Cinci mituri despre geometria lui Lobaciovski. Semne de paralelism a două drepte. Proprietățile dreptelor paralele Dovada intersecției dreptelor paralele

Chiar și polii sunt legați prin meridiane.
Ce putem spune despre paralele,
care nu, nu și se va intersecta...

Dacă oamenii se întâlnesc, mergând unul spre altul, înseamnă că au căi diferite...
.Axiomă..
Femeia iubită este o teoremă zilnică a iubirii și singura axiomă a fericirii masculine... O femeie este sigură că dacă îi place un bărbat, atunci căile lor paralele trebuie să se intersecteze... Nimeni nu se va certa...
Matematica ne-a învățat cu mult timp în urmă că două drepte paralele nu se intersectează niciodată. Matematica este complet indiferentă la acest lucru, dar oamenii uneori interpretează greșit toate legile, inclusiv cele matematice, încercându-le în viața lor...
Cele două destine există independent unul de celălalt. Trăind cu bucuriile și necazurile lor până când se intersectează. Poate că se mai văzuseră, se cunoșteau din vedere, se auziseră vocea.
Poate că locuiau chiar la același etaj sau în același oraș. Dar nu contau unul pentru celălalt, până când într-o zi liniile lor drepte s-au intersectat. În sensul cel mai literal! S-au ciocnit la intrare, s-au călcat unul pe altul, au ajuns în același rând, s-au întâlnit la o petrecere...
Orice îți place, a apărut un punct de contact. Traiectorii s-au schimbat. S-au înghiontat unul pe celălalt, au înghețat o secundă și... s-au plăcut. Ce se întâmplă cu liniile drepte? Mișcarea nu se poate opri dacă se oprește, totul se va termina. Abia acum vor încerca să se miște împreună, în aceeași direcție....
Direcţie! Acesta este cel mai important lucru! Dacă o linie s-ar întinde de la stânga la dreapta, iar cealaltă de sus în jos, cum s-ar conecta? În nici un caz. Vor rămâne împreună ceva timp, la un moment dat, și în curând, fiecare dintre ei va continua să se miște pe propria sa traiectorie... Dacă oamenii caută fericirea în diferitele ei manifestări, dacă Ea visează să devină dansatoare și El visează să zboare în spațiu. Dacă El se ocupă de finanțe și ea este casnică. Dacă Ea urăște culoarea galbenă, iar El poartă doar aceste nuanțe, asta nu înseamnă că nu vor reuși. Asta înseamnă că sunt puțin diferite. Este important ca ei să privească întotdeauna în aceeași direcție. Spre viitor, sau spre cer, sau spre apus... Să existe un singur scop, dar căile de a-l atinge pot varia. Acest lucru nu va schimba sensul, conținutul, dar forma este un concept relativ....
Și de asemenea... o linie nu trebuie să se suprapună pe alta. Se pot întinde paralel, dar foarte aproape, atingând marginile. Întinzându-se astfel la infinit... Da, se întâmplă... Știu... Două paralele se intersectează în infinit - și ei înșiși cred în asta.
Principalul lucru este să ne întâlnim... prin voința Lady Chance... Nu contează unde sau cum....
nu trece....
P.S. IMHO... dar cateodata doua paralele care se intersecteaza formeaza o cruce... se pune o cruce pe tot... la unii formeaza o cruce, iar la altii un punct... si apoi cele paralele nu duc nicaieri... și așa se întâmplă.. Acest lucru se întâmplă cel mai des... pentru mulți...

Strălucire radiantă paralelă.. Pereche linii de familie.. pasiunea lor este atât de puternică... Și ca rod al acelei intersecții... S-a născut un punct mic!......

