72) za , dostaneme (pozri stranu 281)

kde funkcia je zostrojená podľa vzorca (64). Berúc do úvahy nový zápis (pozri podmienku):

Vzhľadom na podmienky vety E. Noether nezávisí a ako sa funkcia jeho argumentov zhoduje s L:

Ak sú teda splnené podmienky Noetherovej vety, integrál (72) možno zapísať takto:

Uvažujme teraz integrál (74) ako funkcionál definovaný na jednoparametrovej rodine kriviek. V rovnosti (74) ľavá strana nezávisí od a. Je to zrejmé, keďže pri zmene integračnej premennej sa hodnota určitého integrálu nemení. Preto v posudzovanom prípade má integrál (74) rovnakú hodnotu na všetkých krivkách z rodiny, a teda pre všetky

Integrál (74) má tvar hamiltonovskej akcie definovanej na jednoparametrovej rodine kriviek, a preto môžeme použiť všeobecný vzorec (60) na zmenu akcie. Na základe (60) máme

(75)

Rovnosť (75) platí pre ľubovoľné , ale použijeme ho iba pre . Na základe podmienky 1° sa rovnosti (66) zmenia na identity, to znamená, že závisí od presne rovnakým spôsobom, ako závisí od t. Ale je tu rovná cesta a na nej

Následne at a všetky výrazy v zátvorkách pod znamienkom integrálu vo vzorcoch (75) tiež zaniknú.

Pripomeňme, že najprv musíte dosadiť limity a až potom vykonať operácie, teda diferenciáciu vzhľadom na parameter. Ale keď

a v súlade s transformačnými vzorcami (66)

Berúc do úvahy tieto rovnosti pri dosadzovaní limitov a skutočnosť, že po znížení o nezávislý prírastok z rovnosti (76) dostaneme

kde horný index udáva, či sa zodpovedajúca funkcia používa v alebo

Pamätajme, že priama cesta a body na nej boli zvolené ľubovoľne. Z toho vyplýva, že funkcia (69) sa pozdĺž krivky, t.j. na žiadnej priamej dráhe, vôbec nemení.

Teorém Emmy Noetherovej bol dokázaný.

Ukážme si teraz, ako len pomocou Noetherovej vety môžeme získať všetky zákony zachovania (prvé integrály), ktoré boli stanovené vyššie z iných úvah.

Zákon zachovania mechanickej energie pre konzervatívny systém. Zoberme si konzervatívny (alebo všeobecne konzervatívny) systém. Ako rodina transformácií (66) berieme „časový posun“:

Okamžite je jasné, že transformácia (78) spĺňa podmienky 1° a 2°. Lagrangián (rovnako ako Hamiltonián) konzervatívneho systému nezávisí explicitne od času, ale funkcia sa v tomto prípade rovná jednote. Transformácia (66) teda určite nemení tvar Lagrangianu (samozrejme Hamiltonianu) a z Noetherovej vety vyplýva, že konzervatívny systém musí mať prvý integrál tvaru (69). Ale v tomto prípade sú všetky funkcie v dôsledku transformácie (78) identicky rovné , to znamená, že nezávisia od , a preto sa ich derivácie vzhľadom na parameter a rovnajú nule a vzorec (69 ) má formu

Z Noetherovej vety teda vyplýva, že keď sa zovšeobecnený konzervatívny systém pohybuje, jeho zovšeobecnená energia H sa nemení. Keď sa konzervatívny systém pohybuje, jeho celková mechanická energia sa nemení.

Zákon zachovania hybnosti pre cyklické súradnice. Uvažujme teraz o systéme s cyklickou súradnicou

Hneď je jasné, že táto transformácia spĺňa podmienky 1° a 2°. Lagrangián (a teda Hamiltonián) systému nezávisí od cyklických súradníc, a preto sa tvar týchto funkcií pri transformácii nemení (79). V dôsledku toho na základe Noetherovej vety platí prvý integrál tvaru (69). Ale po konverzii zvyšok. V dôsledku toho má v tomto prípade vzorec (69) formu

Ďalej získame dva zákony zachovania, ktoré platia pri zvažovaní uzavretých systémov. V tejto súvislosti uvádzame nasledujúcu všeobecnú poznámku. Požiadavka uzavretia systému znamená, že všetky sily pôsobiace na hmotné body systému závisia len od vzájomnej polohy bodov a vzdialeností medzi nimi. V tomto ohľade akékoľvek transformácie súradníc, ktoré zachovávajú vzájomné polohy bodov a vzdialenosti medzi nimi, nemenia pohybové rovnice, to znamená, že nemenia formu Lagrangianu.

