Päť mýtov o Lobačevského geometrii. Znaky rovnobežnosti dvoch čiar. Vlastnosti rovnobežiek Dôkaz priesečníka rovnobežiek

Dokonca aj póly sú spojené poludníkmi.
Čo môžeme povedať o paralelách,
ktoré nie, nie a budú sa pretínať...

Ak sa ľudia stretnú, idú k sebe, znamená to, že majú rôzne cesty...
.Axióma..
Milovaná žena je každodennou teorémou lásky a jedinou axiómou mužského šťastia... Žena si je istá, že ak sa jej páči muž, tak sa ich paralelné cesty musia pretnúť... Nikto sa nebude hádať...
Matematika nás už dávno naučila, že dve rovnobežné priamky sa nikdy nepretínajú. Matematike je to úplne ľahostajné, no ľudia si niekedy nesprávne vykladajú všetky zákony, vrátane matematických, skúšajú ich v živote...
Tieto dva osudy existujú nezávisle od seba. Žiť so svojimi radosťami a strasťami, kým sa nepretnú. Možno sa už videli, poznali sa z videnia, počuli hlas toho druhého.
Možno dokonca bývali na rovnakom poschodí alebo v rovnakom meste. Ale na sebe nezáležalo, až kým sa jedného dňa ich priame línie nepreťali. V tom najdoslovnejšom zmysle! Zrazili sa pri vchode, šliapali si na nohy, skončili v jednom rade, stretli sa na párty...
Čokoľvek chcete, objavil sa kontaktný bod. Trajektórie sa zmenili. Štuchli do seba, na sekundu stuhli a... sa im páčili. Čo sa stane s rovnými čiarami? Pohyb sa nemôže zastaviť, ak sa zastaví, všetko sa skončí. Až teraz sa pokúsia posunúť spoločne, rovnakým smerom....
Smer! To je najdôležitejšie! Ak by sa jedna čiara tiahla zľava doprava a druhá zhora nadol, ako by sa spojili? V žiadnom prípade. Zostanú spolu nejaký čas, v jednom bode a čoskoro sa každý z nich bude naďalej pohybovať po svojej vlastnej trajektórii... Ak ľudia hľadajú šťastie v jeho rôznych prejavoch, ak Ona sníva o tom, že sa stane tanečnicou, a Sníva o lete do vesmíru. Ak On rieši financie a ona je žena v domácnosti. Ak Ona nenávidí žltú farbu a On nosí len tieto odtiene, neznamená to, že neuspejú. To znamená, že sú trochu iné. Je dôležité, aby sa vždy pozerali rovnakým smerom. Do budúcnosti, alebo do neba, alebo do západu slnka... Nech je jeden cieľ, ale spôsoby, ako ho dosiahnuť, sa môžu líšiť. Tým sa nezmení význam, obsah, ale forma je relatívny pojem....
A tiež... jedna čiara by sa nemala prekrývať s druhou. Môžu sa natiahnuť paralelne, ale veľmi blízko, dotýkajúc sa okrajov. Naťahovať sa takto do nekonečna... Áno, stáva sa... Viem... Dve paralelné sa pretínajú v nekonečne - a oni sami tomu veria.
Hlavné je stretnúť sa....z vôle Lady Chance... Je jedno kde a ako....
Neprechádzaj....
P.S. IMHO... ale niekedy dve rovnobežné pretínajúce sa tvoria kríž... krížik sa dáva na všetko... pre niekoho kríž, pre iného bodka... a potom tie rovnobežné nikam nevedú... a tak sa to stáva.. Toto sa stáva najčastejšie...mnohým...

Paralelná žiarivá žiara.. Spárovať rodové línie.. ich vášeň je taká silná... A ako ovocie toho priesečníka... Zrodila sa malá bodka!......

Paralelné čiary sa nepretínajú.. Axióma znie odsúdená na zánik.. Nikdy sa nestretnú.. Paralelné zasnúbené.. Zasnúbené, zasnúbené, paralelné.. Siahajúce do zákulisia.. Pravidlo rovnobežné! Nie v čase a nie v tomto úde.. Nezídu sa vo veselej bezstarostnosti.. Bez ohľadu na to, ako blízko ich život zblíži... A ako blízko ich k sebe pritiahne.. Neexistujú žiadne body, ktoré by sa mohli pretínať... Hádať sa s pravidlami je riskantné.. Tu takéto vyhlásenie! Kto nechápe, nepotrebuje... A kto chápe, má brata nešťastie... Na stratenú lásku neexistuje liek - Lepšie ako priateľská účasť! Lepšie ako nová láska, nečakané.. Horúce pohľady, láskavé objatia.. Možnosti sú nám dané zhora.. Významným udalostiam neunikneš... Všetkým prajem modrú oblohu.. Šťastie, radosť a šťastie.. A aby prerušované čiary života.. Viac priesečníkov! No navždy zostaneme.. Neprístupnosť odriekania... Topí sa v žltom plameni sviečky.. Len naša stopa z križovatky....