Liniile paralele nu se intersectează.. Axioma sună condamnat.. Nu se vor întâlni niciodată.. Paralel logodit.. Logodnici, logodiți, paraleli.. Ajungerea în dincolo.. Liniile paralele de regulă! Nu în timp, și nici în acest mădular.. Nu se vor reuni într-o nepăsare veselă.. Oricât de aproape i-ar pune viața... Și cât de aproape sunt atrași.. Nu există puncte ca să se intersecteze... A te certa cu regulile este riscant.. Iată o astfel de afirmație! Cine nu înțelege, nu are nevoie... Și cine înțelege, fratele meu este în nenorocire... Nu există leac pentru dragostea pierdută - Mai bine decât participarea prietenoasă! Mai bine decât o nouă iubire, neașteptată.. Priviri fierbinți, îmbrățișări afectuoase.. Opțiuni ne sunt oferite de sus.. Nu veți scăpa de evenimente semnificative... Le doresc tuturor un cer albastru.. Fericire, bucurie și noroc.. Și să liniile întrerupte ale vieții.. Mai multe puncte de intersecție! Ei bine, vom rămâne pentru totdeauna.. Inaccesibilitatea renunțării... Se topește în flacăra galbenă a unei lumânări.. Doar urma noastră de la intersecție....

Istoria creării geometriei lui Lobaciovski este în același timp istoria încercărilor de a demonstra postulatul al cincilea al lui Euclid. Acest postulat este una dintre axiomele stabilite de Euclid ca bază pentru prezentarea geometriei (vezi Euclid și „Elementele”). Al cincilea postulat este ultima și cea mai complexă dintre propozițiile incluse de Euclid în axiomatica geometriei sale. Să ne amintim formularea celui de-al cincilea postulat: dacă două drepte sunt intersectate de o treime astfel încât pe orice parte a acesteia suma unghiurilor interne este mai mică decât două unghiuri drepte, atunci pe aceeași parte se intersectează dreptele inițiale. De exemplu, dacă în fig. 1 unghi este un unghi drept, iar unghiul este puțin mai mic decât un unghi drept, atunci liniile drepte se vor intersecta cu siguranță și la dreapta liniei drepte. Multe dintre teoremele lui Euclid (de exemplu, „într-un triunghi isoscel, unghiurile de bază sunt egale”) exprimă fapte mult mai simple decât postulatul al cincilea. În plus, este destul de dificil să se verifice experimental al cincilea postulat. Este suficient să spunem că dacă în fig. 1 distanță este considerată egală cu 1 m, iar unghiul diferă de linie dreaptă cu o secundă de arc, apoi putem calcula că liniile drepte se intersectează la o distanță de peste 200 km de linie dreaptă.

Mulți matematicieni care au trăit după Euclid au încercat să demonstreze că această axiomă (al cincilea postulat) este de prisos, adică. poate fi demonstrat ca o teoremă bazată pe axiomele rămase. Deci, în secolul al V-lea. Matematicianul Proclus (primul comentator al operelor lui Euclid) a făcut o astfel de încercare. Cu toate acestea, în demonstrația sa, Proclus, neobservat pentru el însuși, a folosit următoarea afirmație: două perpendiculare pe o dreaptă pe toată lungimea lor sunt la o distanță limitată una de cealaltă (adică, două linii drepte perpendiculare pe a treia nu se pot îndepărta una de cealaltă). altele pe termen nelimitat, ca liniile din Fig. 2). Dar, în ciuda întregii „evidite” vizuale aparente, această afirmație necesită justificare într-o prezentare axiomatică strictă a geometriei. De fapt, afirmația folosită de Proclu este echivalentul celui de-al cincilea postulat; cu alte cuvinte, dacă se adaugă la restul axiomelor lui Euclid ca o altă nouă axiomă, atunci al cincilea postulat poate fi dovedit (care este ceea ce a făcut Proclus), iar dacă al cincilea postulat este acceptat, atunci afirmația formulată de Proclus poate fi dovedit.

