Emmy Noether și teorema ei. Conceptul de simetrie. Teorema lui Noether Aditivitatea asimptotică a integralelor de mișcare. Formularea teoremei lui Noether

Să formulăm și să demonstrăm cu precizie teorema lui Noether.

Să luăm în considerare un sistem descris de funcția Lagrange

Forma ecuațiilor Lagrange-Euler obținute din principiul variațional cu o astfel de funcție Lagrange este invariantă la transformări ale formei, precum și la transformări mai generale.

implicând înlocuirea variabilei independente. Cu toate acestea, forma specifică pentru noua expresie pentru acțiune, ca funcțională a unor noi coordonate în funcție de noul timp, poate suferi orice modificări cu o astfel de modificare.

Teorema lui Noether este interesată doar în cazul în care astfel de modificări nu apar.

Folosind (4), obținem:

Să fie transformările astfel încât

acestea. formând un grup cu un singur parametru. Să considerăm o transformare infinitezimală corespunzătoare parametrului.

De fapt, variațiile coordonatelor generalizate care apar în timpul transformării luate în considerare sunt diferența dintre valorile noilor coordonate la un moment dat al noului timp și valorile vechilor coordonate la momentul corespunzător al vechiului timp. , adică

Alături de acestea, este convenabil să introduceți variații de formă

dependențe ale coordonatelor de timp care sunt diferite de zero, chiar dacă transformarea noastră afectează doar timpul și nu coordonatele.

Pentru orice funcție este valabilă următoarea relație:

Exista apoi o relatie intre cele doua tipuri de variatii introduse, care se poate obtine astfel: scade ecuatia (9) din (8), obtinem:

sa tinem cont de asta

atunci noi avem:

Variațiile fără asteriscuri legate de aceeași valoare a argumentului sunt comutabile cu diferențierea în timp

în timp ce pentru variațiile cu asteriscuri acest lucru nu este, în general, adevărat.

Cele două tipuri corespunzătoare de variații pot fi introduse pentru orice variabilă dinamică. De exemplu, pentru funcția Lagrange

unde include diferențierea atât prin timp inclus în mod explicit, cât și prin timp inclus implicit, prin coordonate și viteze.

Cerem acum ca integrala acțiunii să nu se modifice în timpul transformării noastre - acesta este cazul excepțional cerut de condițiile teoremei - i.e. asta a fost

Unde T"- acelasi domeniu de integrare ca Tîn integrala a doua, dar exprimată în termeni de variabile noi. Apoi, înlocuind (11) în (13), obținem

Ne exprimăm de la (15) la (11) și ținând cont de relație, trecând la integrare peste tîn loc de t", primim:

Având în vedere că

Primim: (15)

Să găsim diferența

Înlocuind (17) în (16), obținem:

Sub semnul primei sume se află ecuația Lagrange, adică.

matematician german.

A fost invitată David Gilbert pentru predarea și conducerea lucrărilor științifice la Universitatea din Göttingen.