Dejiny vzniku Lobačevského geometrie sú zároveň dejinami pokusov dokázať Euklidov piaty postulát. Tento postulát je jednou z axióm, ktoré stanovil Euklides ako základ pre jeho prezentáciu geometrie (pozri Euklides a jeho „prvky“). Piaty postulát je posledným a najkomplexnejším z tvrdení, ktoré Euklides zahrnul do svojej axiomatiky geometrie. Pripomeňme si formuláciu piateho postulátu: ak dve priamky pretína tretia tak, že na ktorejkoľvek jej strane je súčet vnútorných uhlov menší ako dva pravé uhly, potom sa na tej istej strane pôvodné priamky pretínajú. Napríklad, ak na obr. 1 uhol je pravý uhol a uhol je o niečo menší ako pravý uhol, potom sa priame čiary určite pretínajú a napravo od priamky. Mnohé z Euklidových teorémov (napríklad „v rovnoramennom trojuholníku sú základné uhly rovnaké“) vyjadrujú oveľa jednoduchšie fakty ako piaty postulát. Okrem toho je dosť ťažké experimentálne overiť piaty postulát. Stačí povedať, že ak na obr. 1 vzdialenosť sa považuje za rovnajúcu sa 1 m a uhol sa líši od priamky o jednu oblúkovú sekundu, potom môžeme vypočítať, že priamky sa pretínajú vo vzdialenosti viac ako 200 km od priamky.

Mnohí matematici, ktorí žili po Euklidovi, sa snažili dokázať, že táto axióma (piaty postulát) je nadbytočná, t.j. dá sa dokázať ako veta založená na zostávajúcich axiómach. Takže v 5. storočí. Matematik Proclus (prvý komentátor diel Euklida) urobil takýto pokus. Proclus však vo svojom dôkaze, pre seba nepozorovane, použil toto tvrdenie: dve kolmice na jednu priamku po celej svojej dĺžke sú od seba v obmedzenej vzdialenosti (t. j. dve priamky kolmé na tretiu sa nemôžu od seba vzdialiť). iné neurčito, ako čiary na obr. 2). Ale napriek všetkej zjavnej vizuálnej „samozrejmosti“ si toto tvrdenie vyžaduje odôvodnenie v prísnej axiomatickej prezentácii geometrie. V skutočnosti je výrok, ktorý použil Proclus, ekvivalentom piateho postulátu; inými slovami, ak sa pridá k zvyšku Euklidových axióm ako ďalšia nová axióma, potom sa dá dokázať piaty postulát (čo urobil Proklos), a ak sa prijme piaty postulát, potom môže byť výrok formulovaný Proklom osvedčené.

Kritická analýza ďalších pokusov dokázať piaty postulát odhalila veľké množstvo podobných „zrejmých“ tvrdení, ktoré môžu nahradiť piaty postulát v Euklidovej axiomatike. Tu je niekoľko príkladov takýchto ekvivalentov piateho postulátu.

1) Cez bod vo vnútri uhla menšieho ako je rozložený, môžete vždy nakresliť priamku pretínajúcu jeho strany, t.j. priame čiary v rovine nemožno umiestniť tak, ako je znázornené na obr. 3. 2) Existujú dva podobné trojuholníky, ktoré sa navzájom nerovnajú. 3) Tri body umiestnené na jednej strane priamky v rovnakej vzdialenosti od nej (obr. 4) ležia na tej istej priamke. 4) Pre každý trojuholník existuje kružnica opísaná.

Postupne sú „dôkazy“ čoraz sofistikovanejšie a čoraz hlbšie sa v nich ukrývajú jemné ekvivalenty piateho postulátu. Priznaním, že piaty postulát bol nepravdivý, sa matematici pokúsili dospieť k logickému rozporu. Dospeli k tvrdeniam, ktoré obludne odporovali našej geometrickej intuícii, ale nedosiahli sa žiadne logické protirečenia. Alebo možno na tejto ceste nikdy neprídeme do rozporu? Mohlo by sa stať, že nahradením piateho Euklidovho postulátu jeho negáciou (pri zachovaní zvyšku Euklidovych axióm) dospejeme k novej, neeuklidovskej geometrii, ktorá v mnohých ohľadoch nesúhlasí s našimi bežnými vizuálnymi reprezentáciami, no predsa len áno? neobsahuje žiadne logické rozpory? Matematici nemohli trpieť touto jednoduchou, ale veľmi odvážnou myšlienkou dvetisíc rokov po objavení sa Euklidových prvkov.

Prvý, kto pripustil možnosť existencie neeuklidovskej geometrie, v ktorej je piaty postulát nahradený jej negáciou, bol K. F. Gauss. Skutočnosť, že Gauss vlastnil myšlienky neeuklidovskej geometrie, sa zistila až po smrti vedca, keď sa začali študovať jeho archívy. Geniálny Gauss, ktorého názory všetci počúvali, sa neodvážil zverejniť svoje výsledky o neeuklidovskej geometrii zo strachu, že bude nepochopený a vtiahnutý do polemiky.