O analiză critică a încercărilor ulterioare de a demonstra al cincilea postulat a relevat un număr mare de afirmații „evidente” similare care pot înlocui postulat al cincilea din axiomatica lui Euclid. Iată câteva exemple de astfel de echivalente ale celui de-al cincilea postulat.

1) Printr-un punct din interiorul unui unghi mai mic decât cel desfășurat, puteți trage oricând o linie dreaptă care intersectează laturile sale, adică. liniile drepte pe un plan nu pot fi localizate așa cum se arată în fig. 3. 2) Există două triunghiuri asemănătoare care nu sunt egale între ele. 3) Trei puncte situate pe o parte a unei linii la o distanță egală de aceasta (Fig. 4) se află pe aceeași linie. 4) Pentru fiecare triunghi există un cerc circumscris.

Treptat, „dovezile” devin din ce în ce mai sofisticate, iar echivalentele subtile ale celui de-al cincilea postulat sunt ascunse din ce în ce mai adânc în ele. Admițând că al cincilea postulat era fals, matematicienii au încercat să ajungă la o contradicție logică. Au ajuns la afirmații care au contrazis monstruos intuiția noastră geometrică, dar nu s-a realizat nicio contradicție logică. Sau poate nu vom ajunge niciodată la o contradicție pe această cale? S-ar putea ca prin înlocuirea celui de-al cincilea postulat al lui Euclid cu negația lui (conservând în același timp restul axiomelor lui Euclid), să ajungem la o nouă geometrie, non-euclidiană, care în multe privințe nu este de acord cu reprezentările noastre vizuale obișnuite, dar totuși nu nu contine contradictii logice? Matematicienii nu au putut suferi din cauza acestei idei simple, dar foarte îndrăznețe, timp de două mii de ani de la apariția Elementelor lui Euclid.

Primul care a admis posibilitatea existenței geometriei non-euclidiene, în care postulatul al cincilea este înlocuit cu negația sa, a fost K. F. Gauss. Faptul că Gauss deținea ideile de geometrie non-euclidiană a fost descoperit abia după moartea omului de știință, când arhivele sale au început să fie studiate. Genialul Gauss, ale cărui păreri le asculta toată lumea, nu a îndrăznit să-și publice rezultatele despre geometria non-euclidiană, de teamă să nu fie înțeles greșit și atras în controverse.

al XIX-lea a adus o soluție la ghicitoarea celui de-al cincilea postulat. Compatriotul nostru, profesorul de la Universitatea Kazan N.I Lobachevsky, a venit și el la această descoperire independent de Gauss. La fel ca predecesorii săi, Lobaciovski a încercat inițial să tragă diverse consecințe din negarea celui de-al cincilea postulat, sperând că mai devreme sau mai târziu va ajunge la o contradicție. Cu toate acestea, el a demonstrat multe zeci de teoreme fără a dezvălui contradicții logice. Și apoi Lobaciovski a venit cu o presupunere despre consistența geometriei, în care postulatul al cincilea a fost înlocuit cu negația sa. Lobaciovski a numit această geometrie imaginară. Lobaciovski și-a conturat cercetările într-un număr de lucrări, începând cu 1829. Dar lumea matematică nu a acceptat ideile lui Lobaciovski. Oamenii de știință nu erau pregătiți pentru ideea că ar putea exista o altă geometrie decât euclidiană. Și numai Gauss și-a exprimat atitudinea față de isprava științifică a omului de știință rus: a obținut alegerea lui N. I. Lobachevsky ca membru corespondent al Societății Regale Științifice din Gottingen în 1842. Aceasta este singura onoare științifică care i-a revenit lui Lobaciovski în timpul vieții sale. A murit fără să obțină recunoașterea ideilor sale.