« Emmy Noether avea puține în comun cu legendara „matematică” Sofia Kovalevskaya, fermecat chiar Weierstrass cu inteligenţa şi farmecul lui tineresc. Era complet lipsită de feminitate, atât ca aspect, cât și prin maniere. Chiar și astăzi, primele lucruri pe care bărbații care au cunoscut-o le amintesc sunt: ​​„Avea o voce tare și neplăcută”, „Arăta ca o spălătorie energică și foarte miop”, „Hainele ei erau mereu largi”.
Toți citează cu entuziasm remarca delicată că „grațiile nu au stat în leagănul ei”.
Cu toate acestea, Emmy Noether era destinată să aibă o influență mult mai importantă asupra matematicii decât fermecătorul Sofia.
Chiar și în acel moment, ea avea deja o cunoaștere solidă a unora dintre subiectele necesare lui Hilbert și Klein pentru munca lor în teoria relativității. Amândoi au decis că ea ar trebui să rămână la Göttingen. Cu toate acestea, în ciuda faptului că Göttingen a fost prima universitate din Germania care a acordat un doctorat unei femei, obținând abilitarea (Termenul provine din latinescul „habilis” - capabil, potrivit și înseamnă obținerea dreptului de a deveni membru al facultății universitare - Notă de I.L. Vikentyev) Nu a fost o sarcină ușoară pentru ea.
Întreaga facultate de filosofie, care includea, pe lângă reprezentanți ai științelor naturii și matematicii, și filozofi, filologi și istorici, a trebuit să participe la votul pentru acceptarea abilitarii. O opoziție deosebită a venit din partea non-matematică a facultății.
Obiecția lor formală s-a rezumat la următoarele: „Cum i se poate permite unei femei să devină privatdozent? Devenind una, ea poate deveni apoi profesor și membru al senatului universitar. Este posibil să permiti unei femei să intre în Senat?” O obiecție informală a fost: „Ce vor crede soldații noștri când se vor întoarce la universitate și vor descoperi că trebuie să studieze stând la picioarele unei femei?”
Gilbert Aceste argumente aminteau de cele pe care le-a auzit când a încercat să prezinte disertația lui Grommer acelorași membri ai facultății. „Dacă studenții fără diplomă de gimnaziu scriu întotdeauna aceleași dizertații ca și Grommer”, a spus el atunci, „atunci va fi necesar să se adopte o lege care interzice susținerea examenelor finale”. Acum, cu aceeași directie, el a răspuns obiecțiilor lor formale față de docenta lui Emmy Noether: „Meine Herren, nu văd de ce sexul candidatului ar trebui să fie un motiv împotriva acordării lui titlul de Privatdozent. La urma urmei, Senatul nu este o baie.”
Când, în ciuda unei asemenea obiecții, el încă Nu a reusit sa obtina acordarea de abilitare Emmy Noether, a rezolvat în felul său problema conservării lui la Göttingen.
Prelegerile vor fi anunțate sub numele profesorului Hilbert, iar doamna Noether le va citi. Războiul a continuat”.

Constance Reid, Gilbert, M., Science, 1977, p. 187-188.

În 1918, Emmy Noether a demonstrat o teoremă fundamentală a fizicii teoretice care leagă legile de conservare cu simetria unui sistem, numită teorema lui Noether.

„Teorema lui Noether afirmă că orice transformare continuă de coordonate într-un sistem de referință inerțial corespunde unei anumite mărimi conservate ( invariant). Întrucât transformarea luată în considerare este strâns legată de simetria ei a spațiului și timpului (spațiul omogen, spațiul izotrop și omogenitatea timpului), fiecare proprietate a spațiului și timpului trebuie să corespundă, în conformitate cu mecanica clasică, propriei legi de conservare specifice.
Cu omogenitatea spatiului, i.e. Legea conservării impulsului este legată de simetria legilor fizicii în raport cu deplasările spațiale ale originii. Cu izotropia spațiului, i.e. Legea conservării momentului unghiular este asociată cu echivalența tuturor direcțiilor spațiale și, prin urmare, cu simetria față de rotația sistemului de coordonate în spațiu.
Ideea de omogenitate în timp (simetrie în raport cu deplasările în timp) duce la legea conservării energiei. Aceasta înseamnă că trecerea timpului în sine Nu poate provoca o modificare a energiei unui sistem închis.
Semnificația practică a teoremei lui E. Noether nu se limitează la faptul că stabilește o legătură între legile clasice de conservare și tipurile de simetrie care au o natură geometrică.
Dacă într-un sistem fizic există o simetrie de alt fel, de exemplu, dinamică (matematică), aceste simetrii prezic anumite legi de conservare, care au și funcția de a interzice fenomenele locale de autodezvoltare.”

Balakshin O.B. , Armonia autodezvoltării în natură și societate: asemănări și analogii, M., Editura LKI, 2008, p. 112.

Emmy Noether a putut deveni profesor asistent privat în 1919 și profesor supranumerar în 1922.

În 1933, când naziștii au ajuns la putere în Germania, Emmy Noether mutat în SUA.