XIX storočia priniesol riešenie hádanky piateho postulátu. K tomuto objavu prišiel nezávisle od Gaussa aj náš krajan, profesor Kazanskej univerzity N.I. Podobne ako jeho predchodcovia, aj Lobačevskij sa spočiatku pokúšal vyvodiť rôzne dôsledky z popretia piateho postulátu, dúfajúc, že ​​skôr či neskôr dôjde k rozporu. Dokázal však mnoho desiatok teorémov bez toho, aby odhalil logické rozpory. A potom Lobačevskij prišiel s hádaním o konzistencii geometrie, v ktorej bol piaty postulát nahradený jej negáciou. Lobačevskij nazval túto geometriu imaginárnou. Lobačevskij načrtol svoj výskum v niekoľkých prácach, počnúc rokom 1829. Ale matematický svet Lobačevského myšlienky neprijal. Vedci neboli pripravení na myšlienku, že by mohla existovať iná geometria ako euklidovská. A iba Gauss vyjadril svoj postoj k vedeckému výkonu ruského vedca: v roku 1842 dosiahol zvolenie N. I. Lobačevského za člena korešpondenta Göttingenskej kráľovskej vedeckej spoločnosti. Toto je jediná vedecká pocta, ktorá sa Lobačevskému dostala počas jeho života. Zomrel bez uznania svojich myšlienok.

Keď už hovoríme o geometrii Lobačevského, nemožno nespomenúť ďalšieho vedca, ktorý má spolu s Gaussom a Lobačevským zásluhu na objave neeuklidovskej geometrie. Bol ním maďarský matematik J. Bolyai (1802-1860). Jeho otec, slávny matematik F. Bolyai, ktorý celý život pracoval na teórii paralel, veril, že riešenie tohto problému je nad ľudské sily, a chcel svojho syna ochrániť pred neúspechmi a sklamaním. V jednom zo svojich listov mu napísal: „Prešiel som celou beznádejnou temnotou tejto noci a pochoval som v nej každé svetlo, každú radosť zo života... môže ťa pripraviť o všetok tvoj čas, zdravie, pokoj, všetko šťastie tvojho života...“ Ale Jánoš neposlúchol otcove varovania. Čoskoro mladý vedec, nezávisle od Gaussa a Lobačevského, dospel k rovnakým myšlienkam. V dodatku ku knihe svojho otca, vydanej v roku 1832, J. Bolyai podal nezávislú prezentáciu neeuklidovskej geometrie.

Lobačevského geometria (alebo Lobačevského Boljaiho geometria, ako sa jej niekedy hovorí) zachováva všetky teorémy, ktoré možno v euklidovskej geometrii dokázať bez použitia piateho postulátu (alebo paralelnej axiómy jedného z ekvivalentov piateho postulátu – zahrnuté v školských učebniciach tieto dni). Napríklad: vertikálne uhly sú rovnaké; uhly v základni rovnoramenného trojuholníka sú rovnaké; z daného bodu možno spustiť na danú čiaru iba jednu kolmicu; zachované sú aj znaky rovnosti trojuholníkov atď. Veta o súčte uhlov trojuholníka je prvou teorémou školského kurzu, na dôkaz ktorej sa používa axióma rovnobežnosti. Tu nás čaká prvé „prekvapenie“: v Lobačevského geometrii je súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka menší ako 180°.

Ak sa dva uhly jedného trojuholníka rovnajú dvom uhlom iného trojuholníka, potom v euklidovskej geometrii sú aj tretie uhly rovnaké (takéto trojuholníky sú podobné). V Lobačevského geometrii takéto trojuholníky neexistujú. Navyše v Lobachevského geometrii existuje štvrté kritérium pre rovnosť trojuholníkov: ak sú uhly jedného trojuholníka zodpovedajúce uhlom iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky rovnaké.

Rozdiel medzi 180° a súčtom uhlov trojuholníka v Lobačevského geometrii je kladný; nazýva sa to defekt tohto trojuholníka. Ukazuje sa, že v tejto geometrii je oblasť trojuholníka pozoruhodne spojená s jeho defektom: , kde a znamenajú plochu a defekt trojuholníka a počet závisí od výberu jednotiek na meranie plôch a uhlov.

Nech je teraz nejaký ostrý uhol (obr. 5). V Lobačevského geometrii si môžete zvoliť bod na strane tak, aby sa kolmica na stranu nepretínala s druhou stranou uhla. Táto skutočnosť len potvrdzuje, že piaty postulát nie je splnený: súčet uhlov a je menší ako rozvinutý uhol, ale priame čiary sa nepretínajú. Ak začnete bod približovať k , bude tam taký „kritický“ bod, že kolmica na stranu sa stále nepretína so stranou, ale pre akýkoľvek bod ležiaci medzi a sa zodpovedajúca kolmica pretína so stranou. Sú rovné a čoraz bližšie k sebe, ale nemajú spoločné body. Na obr. 6 sú tieto čiary znázornené oddelene; Lobačevskij nazýva vo svojej geometrii rovnobežné priamky, ktoré sa k sebe nekonečne približujú. A Lobačevskij nazýva dve kolmice na jednu priamku (ktoré sa od seba neurčito vzďaľujú, ako na obr. 2) divergentnými priamkami. Ukazuje sa, že to obmedzuje všetky možnosti usporiadania dvoch priamok na Lobačevského rovine: dve divergentné priamky sa buď pretínajú v jednom bode, alebo sú rovnobežné (obr. 6), alebo sú divergentné (v tomto prípade majú jeden spoločný kolmá, obr. 2).