Vorbind despre geometria lui Lobachevsky, este imposibil să nu menționăm un alt om de știință care, împreună cu Gauss și Lobachevsky, împărtășește meritul descoperirii geometriei non-euclidiene. A fost matematicianul maghiar J. Bolyai (1802-1860). Tatăl său, celebrul matematician F. Bolyai, care a lucrat toată viața la teoria paralelelor, credea că soluția acestei probleme depășește puterea umană și dorea să-și protejeze fiul de eșecuri și dezamăgiri. Într-una dintre scrisorile sale, i-a scris: „Am trecut prin tot întunericul fără speranță al acestei nopți și am îngropat fiecare lumină, fiecare bucurie de viață în ea... ea te poate lipsi de tot timpul tău, sănătate, pace, toate fericirea vieții tale...” Dar Janos nu a ținut seama de avertismentele tatălui său. Curând, tânărul om de știință, independent de Gauss și Lobachevsky, a ajuns la aceleași idei. În anexa la cartea tatălui său, publicată în 1832, J. Bolyai a făcut o prezentare independentă a geometriei non-euclidiene.

Geometria Lobachevsky (sau geometria Lobachevsky Bolyai, așa cum este uneori numită) păstrează toate teoremele care în geometria euclidiană pot fi dovedite fără a utiliza postulatul al cincilea (sau axioma paralelă a unuia dintre echivalentele postulatului al cincilea - incluse în manualele școlare acestea). zile). De exemplu: unghiurile verticale sunt egale; unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt egale; dintr-un punct dat doar o perpendiculară poate fi coborâtă pe o dreaptă dată; se păstrează şi semnele de egalitate ale triunghiurilor etc., se modifică însă teoremele, în demonstrarea cărora se foloseşte axioma paralelismului. Teorema asupra sumei unghiurilor unui triunghi este prima teoremă a cursului școlar, a cărei demonstrație folosește axioma paralelismului. Aici ne așteaptă prima „surpriză”: în geometria lui Lobachevsky, suma unghiurilor oricărui triunghi este mai mică de 180°.

Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două unghiuri ale altui triunghi, atunci în geometria euclidiană și al treilea unghi sunt egale (astfel de triunghiuri sunt similare). Nu există astfel de triunghiuri în geometria Lobachevsky. În plus, în geometria lui Lobachevsky există un al patrulea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor: dacă unghiurile unui triunghi sunt egale în mod corespunzător cu unghiurile altui triunghi, atunci aceste triunghiuri sunt egale.

Diferența dintre 180° și suma unghiurilor unui triunghi în geometria Lobachevsky este pozitivă; se numeste defectul acestui triunghi. Se dovedește că în această geometrie aria unui triunghi este remarcabil legată de defectul său: , unde și înseamnă aria și defectul triunghiului, iar numărul depinde de alegerea unităților de măsură pentru suprafețele și unghiurile.

Să fie acum un unghi ascuțit (Fig. 5). În geometria Lobachevsky, puteți alege un punct pe latură astfel încât perpendiculara pe latură să nu se intersecteze cu cealaltă parte a unghiului. Acest fapt confirmă doar că al cincilea postulat nu este satisfăcut: suma unghiurilor și este mai mică decât unghiul desfășurat, dar liniile drepte nu se intersectează. Dacă începeți să aduceți punctul mai aproape de , atunci va exista un astfel de punct „critic”, încât perpendiculara pe latură încă nu se intersectează cu latura, dar pentru orice punct situat între și , perpendiculara corespunzătoare se intersectează cu latura. Sunt drepte și din ce în ce mai aproape unul de celălalt, dar nu au puncte comune. În fig. 6 aceste linii sunt prezentate separat; Lobaciovski numește exact acele linii drepte care se apropie fără limită de paralele în geometria sa. Și Lobaciovski numește două perpendiculare pe o singură dreaptă (care se depărtează la nesfârșit una de cealaltă, ca în Fig. 2) drepte divergente. Se dovedește că acest lucru limitează toate posibilitățile de aranjare a două drepte pe planul Lobachevsky: două drepte divergente fie se intersectează într-un punct, fie sunt paralele (Fig. 6), fie sunt divergente (în acest caz au un singur comun comun). perpendicular, Fig. 2).