După ce a aflat de moartea ei, Albert Einstein a scris: „Majoritatea oamenilor își cheltuiesc toată puterea în lupta pentru pâinea lor zilnică. Chiar și mulți dintre cei pe care soarta sau un dar special „i-a ferit de nevoia de a duce această luptă, își dedică cea mai mare parte a puterii sporirii bunurilor lumești și a averii lor.
În spatele unor astfel de eforturi menite să acumuleze tot felul de beneficii, se află destul de des iluzia că acesta este cel mai semnificativ și dezirabil obiectiv către care ar trebui să ne străduim.
Din fericire, există o minoritate dintre cei care au realizat devreme că cele mai frumoase experiențe și cele mai mari satisfacții ale omenirii nu vin din exterior, ci că sunt conectate cu dezvoltarea propriilor sentimente, gânduri și acțiuni ale fiecărui individ.
Adevărații artiști, exploratori și gânditori au fost întotdeauna oameni de acest gen. Oricât de neobservate au trecut viețile acestor oameni, roadele eforturilor lor s-au dovedit a fi cea mai prețioasă contribuție la moștenirea pe care generația o lasă succesorilor săi.
În urmă cu câteva zile, remarcabilul profesor de matematică a murit la vârsta de cincizeci și trei de ani. Emmy Noether, cândva asociat cu Universitatea din Gottingen și, în ultimii doi ani, a lucrat la Colegiul Bryn Mawr. Potrivit celor mai competenți matematicieni vii, Fraulein Emmy Noether a fost una dintre cele mai semnificative și mai creative genii matematice care au apărut de când femeile au început să primească studii superioare.
În domeniul algebrei, pe care cei mai talentați matematicieni l-au studiat timp de secole, ea a descoperit metode care au avut o influență uriașă asupra dezvoltării generației moderne de tineri matematicieni. Matematica pură este un fel de poezie a logicii ideilor. Matematicienii încearcă să găsească cea mai generală înțelegere posibilă a operației, care să le permită să acopere simplu, logic și uniform cea mai largă gamă posibilă de relații formale.”

Albert Einstein, În memoria lui Emmy Noether / Lucrări științifice adunate în 4 volume, Volumul 4, 1967, „Știința”, p.108.

Alexey Levin Termenul „teoremă” a venit în știință din geometria epocii elenistice. El rezidă în principal în matematică. Cu toate acestea, există teoreme în alte științe, în special în fizică. Astfel, în secolul al XIX-lea, în mecanica statistică clasică, a fost formulată o teoremă despre echidistribuția energiei cinetice a particulelor în grade de libertate, iar apoi N-Teorema lui Boltzmann, conform căreia entropia unui sistem de neechilibru crește întotdeauna cu timpul. În secolul al XX-lea, numărul teoremelor fizice a crescut semnificativ. Exemplele includ teorema lui Farry, care afirmă că în procesele electromagnetice se păstrează paritatea numărului de fotoni; teorema lui Pauli privind legătura dintre spin și statistică; Teorema lui Wick, care joacă un rol cheie în teoria câmpului cuantic.

În această serie glorioasă, un loc cu totul special îl ocupă teorema dovedită de Emmy Noether, un angajat independent al Universității din Göttingen, în apogeul Marelui Război – undeva la începutul anilor 1915-1916. Autorul a dat pentru prima dată un raport despre asta la un seminar al Societății de Matematică din Göttingen pe 23 iulie 1918, așa că centenarul este chiar după colț.

Emmy Noether, în vârstă de 33 de ani, a ajuns la Göttingen în primăvara anului 1915, la invitația marilor matematicieni Felix Klein și David Hilbert. Câteva luni mai târziu, acolo au avut loc evenimente care au devenit preludiul primei ei mari lucrări. Vara, Albert Einstein le-a prezentat colegilor săi de la Göttingen ideile de bază ale teoriei sale a gravitației, deja aproape de finalizare, mai cunoscută ca teoria generală a relativității. Printre ascultători s-a numărat și Hilbert, care a devenit interesat de ideile lui Einstein. În noiembrie, Einstein a scris versiunea finală a ecuațiilor relativității generale, pe care a prezentat-o ​​imediat Academiei de Științe din Prusia. Puțin mai târziu, Hilbert a derivat aceleași ecuații într-un mod nou, despre care a raportat într-un articol publicat la sfârșitul lunii martie 1916.

În timpul acestei lucrări, Hilbert și-a dat seama că noua teorie a gravitației pune la îndoială legea conservării energiei. Ecuațiile relativității generale pot fi scrise în sisteme arbitrare de coordonate spațiu-timp, între care sunt posibile transformări netede. Cu ajutorul lor, puteți zero mărimea câmpului gravitațional în orice punct ales arbitrar și vecinătatea lui infinitezimală. Din punct de vedere fizic, aceasta înseamnă că un observator imaginar nu va putea înregistra forța gravitațională în acest punct (acesta este principiul echivalenței lui Einstein). Rezultă că, în relativitatea generală, localizarea fără ambiguitate a energiei este imposibilă în principiu. Întrebarea ce să facă cu păstrarea sa l-a îngrijorat foarte mult pe Hilbert și i-a cerut lui Emmy Noether să rezolve problema. Emmy Noether în 1910 (Wikipedia) Această solicitare a fost mai mult decât îndeplinită. Noether a obținut rezultate excepțional de puternice, a căror sferă s-a dovedit a fi mult mai largă decât sfera de aplicare a problemei puse inițial de Hilbert. Astăzi știm că acoperă nu numai relativitatea generală și alte teorii de câmp ale fizicii clasice, ci și teoriile câmpurilor cuantificate dezvoltate în a doua jumătate a secolului XX.