Na obr. 7, kolmica na stranu uhla sa nepretína so stranou a priamky sú symetrické k priamkam vzhľadom na . Ďalej, ,so je kolmé na segment v jeho strede a podobne je kolmé na segment v jeho strede. Tieto kolmice sa nepretínajú, a preto neexistuje bod rovnako vzdialený od bodov, t.j. trojuholník nemá kružnicu opísanú.

Na obr. Obrázok 8 ukazuje zaujímavý variant usporiadania troch priamych čiar v rovine Lobačevského: každé dve z nich sú rovnobežné (iba v rôznych smeroch). A na obr. 9 sú všetky čiary navzájom rovnobežné v rovnakom smere (zväzok rovnobežných čiar). Červená čiara na obr. 9 je „kolmá“ na všetky nakreslené priame čiary (t. j. dotyčnica k tejto čiare v ktoromkoľvek bode je kolmá na priamku prechádzajúcu cez ). Táto čiara sa nazýva limitná kružnica alebo horocyklus. Priame čiary uvažovaného lúča sú akoby jeho „polomery“ a „stred“ limitnej kružnice leží v nekonečne, pretože „polomery“ sú rovnobežné. Zároveň hraničná kružnica nie je priamka, je „zakrivená“. A ďalšie vlastnosti, ktoré má priamka v euklidovskej geometrii, v Lobačevského geometrii, sa ukázali byť vlastné iným čiaram. Napríklad množina bodov umiestnených na jednej strane danej priamky v danej vzdialenosti od nej, v Lobačevského geometrii, je zakrivená čiara (nazýva sa to ekvidištancia).

Stručne sme sa dotkli iba niektorých faktov Lobačevského geometrie bez toho, aby sme spomenuli mnoho ďalších veľmi zaujímavých a zmysluplných teorémov (napríklad obvod a plocha kruhu s polomerom tu rastie v závislosti od exponenciálneho zákona). Existuje presvedčenie, že táto teória, bohatá na veľmi zaujímavé a zmysluplné fakty, je v skutočnosti konzistentná. Ale toto presvedčenie (ktoré zdieľali všetci traja tvorcovia neeuklidovskej geometrie) nenahrádza dôkaz konzistentnosti.

Na získanie takéhoto dôkazu bolo potrebné postaviť model. A Lobačevskij to dobre pochopil a pokúsil sa ju nájsť.

Ale sám Lobačevskij to už nedokázal. Konštrukcia takéhoto modelu (t. j. dôkaz konzistentnosti Lobačevského geometrie) pripadla na rad matematikov ďalšej generácie.

V roku 1868 taliansky matematik E. Beltrami preskúmal konkávny povrch nazývaný pseudosféra (obr. 10) a dokázal, že na tomto povrchu pôsobí Lobačevského geometria! Ak na tento povrch nakreslíme najkratšie čiary („geodesics“) a zmeriame vzdialenosti pozdĺž týchto čiar, vytvoríme trojuholníky z oblúkov týchto čiar atď., Potom sa ukáže, že všetky vzorce Lobačevského geometrie sú implementované presne (najmä , súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka menších ako 180°). Je pravda, že na pseudosfére nie je realizovaná celá Lobačevského rovina, ale iba jej obmedzený kúsok, ale aj tak to bol prvý zlom v prázdnej stene neuznania Lobačevského. A o dva roky neskôr nemecký matematik F. Klein (1849-1925) navrhol ďalší model Lobačevského lietadla.

Klein vezme kruh a zvažuje projektívne transformácie roviny (pozri Projektívna geometria), ktoré mapujú kruh na seba. Klein nazýva vnútro kruhu „rovina“ a naznačené projektívne transformácie považuje za „pohyby“ tejto „roviny“. Ďalej Klein považuje každú tetivu kruhu (bez koncov, pretože sa berú iba vnútorné body kruhu) za „priamku“. Keďže „pohyby“ sú projektívne transformácie, „priame“ sa počas týchto „pohybov“ menia na „priame“. Teraz v tejto „rovine“ môžeme zvážiť segmenty, trojuholníky atď. Dve postavy sa nazývajú „rovnaké“, ak sa jedna z nich dá preniesť na druhú nejakým „pohybom“. Tým sú zavedené všetky pojmy uvedené v axiómach geometrie a je možné kontrolovať plnenie axióm v tomto modeli. Napríklad je zrejmé, že cez ľubovoľné dva body prechádza len jedna „priamka“ (obr. 11). Je tiež vidieť, že bodom, ktorý nepatrí do „priamky“, prechádza nekonečný počet „priamok“, ktoré sa nepretínajú. Ďalšie overenie ukazuje, že v Kleinovom modeli sú splnené aj všetky ostatné axiómy Lobačevského geometrie. Najmä pre akúkoľvek „priamku“ (t. j. tetivu kruhu) a akýkoľvek bod tejto „priamky“ existuje „pohyb“, ktorý ju prenáša na inú danú priamku s vyznačeným bodom. To nám umožňuje kontrolovať splnenie všetkých axióm Lobačevského geometrie.