În fig. 7, perpendiculara pe latura unghiului nu se intersectează cu latura, iar liniile drepte sunt simetrice cu liniile drepte relativ la . În plus, , deci este perpendicular pe segmentul din mijlocul său și, în mod similar, perpendicular pe segmentul din mijlocul său. Aceste perpendiculare nu se intersectează și, prin urmare, nu există niciun punct la fel de îndepărtat de puncte, adică. un triunghi nu are un cerc circumferitor.

În fig. Figura 8 prezintă o variantă interesantă a aranjamentului a trei linii drepte pe planul Lobachevsky: fiecare două dintre ele sunt paralele (doar în direcții diferite). Și în fig. 9 toate liniile sunt paralele între ele în aceeași direcție (un mănunchi de linii paralele). Linia roșie din fig. 9 este „perpendiculară” pe toate liniile drepte trasate (adică, tangenta la această dreaptă în orice punct este perpendiculară pe dreapta care trece prin ). Această linie se numește cerc limită sau horociclu. Liniile drepte ale fasciculului considerat sunt, parcă, „razele” sale, iar „centrul” cercului limită se află la infinit, deoarece „razele” sunt paralele. În același timp, cercul limită nu este o linie dreaptă, este „curbat”. Și alte proprietăți pe care o dreaptă le are în geometria euclidiană, în geometria lui Lobachevsky se dovedesc a fi inerente altor linii. De exemplu, un set de puncte situat pe o parte a unei linii date la o anumită distanță de aceasta, în geometria Lobachevsky, este o linie curbă (se numește echidistant).

Am atins pe scurt doar câteva fapte ale geometriei lui Lobachevsky, fără a menționa multe alte teoreme foarte interesante și semnificative (de exemplu, circumferința și aria unui cerc de rază cresc aici în funcție de legea exponențială). Există convingerea că această teorie, bogată în fapte foarte interesante și semnificative, este de fapt consecventă. Dar această convingere (care a fost împărtășită de toți cei trei creatori ai geometriei non-euclidiene) nu înlocuiește dovada coerenței.

Pentru a obține o astfel de dovadă a fost necesară construirea unui model. Și Lobaciovski a înțeles bine acest lucru și a încercat să o găsească.

Dar Lobaciovski însuși nu a mai putut face asta. Construcția unui astfel de model (adică, dovada consistenței geometriei lui Lobachevsky) a căzut în sarcina matematicienilor generației următoare.

În 1868, matematicianul italian E. Beltrami a examinat o suprafață concavă numită pseudosferă (Fig. 10) și a demonstrat că geometria Lobachevsky operează pe această suprafață! Dacă trasăm cele mai scurte linii („geodezice”) pe această suprafață și măsurăm distanțe de-a lungul acestor linii, facem triunghiuri din arcele acestor linii etc., atunci se dovedește că toate formulele geometriei Lobachevsky sunt implementate exact (în special , suma unghiurilor oricărui triunghi mai mic de 180°). Adevărat, nu întregul plan Lobachevsky este realizat pe pseudosferă, ci doar o bucată limitată din ea, dar totuși aceasta a fost prima breșă în peretele gol de nerecunoaștere a lui Lobachevsky. Iar doi ani mai târziu, matematicianul german F. Klein (1849-1925) a propus un alt model al planului Lobaciovski.