În forma sa cea mai generală, esența teoremei lui Noether poate fi enunțată literalmente pe scurt. Studiind natura la un nivel fundamental, oamenii de știință caută caracteristici ale sistemelor fizice care rămân neschimbate în timpul oricărei transformări. Din teorema lui Noether rezultă că existența unor astfel de proprietăți conservate este direct legată de simetriile așa-numitei acțiuni, mărimea fizică fundamentală care determină dinamica sistemului. Cu alte cuvinte, legile de conservare sunt o consecință directă a prezenței anumitor simetrii de acțiune. Această concluzie a devenit un instrument universal pentru identificarea unor astfel de legi în diferite domenii ale fizicii - de la mecanica newtoniană la modelul standard al particulelor elementare. În plus, poate fi considerată una dintre cele mai frumoase perspective teoretice din întreaga istorie a științei.

Hilbert a derivat ecuațiile relativității generale pe baza principiului că în procesele fizice reale acțiunea ia o valoare extremă - de regulă, atinge un minim. În acele vremuri, ei știau deja că acest principiu făcea posibilă obținerea ecuațiilor atât ale mecanicii clasice, cât și ale electrodinamicii maxwelliene - și multe altele. Prin urmare, a fost considerat un instrument puternic pentru construirea ecuațiilor care determină dinamica diferitelor sisteme fizice. Emmy Noether a lucrat și cu el. Era interesată de operațiile care transformă obiectele matematice implicate în calcularea unei acțiuni, dar lasă valoarea numerică a acesteia neschimbată - sau, mai general, schimbă această valoare nu prea mult (desigur, există o definiție matematică precisă pentru acest „nu prea mult ”). Aceasta înseamnă că astfel de operații lasă acțiunea invariabilă.

Invarianța față de o anumită transformare sau față de o întreagă clasă de transformări se numește simetrie. Emmy Noether în lucrarea sa a pus întrebarea la ce consecințe duce prezența anumitor simetrii într-o acțiune.

Ea a rezolvat această problemă într-o formă foarte generală, dar numai pentru simetrii continue: nu le-a luat în considerare pe cele discrete. Matematica avea deja un instrument eficient pentru studierea unor astfel de simetrii sub forma grupurilor Lie. Teoria lor era bine dezvoltată, iar Noether a înțeles-o bine.

Emmy Noether a studiat transformările de simetrie în care operează două tipuri de grupuri Lie. Într-un caz, fiecare transformare (adică fiecare element al grupului Lie) este definită de un set finit de parametri numerici. Elementele grupurilor Lie de al doilea tip, dimpotrivă, depind de unul sau altul de funcții arbitrare. De exemplu, rotațiile plane sunt specificate de un parametru (unghiul de rotație), iar rotațiile în spațiul tridimensional sunt specificate de trei (fiecare dintre ele poate fi reprezentată ca o succesiune de rotații în jurul a trei axe de coordonate). Relativitatea generală a lui Einstein se bazează pe capacitatea de a alege în mod arbitrar un cadru local de referință în orice punct din spațiu-timp. Acesta este, de asemenea, un tip de simetrie, și tocmai cel pe care Emmy Noether l-a clasificat drept al doilea tip.

Teorema lui Noether constă din două părți. În primul rând, ea a luat în considerare consecințele invarianței acțiunii sub simetrii, care corespund transformărilor de grup de primul tip. S-a dovedit că o astfel de invarianță face posibilă notarea unor relații matematice care pot fi interpretate ca legi de conservare pentru mărimile fizice care satisfac aceste simetrii. Pentru a spune simplu, aceste legi sunt consecințe directe ale anumitor simetrii.