Ďalší model Lobačevského geometrie navrhol francúzsky matematik A. Poincaré (1854-1912). Zvažuje aj vnútro istého kruhu; Uvažuje o „priamych“ oblúkoch kružníc, ktoré sa dotýkajú polomerov v priesečníkoch s hranicou kružnice (obr. 12). Bez toho, aby sme podrobne hovorili o „pohyboch“ v Poincarého modeli (pôjde o kruhové transformácie, najmä inverzie vzhľadom na „priame čiary“, transformujúce kruh do seba), obmedzíme sa na naznačenie obr. 13, čo ukazuje, že v tomto modeli nemá Euklidovská axióma paralelizmu miesto. Je zaujímavé, že v tomto modeli sa kruh (euklidovský) nachádzajúci sa vo vnútri kruhu ukazuje ako „kruh“ v zmysle Lobačevského geometrie; kruh dotýkajúci sa hranice. Potom sa svetlo (v súlade s Fermatovým princípom o minimálnom čase pohybu pozdĺž trajektórie svetla) bude šíriť presne pozdĺž „priamok“ uvažovaného modelu. Svetlo nemôže dosiahnuť hranicu v konečnom čase (keďže tam jeho rýchlosť klesá na nulu), a preto bude tento svet jeho „obyvateľmi“ vnímaný ako nekonečný a vo svojich metrikách a vlastnostiach sa zhoduje s Lobačevského rovinou.

Následne boli navrhnuté ďalšie modely Lobačevského geometrie. Tieto modely nakoniec vytvorili konzistentnosť Lobačevského geometrie. Tak sa ukázalo, že Euklidova geometria nie je jediná možná. To malo veľký progresívny vplyv na ďalší rozvoj geometrie a matematiky vôbec.

A v 20. storočí. zistilo sa, že Lobačevského geometria nie je dôležitá len pre abstraktnú matematiku ako jedna z možných geometrií, ale priamo súvisí aj s aplikáciami matematiky vo fyzike. Ukázalo sa, že vzťah medzi priestorom a časom, objavený v prácach H. Lorentza, A. Poincarého, A. Einsteina, G. Minkowského a popísaný v rámci špeciálnej teórie relativity, priamo súvisí s Lobačevského geometriou. Napríklad pri výpočtoch moderných synchrofazotrónov sa používajú vzorce Lobačevského geometrie.

Znaky rovnobežnosti dvoch čiar

Veta 1. Ak sa dve priamky pretínajú sečnicou:

skrížené uhly sú rovnaké, príp

zodpovedajúce uhly sú rovnaké, alebo

súčet jednostranných uhlov je potom 180°

čiary sú rovnobežné(obr. 1).

Dôkaz. Obmedzujeme sa na preukázanie prípadu 1.

Nech sú pretínajúce sa priamky aab priečne a uhly AB sú rovnaké. Napríklad ∠ 4 = ∠ 6. Dokážme, že || b.

Predpokladajme, že priamky a a b nie sú rovnobežné. Potom sa pretínajú v určitom bode M, a preto jeden z uhlov 4 alebo 6 bude vonkajším uhlom trojuholníka ABM. Pre jednoznačnosť nech je ∠ 4 vonkajší uhol trojuholníka ABM a ∠ 6 vnútorný uhol. Z vety o vonkajšom uhle trojuholníka vyplýva, že ∠ 4 je väčšie ako ∠ 6, čo je v rozpore s podmienkou, čo znamená, že priamky a a 6 sa nemôžu pretínať, sú teda rovnobežné.

Dôsledok 1. Dve rôzne čiary v rovine kolmej na tú istú čiaru sú rovnobežné(obr. 2).

Komentujte. Spôsob, akým sme práve dokázali prípad 1 vety 1, sa nazýva metóda dôkazu kontradikciou alebo redukciou do absurdity. Táto metóda dostala svoje prvé meno, pretože na začiatku argumentu je vyslovený predpoklad, ktorý je v rozpore (opačný) k tomu, čo je potrebné dokázať. Vedúcim k absurdite sa nazýva preto, že uvažovaním na základe vysloveného predpokladu dospejeme k absurdnému záveru (k absurdite). Prijatie takéhoto záveru nás núti odmietnuť predpoklad vyslovený na začiatku a prijať ten, ktorý bolo potrebné dokázať.