Klein ia un cerc și ia în considerare transformările proiective ale planului (vezi Geometrie proiectivă) care mapează cercul pe el însuși. Klein numește interiorul unui cerc „plan” și consideră că transformările proiective indicate sunt „mișcări” ale acestui „plan”. În plus, Klein consideră fiecare coardă a cercului (fără capete, deoarece sunt luate doar punctele interne ale cercului) ca fiind o „linie dreaptă”. Întrucât „mișcările” sunt transformări proiective, cele „directe” se transformă în „directe” în timpul acestor „mișcări”. Acum, în acest „plan” putem lua în considerare segmente, triunghiuri etc. Două figuri sunt numite „egale” dacă una dintre ele poate fi transferată celeilalte printr-o „mișcare”. Astfel, sunt introduse toate conceptele menționate în axiomele de geometrie și este posibil să se verifice îndeplinirea axiomelor din acest model. De exemplu, este evident că există o singură „linie dreaptă” care trece prin oricare două puncte (Fig. 11). De asemenea, se poate observa că printr-un punct care nu aparține unei „linii” trec un număr infinit de „linii” care nu se intersectează. O verificare ulterioară arată că în modelul Klein toate celelalte axiome ale geometriei Lobachevsky sunt de asemenea satisfăcute. În special, pentru orice „linie dreaptă” (adică coarda unui cerc) și orice punct al acestei „linii drepte” există o „mișcare” care o transferă pe o altă linie dreaptă dată cu un punct marcat pe ea. Acest lucru ne permite să verificăm îndeplinirea tuturor axiomelor geometriei Lobachevsky.

Un alt model de geometrie Lobachevsky a fost propus de matematicianul francez A. Poincaré (1854-1912). El are în vedere și interiorul unui anumit cerc; El consideră arce de cerc „dreapte” care ating razele în punctele de intersecție cu limita cercului (Fig. 12). Fără a vorbi în detaliu despre „mișcările” din modelul Poincaré (vor fi transformări circulare, în special inversiuni față de „linii drepte”, transformând cercul în sine), ne vom limita la a indica Fig. 13, arătând că în acest model axioma euclidiană a paralelismului nu are loc. Este interesant că în acest model un cerc (euclidian) situat în interiorul unui cerc se dovedește a fi un „cerc” în sensul geometriei Lobachevsky; cerc care atinge limita. Apoi lumina se va propaga (în conformitate cu principiul lui Fermat despre timpul minim de mișcare de-a lungul traiectoriei luminii) exact de-a lungul „liniilor drepte” ale modelului considerat. Lumina nu poate ajunge la graniță într-un timp finit (din moment ce viteza sa scade la zero acolo), și, prin urmare, această lume va fi percepută de „locuitorii” săi ca infinită, iar în metrica și proprietățile sale coincid cu planul Lobachevsky.

Ulterior, au fost propuse și alte modele de geometrie Lobachevsky. Aceste modele au stabilit în cele din urmă consistența geometriei lui Lobachevsky. Astfel, s-a demonstrat că geometria lui Euclid nu este singura posibilă. Acest lucru a avut un mare impact progresiv asupra dezvoltării ulterioare a geometriei și a matematicii în general.

Și în secolul al XX-lea. s-a descoperit că geometria Lobachevsky nu este importantă doar pentru matematica abstractă, ca una dintre geometriile posibile, ci este și direct legată de aplicațiile matematicii la fizică. S-a dovedit că relația dintre spațiu și timp, descoperită în lucrările lui H. Lorentz, A. Poincaré, A. Einstein, G. Minkowski și descrisă în cadrul teoriei speciale a relativității, este direct legată de geometria lui Lobachevsky. De exemplu, în calculele sincrofazotronilor moderni se folosesc formulele geometriei Lobachevsky.

Semne de paralelism a două drepte

Teorema 1. Dacă, când două drepte se intersectează cu o secante:

unghiurile încrucișate sunt egale sau

unghiurile corespunzătoare sunt egale sau

atunci suma unghiurilor unilaterale este de 180°

liniile sunt paralele(Fig. 1).

Dovada. Ne limităm la a demonstra cazul 1.

Fie dreptele care se intersectează a și b să fie transversale și unghiurile AB egale. De exemplu, ∠ 4 = ∠ 6. Să demonstrăm că a || b.