Aici sunt cateva exemple. Într-un sistem izolat de particule care se supune mecanicii newtoniene și teoriei newtoniene a gravitației, acțiunea este invariabilă în timpul schimbărilor de timp. Din teorema lui Noether rezultă că energia totală a particulelor nu depinde de timp, adică este conservată. În același mod, invarianța față de deplasările arbitrare în spațiu înseamnă conservarea momentului total, iar invarianța față de rotații înseamnă conservarea momentului unghiular.

Desigur, aceste legi erau cunoscute înainte, dar natura lor a rămas misterioasă; dacă vrei, misterios. Teorema lui Noether a îndepărtat o dată pentru totdeauna vălul din acest mister, conectând legile de conservare cu simetriile spațiului și timpului.

Iată un alt exemplu care a fost realizat după apariția electrodinamicii cuantice. Până acum, am vorbit despre simetrii externe legate nu direct de sistemul fizic, ci de relațiile acestuia cu timpul și spațiul. Totuși, teorema lui Noether ne permite să luăm în considerare și simetriile interne, cu alte cuvinte, simetriile câmpurilor fizice, a căror dinamică este determinată de una sau alta acțiune (formal, acestea sunt simetrii ale construcțiilor matematice reprezentând aceste câmpuri). Acest lucru duce, de asemenea, la descoperirea diferitelor legi de conservare.

Mă voi limita la un exemplu. Acțiunea pentru un electron relativist liber, pe baza căruia poate fi derivată ecuația lui Dirac, nu se modifică atunci când funcția de undă este transformată, ceea ce se reduce la înmulțirea acestuia cu un număr complex cu modul unitar. Din punct de vedere fizic, aceasta înseamnă o modificare a fazei funcției de undă cu o valoare constantă care nu depinde de coordonatele spațiu-timp (această simetrie se numește globală). Din punct de vedere geometric, această transformare este echivalentă cu o rotație plană printr-un unghi arbitrar, dar fix și, prin urmare, este descrisă de un grup Lie foarte simplu cu un parametru. Din teorema lui Noether rezultă că, datorită acestei simetrii, sarcina electrică este conservată. Nu este un rezultat slab și cu siguranță nu trivial!

A doua teoremă a lui Noether descrie situații în care transformările de simetrie care lasă invariantă acțiunea depind nu de parametri numerici, ci de unele funcții arbitrare. În cazul general, o astfel de invarianță nu face posibilă formularea legilor de conservare a cantităților măsurabile fizic. În special, din a doua teoremă a lui Noether rezultă că, în relativitatea generală, nu există legi universale de conservare a energiei, momentului și momentului unghiular care ar avea un sens clar în regiunile fizice reale (adică nu infinitezimale) ale spațiu-timpului. Adevărat, există cazuri speciale când, în cadrul relativității generale, problema conservării energiei poate fi pusă corect. Totuși, în general, soluția la această problemă depinde de ceea ce se consideră exact energia câmpului gravitațional și în ce sens vorbim despre conservarea acestuia. Mai mult, energia totală a particulelor care se mișcă în spațiu cu un câmp gravitațional dinamic (cu alte cuvinte, în spațiu cu o metrică în schimbare) nu este conservată. Astfel, în Universul nostru în expansiune, fotonii radiației cosmice de fond cu microunde pierd în mod constant energie - acesta este fenomenul bine-cunoscut al deplasării cosmologice spre roșu.

Simetriile celei de-a doua teoreme a lui Noether sunt folosite constant în fizica fundamentală. Ele fac posibilă stabilirea corespondențelor între proprietățile particulelor și câmpurile cu care aceste particule pot interacționa. Din nou - deloc slab! Nu este o coincidență că celebrul fizician teoretician american, profesor la Universitatea din California Anthony Zee, în monografia sa „Group Theory in a Nutshell for Physicists” publicată în 2016, a numit-o pe Emmy Noether, probabil, cea mai profundă femeie fiziciană care a trăit vreodată. Un rating atât de mare - și doar din cauza unui singur articol!

Emmy Noether este considerată pe bună dreptate un mare matematician - și nu numai datorită teoremei sale. Din 1920, ea s-a apucat de algebră abstractă și geometrie algebrică, unde a obținut multe rezultate fundamentale. În 1933, a fost expulzată din Göttingen ca evreică și s-a mutat în Statele Unite, unde a ocupat un post la Colegiul de Femei Bryn Mawr din Pennsylvania. Dar nu avea mult de trăit. Pe 14 aprilie 1935, Emmy Noether a murit din cauza complicațiilor de la o intervenție chirurgicală, cel mai probabil din cauza unei infecții severe.