Úloha 1. Zostrojte priamku prechádzajúcu daným bodom M a rovnobežnú s danou priamkou a, ktorá neprechádza bodom M.

Riešenie. Bodom M kolmo na priamku a vedieme priamku p (obr. 3).

Potom nakreslíme priamku b bodom M kolmým na priamku p. Priamka b je rovnobežná s priamkou a podľa následku vety 1.

Z uvažovaného problému vyplýva dôležitý záver:
cez bod, ktorý neleží na danej priamke, je vždy možné nakresliť priamku rovnobežnú s danou.

Hlavná vlastnosť rovnobežných čiar je nasledovná.

Axióma rovnobežných čiar. Cez daný bod, ktorý neleží na danej priamke, prechádza len jedna priamka rovnobežná s danou.

Uvažujme o niektorých vlastnostiach rovnobežných priamok, ktoré vyplývajú z tejto axiómy.

1) Ak priamka pretína jednu z dvoch rovnobežných priamok, potom pretína aj druhú (obr. 4).

2) Ak sú dve rôzne čiary rovnobežné s treťou čiarou, potom sú rovnobežné (obr. 5).

Nasledujúca veta je tiež pravdivá.

Veta 2. Ak dve rovnobežné priamky pretína priečka, potom:

priečne uhly sú rovnaké;

zodpovedajúce uhly sú rovnaké;

súčet jednostranných uhlov je 180°.

Dôsledok 2. Ak je čiara kolmá na jednu z dvoch rovnobežných čiar, potom je tiež kolmá na druhú(pozri obr. 2).

Komentujte. Veta 2 sa nazýva inverzná veta 1. Záver 1. vety je podmienkou vety 2. A podmienka 1. vety je záverom 2. vety. Nie každá veta má inverznú, teda ak je daná veta pravda, potom môže byť inverzná veta nepravdivá.

Vysvetlime si to na príklade vety o vertikálnych uhloch. Táto veta môže byť formulovaná nasledovne: ak sú dva uhly vertikálne, potom sú rovnaké. Opačná veta by bola: ak sú dva uhly rovnaké, potom sú vertikálne. A to, samozrejme, nie je pravda. Dva rovnaké uhly nemusia byť vertikálne.

Príklad 1 Dve rovnobežné čiary pretína tretia. Je známe, že rozdiel medzi dvoma vnútornými jednostrannými uhlami je 30°. Nájdite tieto uhly.

Riešenie. Nech obrázok 6 spĺňa podmienku.

Píše sa rok 1819, slávny francúzsky matematik Laplace sníva o tom, že uprostred Sibíri nainštaluje obrovskú svietiacu postavu symbolizujúcu Pytagorovu vetu, aby kontaktoval mimozemšťanov, a na Kazanskú univerzitu prichádza nový správca Michail Magnitsky. Obviňuje profesorov a učiteľov zo voľnomyšlienkárstva a ateizmu a pozýva Alexandra I., aby slávnostne zbúral budovu, ktorá skrývala neresť.

Cisár to odmietne, univerzita sa reštartuje a novým rektorom sa stáva Grigorij Nikolskij – 35-ročný, kariérne zameraný matematik, ktorý rád oslovoval študentov slovami „panovníci“ a opakoval im, že „prepona v práve trojuholník je symbolom stretnutia pravdy a pokoja, spravodlivosti a lásky prostredníctvom príhovoru Boha a človeka...“ Približne v rovnakom čase v hlave 28-ročného Lobačevského, ktorý celý život pôsobil na univerzite v Kazani. , jedna nejasná myšlienka sa točila a točila: niečo nebolo v poriadku s Euklidovým piatym postulátom. Ale všetko je v poriadku.

Na začiatku boli postuláty

Asi pred dvetisíc rokmi, priamo od Lobačevského, žil veľký staroveký grécky matematik Euclid, ktorý zhromaždil všetky poznatky o geometrii, ktoré existovali pred ním, do jednej veľkej knihy - „Principia“. Táto kniha začala siedmimi definíciami a piatimi postulátmi – nedokázateľnými, intuitívne akceptovanými tvrdeniami o viere, na základe ktorých boli postavené všetky ďalšie úvahy a vety.

Prvé štyri postuláty boli lakonické a harmonické:

1. Priamka môže byť nakreslená z akéhokoľvek bodu do akéhokoľvek bodu.
2. Ohraničená čiara môže byť plynule predĺžená pozdĺž priamky.
3. Kruh môže byť opísaný z akéhokoľvek stredu akýmkoľvek polomerom.
4. Všetky pravé uhly sú si navzájom rovné.

Pravdepodobne nikto nepochyboval o ich pravde v celých dejinách sveta, ale piaty postulát znel oveľa mätúcejšie a len málo sa podobal na nespornú pravdu:

1. Ak priamka pretínajúca dve priame čiary vytvára vnútorné jednostranné uhly menšie ako dva pravé uhly, potom sa tieto dve priamky, predĺžené na neurčito, stretnú na strane, kde sú uhly menšie ako dva pravé uhly.