Zákon zachovania hybnosti pre uzavreté systémy. Uvažujme teraz o uzavretom systéme pohybujúcom sa v potenciálnom poli. Ako zovšeobecnené súradnice vezmeme karteziánske súradnice bodov a použijeme „posun pozdĺž jednej zo súradnicových osí“, napríklad pozdĺž osi:

(tu N je počet bodov v systéme).

Vzhľadom na to, že pri posunutí počiatku súradníc pozdĺž ľubovoľnej osi sa nemení vzdialenosť medzi bodmi sústavy, nemení sa ani potenciálna energia sústavy, a teda Lagrangeova funkcia. Je zrejmé, že transformácia (80) spĺňa podmienky 1° a 2°. Tým sú splnené všetky podmienky, ktoré Noetherova veta kladie na jednoparametrovú rodinu transformácií. Na základe tejto vety platí prvý integrál (69). V tomto prípade sa všetky súradnice , ako aj , rovnajú nule a funkcie pre súradnice sú také, že .

Preto vo vzorci (69) člen obsahujúci Hamiltonián zmizne a súčet zostávajúci na pravej strane sa rovná

ale preto má prvý integrál (69) tvar

(81)

Rovnosť (81) nie je nič iné ako zákon zachovania hybnosti v projekcii na os.

Presne rovnakým spôsobom, použitím transformácií ako (80) pre posun nie pozdĺž osi x, ale pozdĺž osi y a z, zavedieme zachovanie projekcií hybnosti na osiach y a z. Čiže zákon zachovania hybnosti, keď sa uzavretý systém pohybuje v potenciálnom poli, je úplne dokázaný.

Zákon zachovania momentu hybnosti pre uzavretý systém. Uvažujme opäť uzavretý systém pohybujúci sa v potenciálnom poli, ktorý sa získa ako výsledok interakcie bodov systému. Rovnako ako predtým, berieme karteziánske súradnice bodov ako zovšeobecnené súradnice a uvažujeme o transformácii rotácie súradnicového systému okolo, napríklad, osi z:

Okamžite je jasné, že transformácia (82) spĺňa podmienku 1°, t.j. na prejde do identickej transformácie. Dá sa ľahko overiť, či spĺňa aj podmienku 2°, t.j. či je sústava rovníc (82) riešiteľná vzhľadom na „staré“ súradnice, keďže determinant tejto sústavy je rovný . Keď sa súradnicový systém otáča, relatívna poloha a vzdialenosť medzi bodmi systému sa nemení, a preto sa nemení ani potenciálne pole, čo znamená, že sa v tomto prípade nemení ani L platí prvý integrál (69). V prípade transformácie (82) pre súradnice všetkých bodov sústavy platí vzťah

Rovnako pre všetky súradnice

Na druhej strane a teda aj v tomto prípade

t.j. je zachovaný priemet kinetického momentu na os z.

Presne rovnakým spôsobom, berúc do úvahy rotáciu súradnicového systému okolo osí x a y, stanovíme zachovanie priemetov kinetickej hybnosti na osiach x a y počas pohybu, t. j. plne dokážeme zákon zachovanie kinetickej hybnosti pre uzavretý systém pohybujúci sa v potenciálnom poli.

V prípade pohybu v potenciálnych poliach sme teda z Noetherovej vety získali všetky zákony zachovania, o ktorých sme hovorili vyššie. Noetherova veta odhalila povahu ich výskytu, spojeného s invariantnosťou pohybových rovníc pri rôznych transformáciách súradníc a času. Zákon zachovania energie je dôsledkom invariantnosti rovníc konzervatívnej sústavy s posunom pozdĺž časovej osi, zákon zachovania hybnosti je výsledkom invariantnosti rovníc sústavy s uzavretou slučkou vzhľadom na k posunom pozdĺž súradnicových osí a zákon zachovania momentu hybnosti je výsledkom invariantnosti rovníc systému s uzavretou slučkou vzhľadom na rotácie okolo súradníc osí

Noetherovu vetu možno použiť aj v tých špeciálnych prípadoch, keď je možné nájsť iné transformácie, ktoré zachovávajú Lagrangián.