Biografia lui Emmy Noether este ușor de citit și nu trebuie repovestită. Dar există un detaliu interesant pe care puțini oameni îl cunosc. Noether a fost invitat la Bryn Mawr de decanul departamentului de matematică, Anna Pell Wheeler. Mentorul ei științific și primul soț a fost Alexander Pell, profesor de matematică la Universitatea din Dakota de Sud, care era deja decedat până atunci. Cu toate acestea, Pell nu a fost întotdeauna Pell. S-a născut în 1857 la Moscova, iar pe atunci se numea Serghei Petrovici Degaev. A intrat în istoria clandestinului revoluționar rus ca cel mai mare trădător și provocator, care a predat-o poliției secrete pe Vera Figner și pe alți membri ai Narodnaya Volya. Mai târziu, pentru a evita moartea de către foștii săi camarazi, i-a ajutat la uciderea curatorului său, locotenent-colonelul de jandarmi Georgy Porfiryevich Sudeikin (această poveste este descrisă în detaliu în romanul lui Yuri Davydov „Timpul mort al căderii frunzelor”. ). Membrii Narodnaya Volya care au rămas liberi i-au permis lui Degaev să plece în America, unde și-a schimbat numele și s-a transformat în Pell. În State, a primit o educație matematică, apoi a absolvit școala la Universitatea Johns Hopkins din Baltimore și în cele din urmă a devenit un domn conservator foarte respectabil și un profesor excelent. Se pare că, pentru a o aduce pe Emmy Noether în Statele Unite, a fost necesar ca geniul malefic al lui Narodnaya Volya să se transforme într-un respectat profesor american care a observat și a promovat un student talentat din provinciile adânci. Un exemplu perfect a ceea ce se numește ironia istoriei.

În această secțiune se va folosi abordarea variațională a problemei mecanicii și, în special, formula generală de variație a funcționalului obținută la § 4 pentru a stabili o legătură între legile de conservare care au fost obținute în capitolele precedente și proprietățile generale ale spațiului și timpului, care își găsesc expresia în invarianța legilor mecanicii față de transformările sistemelor de referință. Stabilirea acestei conexiuni ne va permite să înțelegem natura intrinsecă a legilor de conservare și motivele pentru care aceste legi există. Această înțelegere este deosebit de importantă, deoarece uneori permite anticiparea primelor integrale și, prin urmare, facilitează studiul ecuațiilor care descriu mișcarea.

Începând să pregătim materialul necesar pentru a formula teorema Emmei Noether care stabilește această conexiune, să luăm în considerare o familie de transformări cu un singur parametru ale sistemului de referință, adică coordonatele și timpul:

unde indicele este atribuit coordonatelor „noi” și timpului „nou” și este un anumit parametru. Să presupunem că transformarea (66) îndeplinește următoarele două condiții:

1° Această transformare este identică pentru , i.e.

2° Există o inversă pentru această conversie:

Acum putem formula teorema lui Emma Noether. teorema lui Noether. Să fie dat un sistem de puncte materiale care se mișcă într-un câmp potențial, având un Lagrangian și să existe o familie de transformări cu un parametru (66) care îndeplinește condițiile 1° și 2°. Mai departe, Lagrangianul L să fie invariant față de astfel de transformări, adică „noul” Lagrangian (calculat folosind formula) nu depinde de și ca funcție are exact aceeași formă ca „vechiul” Lagrangian L ca o functie. Apoi există o funcție care nu se schimbă în timpul mișcării acestui sistem, adică este prima integrală a mișcării. Această funcție arată ca

unde H este Hamiltonianul sistemului luat în considerare.

Dovada. Luați în considerare două spații de coordonate extinse; una dintre ele corespunde „vechilor” iar cealaltă „noilor” coordonate și timpului obținut ca urmare a transformării (66). În primul dintre aceste spații (în spațiul q, t) alegem două puncte arbitrare și trasăm o curbă între aceste puncte. Apoi familia de transformări cu un parametru (66) generează în al doilea spațiu de coordonate extins, o familie de curbe cu un parametru (Fig. VII.5). Se obține dacă din egalități (66)

exclude .

Datorită primei condiții, adică datorită formulelor (67), parametrul corespunde curbei inițiale, adică atunci când

Începutul și sfârșitul curbei, adică punctele din spațiu, corespund în spațiu curbelor specificate parametric (parametru) de formule

Aceste formule se obțin din formulele (70) dacă înlocuim t în mod corespunzător.