Neskôr sa desiatky matematikov pokúšali dokázať toto tvrdenie v rôznych formuláciách (najčastejšia z nich hovorí, že v rovine cez bod, ktorý neleží na danej priamke, možno nakresliť len jednu priamku rovnobežnú s danou priamkou), ale všetky boli vtiahnuté do rovnakej histórie. Zdalo sa, že ich dôkazy sa zahryzli do chvosta - spočívali na tvrdeniach, ktoré bolo absolútne nemožné dokázať bez samotného piateho postulátu. Pripomínali skôr zápletky Escherových obrazov ako prísne matematické konštrukcie.

Piaty postulát Lobačevského zahanbil ani nie tak svojou nepresnosťou, ako skôr filozofickým zaťažením: usadil hmotu v akomsi zamrznutom absolútnom priestore, v súradnicovom systéme nezávislom od hmoty samotnej a existujúcom odteraz a navždy pre celý Vesmír. Lobačevskému sa to nepáčilo: veril, že geometria a realita sú prepojené, a do svojich denníkov napísal: „V prírode vlastne poznáme iba pohyb, bez ktorého nie sú možné zmyslové dojmy. Takže všetky ostatné pojmy, napríklad geometrické, sú vytvárané umelo našou mysľou, berúc do úvahy vlastnosti pohybu; a preto priestor sám o sebe, oddelene, pre nás neexistuje. Potom v našich mysliach nemôže byť žiadny rozpor, keď pripustíme, že niektoré sily v prírode nasledujú jednu, iné svoju vlastnú špeciálnu geometriu.

Ako solídny materialista nemohol prijať len vieru, že rovnobežné línie sa nepretínajú niekde v nekonečnosti vesmíru. Áno, sám Lobačevskij viac ako raz vykonal geodetické merania na zemi a videl, že súčet uhlov v trojuholníku sa vždy rovná 180 (a to je ďalšia ekvivalentná formulácia Euklidovho piateho zákona), ale nemohol sľúbiť, že to bude prípad všetkých trojuholníkov v našom nekonečnom priestore.

Práca na nerovnom teréne

V matematike a vôbec vo vede môže byť často veľmi ťažké dokázať, že niečo nie je v poriadku alebo nefunguje. S piatym Euklidovým postulátom to bolo približne rovnaké: ľudia nedokázali jeho správnosť dokázať, ale ešte ťažšie bolo vyvrátiť ho, najmä ak vezmeme do úvahy, že celý kolos Euklidových geometrických viet bol koherentný a konzistentný.

Preto sa Lobačevskij vo svojom boji s piatym postulátom obrátil na dôkaz protirečením. Aby videl, čo sa stane potom s celým systémom geometrických viet, pokúsil sa nahradiť piaty postulát jeho zrkadlovým obrazom („Bodom, ktorý neleží na danej priamke, prechádzajú aspoň dve priamky, ktoré ležia na danej priamke v rovnakej rovine a nepretínajte ju“.). Objavia sa v nich vnútorné rozpory, ktoré nepriamo naznačujú, že pôvodná verzia piateho postulátu – taká nedbalá a kontraintuitívna – bola v našom priestore predsa len nevyhnutne pravdivá? To sa však nestalo - neboli žiadne rozpory.

Preto Lobačevskij vzal prvé štyri postuláty Euklida, pridal k nim nový piaty a na tomto začal budovať novú konzistentnú geometriu, ktorá popisovala skutočný svet, ako dúfal, presnejšie a hlbšie ako euklidovská geometria.

Lobačevskij chcel dokonca otestovať svoju geometriu vo vesmíre – vypočítať súčet uhlov v trojuholníku zloženom z hviezd a zistiť, či sa bude rovnať 180 stupňom, ale všetky jeho experimenty zlyhali. Vkradli sa do nich nepresnosti a kolosálne chyby a sám Lobačevskij bol roztrhaný na kusy: na rodnej univerzite teraz vyučoval nielen matematiku, ale aj fyziku a astronómiu; rektor Nikolskij, ktorý sníval o ochladení svojho zápalu, prinútil Lobačevského obnoviť poriadok v univerzitnej knižnici a správca Magnitskij urobil z matematika člena stavebnej komisie na univerzite (Magnitskij, ktorý kradol počas výstavby, zrejme dúfal, že zahodí všetky obviňovať neopatrného matematika vznášajúceho sa na oblohe, ale tento plán zlyhal).

Na čistú vedu zostali žalostné zrnká času, ale Lobačevskij pokračoval v prehlbovaní svojej geometrie - formuloval nové teorémy, zostavoval výroky a nakoniec 7. februára (starý štýl) 1826 predstavil svoju prácu vedeckej komisii Kazanskej univerzity - “ Stručná prezentácia princípov geometrie s dôsledným dôkazom vety o rovnobežkách.“

Nová geometria - staré problémy

Pri spätnom pohľade sa zdá, že život veľkých myšlienok je jednoduchší, ako bol v skutočnosti. Áno, okolo sú inertní ľudia, áno, všade panuje nedôvera a neochota rozkolísať loď, ale aj s týmito priťažujúcimi úpravami sa trajektória skvelého nápadu prinajhoršom javí ako elastická, stlačená špirála, ktorá sa odvíja viskóznym každodenným životom. život smerom k svetlu pravdy. V skutočnosti je to skôr prerušená krivka blúdenia - Lobačevského správa zo 7. februára zlyhala.

Nevieme, aký tvar mal stôl v miestnosti, kde sa podávala správa - obdĺžnikový, okrúhly alebo možno oválny; Nevieme, aké tam boli okná, steny, dvere, ale jedno chápeme s istotou: myšlienky všetkých prítomných potom sledovali cesty úplne kolmé na neeuklidovskú geometriu. Krátko predtým nový cisár Mikuláš I. odvolal Magnitského zo svojej pozície a všetci členovia komisie teraz premýšľali, ako tento náhly pohyb zvonku zmení ich životy, a nevenovali takmer žiadnu pozornosť podivnému matematikovi, ktorý hovoril vo francúzštine o akejsi mimozemskej geometrii.

Brownov pohyb nanočastíc vo vode

Potom bol rukopis zaslaný na posúdenie niektorým členom komisie, no v nepokojoch temných dní naň zrejme jednoducho zabudli a samotná správa nebola nikdy schválená na zverejnenie. Potom mohla celá Lobačevského geometria zostať v jeho hlave navždy, ak nie pre jedno prekvapenie: čoskoro bol zvolený za nového rektora univerzity.

Je nepravdepodobné, že potom mal Lobačevskij menej práce a viac energie, ale postupne svoje myšlienky formalizoval do dokončenej práce „O princípoch geometrie“, ktorá bola najskôr publikovaná v časopise „Kazansky Vestnik“ a potom predložená na posúdenie. Akadémie vied, kde sa recenzia dostala k jednému z najmocnejších ruských matematikov tej doby - Michailovi Ostrogradskému.

„Autor sa zrejme rozhodol písať tak, aby sa to nedalo pochopiť. Tento cieľ dosiahol; väčšina knihy mi zostala taká neznáma, ako keby som ju nikdy nevidel...“ – toto je jeho odpoveď. Nová geometria zostáva nejasná. Putovanie pokračuje.

Kruhy na vode

Lobačevskij nachádza pochopenie o niekoľko rokov neskôr. Svoje práce publikuje v európskych časopisoch, kde si ich všimol veľký Nemec Gauss, ktorý sám dlhé roky tajne študuje neeuklidovskú geometriu. Aby lepšie porozumel kazanskému vedcovi, rýchlo sa naučil po rusky a potom, ohromený odvahou a jasnosťou Lobačevského myšlienok, ho nominuje za člena korešpondenta Göttingenskej kráľovskej vedeckej spoločnosti.

Uznanie sa stretáva s jeho genialitou, hoci v jeho rodnej krajine Ostrogradskij a ľudia okolo neho čas od času odmietali všetky práce na neeuklidovskej geometrii až do Lobačevského smrti v roku 1856.

Prejde 12-15 rokov a matematici okamžite nájdu niekoľko skutočných modelov, v ktorých funguje Lobačevského geometria. V najjednoduchšom z nich, projektívnom, sa vnútro kruhu berie ako rovina a jeho tetiva sa berie ako priamka. V dôsledku toho je zrejmé, že cez jeden bod P, ležiaci vo vnútri kruhu, môžete nakresliť ľubovoľný počet akordov, ktoré sa nepretínajú s jedným pevným akordom A, sa v takýchto pravidlách hry automaticky stáva ilustráciou piateho zákona Lobačevského geometrie.

V roku 1868 bola publikovaná správa Riemanna, ďalšieho priekopníka s inou neeuklidovskou geometriou, v ktorej už nie je možné nakresliť jedinú rovnobežnú čiaru cez každý bod v priestore a matematici postupne začínajú byť jasné, že geometrie Riemanna a Lobačevského sú neuveriteľne podobné kroky vľavo a vpravo od obvyklej euklidovskej geometrie. Prvý pracuje na povrchoch s kladným zakrivením - ako sú gule alebo geoidy (meridiány rovnobežné s rovníkom sa stretávajú na póloch) a druhý - na povrchoch s negatívnym zakrivením - ako hyperboloidy alebo sedlá.

A o niečo neskôr, začiatkom 20. storočia, sa nová geometria konečne stretne s fyzikou. Einstein sformuluje svoju všeobecnú teóriu relativity v zmysle Riemannovej geometrie a myšlienky ľudí zvyknutých chodiť po rovnakých paralelných koľajniciach otvoria nové cesty: priestor a čas nie sú absolútne. Pohyb mení geometriu. A tisícročné axiómy nie sú vždy pravdivé.