Să luăm ca curbă segmentul de la calea directă a sistemului cu L lagrangian. Luăm în considerare acțiunea hamiltoniană pe această cale:

Inlocuind variabila t in integrala (72) cu , se obtine (vezi pagina 281)

unde funcția este construită conform formulei (64). Luând în considerare noua notație (vezi condiția):

Datorită condițiilor teoremei, E. Noether nu depinde de și cum funcția argumentelor sale coincide cu L:

Astfel, dacă sunt îndeplinite condițiile teoremei lui Noether, atunci integrala (72) poate fi scrisă după cum urmează:

Să considerăm acum integrala (74) ca o funcțională definită pe o familie de curbe cu un parametru. În egalitatea (74) partea stângă nu depinde de a. Acest lucru este evident, deoarece la modificarea variabilei de integrare, valoarea integralei definite nu se modifică. Prin urmare, în cazul în cauză, integrala (74) are aceeași valoare pe toate curbele din familie și, prin urmare, pentru toate

Integrala (74) are forma unei acțiuni hamiltoniene definită pe o familie de curbe cu un parametru și, prin urmare, putem folosi formula generală (60) pentru a varia acțiunea. În virtutea lui (60) avem

(75)

Egalitatea (75) este adevărată pentru orice , dar o vom folosi numai pentru . În virtutea condiției 1°, egalitățile (66) se transformă în identități, adică depinde de exact în același mod în care depinde de t. Dar există o cale dreaptă și pe ea

În consecință, at ​​și toate expresiile din paranteze sub semnul integral din formulele (75) dispar și ele.

Să vă reamintim că mai întâi trebuie să înlocuiți limite și apoi să efectuați operații, adică diferențierea față de parametru. Dar cand

și în conformitate cu formulele de transformare (66)

Ținând cont de aceste egalități la înlocuirea limitelor și de faptul că, după reducerea cu un increment independent, din egalitatea (76) obținem

unde superscriptul indică dacă funcția corespunzătoare este luată la sau

Să ne amintim că calea dreaptă și punctele de pe ea au fost alese în mod arbitrar. Rezultă că funcția (69) nu se modifică deloc de-a lungul curbei, adică pe nicio cale dreaptă.

Teorema Emmei Noether a fost demonstrată.

Să arătăm acum cum, folosind doar teorema lui Noether, putem obține toate legile de conservare (primele integrale) care au fost stabilite mai sus din alte considerații.

Legea conservării energiei mecanice pentru un sistem conservator. Să considerăm un sistem conservator (sau în general conservator). Ca o familie de transformări (66), luăm „deplasarea în timp”:

Este imediat clar că transformarea (78) satisface condițiile 1° și 2°. Lagrangianul (precum și Hamiltonianul) unui sistem conservator nu depinde în mod explicit de timp, dar , adică, funcția în acest caz este egală cu unitatea. Prin urmare, transformarea (66) cu siguranță nu schimbă forma Lagrangianului (desigur, Hamiltonianul) și din teorema lui Noether rezultă că un sistem conservator trebuie să aibă o primă integrală a formei (69). Dar în acest caz, toate funcțiile, datorate transformării (78), sunt identic egale cu , adică nu depind de , și, prin urmare, derivatele lor față de parametrul a sunt egale cu zero, iar formula (69) ) ia forma

Astfel, din teorema lui Noether rezultă că atunci când un sistem conservator generalizat se mișcă, energia sa generalizată H nu se modifică. Când un sistem conservator se mișcă, energia sa mecanică totală nu se modifică.

Legea conservării impulsului pentru coordonatele ciclice. Să considerăm acum un sistem cu o coordonată ciclică

Este imediat clar că această transformare îndeplinește condițiile 1° și 2°. Lagrangianul (și, prin urmare, Hamiltonianul) al sistemului nu depinde de coordonatele ciclice și, prin urmare, forma acestor funcții nu se modifică în timpul transformării (79). În consecință, în virtutea teoremei lui Noether, prima integrală a formei (69) este valabilă. Dar la convertire, restul. În consecință, în acest caz formula (69) ia forma

În continuare vom obține două legi de conservare care se aplică atunci când luăm în considerare sistemele închise. În acest sens, facem următoarea observație generală. Cerința ca sistemul să fie închis înseamnă că toate forțele care acționează asupra punctelor materiale ale sistemului depind doar de poziția relativă a punctelor și de distanța dintre ele. În acest sens, orice transformări de coordonate care păstrează pozițiile relative ale punctelor și distanțele dintre ele nu modifică ecuațiile de mișcare, adică nu schimbă forma lagrangianului.

Legea conservării impulsului pentru sisteme închise. Să considerăm acum un sistem închis care se mișcă într-un câmp potențial. Ca coordonate generalizate, luăm coordonatele carteziene ale punctelor și aplicăm o „deplasare de-a lungul uneia dintre axele de coordonate”, de exemplu, de-a lungul axei:

(aici N este numărul de puncte din sistem).

Datorită faptului că atunci când originea coordonatelor este deplasată de-a lungul oricărei axe, distanța dintre punctele sistemului nu se modifică, nici energia potențială a sistemului și, prin urmare, funcția Lagrange, nu se modifică. Evident, transformarea (80) satisface condițiile 1° și 2°. Astfel, sunt îndeplinite toate condițiile pe care teorema lui Noether le impune unei familii de transformări cu un parametru. În virtutea acestei teoreme, prima integrală (69) este valabilă. În acest caz, toate coordonatele , precum și , sunt egale cu zero, iar funcțiile pentru coordonate sunt astfel încât .

Prin urmare, în formula (69), termenul care conține hamiltonianul dispare, iar suma rămasă pe partea dreaptă este egală cu

dar de aceea prima integrală (69) are forma

(81)

Egalitatea (81) nu este altceva decât legea conservării impulsului în proiecție pe axă.

Exact în același mod, folosind transformări ca (80) pentru o deplasare nu de-a lungul axei x, ci de-a lungul axelor y și z, stabilim conservarea proiecțiilor momentului pe axele y și, respectiv, z. Astfel, legea conservării impulsului atunci când un sistem închis se mișcă într-un câmp potențial este complet dovedită.

Legea conservării momentului unghiular pentru un sistem închis. Să luăm din nou în considerare un sistem închis care se mișcă într-un câmp potențial, care se obține ca rezultat al interacțiunii punctelor sistemului. Ca și mai înainte, luăm coordonatele carteziene ale punctelor ca coordonate generalizate și luăm în considerare transformarea rotației sistemului de coordonate în jurul, de exemplu, axa z:

Este imediat clar că transformarea (82) satisface condiția 1°, adică la se transformă într-o transformare identică. Este ușor de verificat că îndeplinește și condiția 2°, adică că sistemul de ecuații (82) este rezolvabil în raport cu coordonatele „vechi”, deoarece determinantul acestui sistem este egal cu . Când sistemul de coordonate este rotit, poziția relativă și distanța dintre punctele sistemului nu se modifică și, prin urmare, câmpul potențial nu se modifică, ceea ce înseamnă că nici L nu se modifică, astfel, în virtutea teoremei lui Noether, în acest caz prima integrală (69) este valabilă. În cazul transformării (82) pentru coordonatele tuturor punctelor sistemului, relația este valabilă

La fel pentru toate coordonatele

Pe de altă parte, și deci în acest caz

adică proiecția momentului cinetic pe axa z este păstrată.

Exact în același mod, luând în considerare rotația sistemului de coordonate în jurul axelor x și y, stabilim conservarea proiecțiilor momentului cinetic pe axele x și y, respectiv, în timpul mișcării, adică demonstrăm pe deplin legea lui conservarea impulsului cinetic pentru un sistem închis care se mișcă într-un câmp potențial.

Astfel, pentru cazul mișcării în câmpuri potențiale, am obținut din teorema lui Noether toate legile de conservare care au fost discutate mai sus. Teorema lui Noether a relevat natura apariției lor, asociată cu invarianța ecuațiilor de mișcare sub diferite transformări de coordonate și timp. Legea conservării energiei este o consecință a invarianței ecuațiilor unui sistem conservator cu o deplasare de-a lungul axei timpului, legea conservării momentului este rezultatul invarianței ecuațiilor unui sistem în buclă închisă în raport cu la deplasări de-a lungul axelor de coordonate, iar legea conservării momentului unghiular este rezultatul invarianței ecuațiilor unui sistem în buclă închisă în raport cu rotațiile în jurul coordonatelor axelor

Teorema lui Noether poate fi folosită și în acele cazuri speciale când este posibil să se găsească și alte transformări care păstrează lagrangianul.