Să presupunem că liniile a și b nu sunt paralele. Apoi se intersectează la un punct M și, prin urmare, unul dintre unghiurile 4 sau 6 va fi unghiul exterior al triunghiului ABM. Pentru certitudine, fie ∠ 4 unghiul extern al triunghiului ABM, iar ∠ 6 unghiul intern. Din teorema unghiului exterior al unui triunghi rezultă că ∠ 4 este mai mare decât ∠ 6, iar aceasta contrazice condiția, ceea ce înseamnă că dreptele a și 6 nu se pot intersecta, deci sunt paralele.

Corolarul 1. Două drepte diferite dintr-un plan perpendicular pe aceeași dreaptă sunt paralele(Fig. 2).

Cometariu. Modul în care tocmai am demonstrat cazul 1 al teoremei 1 se numește metoda demonstrației prin contradicție sau reducere la absurd. Această metodă și-a primit prenumele deoarece la începutul argumentului se face o presupunere care este contrară (opusă) a ceea ce trebuie dovedit. Se numește duce la absurd datorită faptului că, raționând pe baza presupunerii făcute, ajungem la o concluzie absurdă (la absurd). Primirea unei astfel de concluzii ne obligă să respingem presupunerea făcută la început și să o acceptăm pe cea care trebuia dovedită.

Sarcina 1. Construiți o dreaptă care trece printr-un punct dat M și paralelă cu o dreaptă dată a, care nu trece prin punctul M.

Soluţie. Desenăm o dreaptă p prin punctul M perpendicular pe dreapta a (Fig. 3).

Apoi trasăm o dreaptă b prin punctul M perpendicular pe dreapta p. Linia b este paralelă cu dreapta a conform corolarului teoremei 1.

Din problema luată în considerare rezultă o concluzie importantă:
printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, este întotdeauna posibil să se tragă o dreaptă paralelă cu cea dată.

Proprietatea principală a dreptelor paralele este următoarea.

Axioma dreptelor paralele. Printr-un punct dat care nu se află pe o dreaptă dată, trece doar o singură dreaptă paralelă cu cea dată.

Să luăm în considerare câteva proprietăți ale dreptelor paralele care decurg din această axiomă.

1) Dacă o dreaptă intersectează una dintre cele două drepte paralele, atunci ea o intersectează și pe cealaltă (Fig. 4).

2) Dacă două linii diferite sunt paralele cu o a treia linie, atunci ele sunt paralele (Fig. 5).

Următoarea teoremă este de asemenea adevărată.

Teorema 2. Dacă două drepte paralele sunt intersectate de o transversală, atunci:

unghiurile transversale sunt egale;

unghiurile corespunzătoare sunt egale;

suma unghiurilor unilaterale este de 180°.

Corolarul 2. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe cealaltă(vezi fig. 2).

Cometariu. Teorema 2 se numește inversul teoremei 1. Concluzia teoremei 1 este condiția teoremei 2. Și condiția teoremei 1 este concluzia teoremei 2. Nu orice teoremă are inversă, adică dacă o anumită teoremă este adevărat, atunci teorema inversă poate fi falsă.

Să explicăm acest lucru folosind exemplul teoremei unghiurilor verticale. Această teoremă poate fi formulată după cum urmează: dacă două unghiuri sunt verticale, atunci ele sunt egale. Teorema inversă ar fi: dacă două unghiuri sunt egale, atunci ele sunt verticale. Și acest lucru, desigur, nu este adevărat. Două unghiuri egale nu trebuie să fie verticale.

Exemplul 1. Două linii paralele sunt traversate de o a treia. Se știe că diferența dintre două unghiuri interne unilaterale este de 30°. Găsiți aceste unghiuri.

Soluţie. Figura 6 îndeplinește condiția.

Anul este 1819, celebrul matematician francez Laplace visează să instaleze o figură uriașă luminoasă în mijlocul Siberiei, simbolizând teorema lui Pitagora, pentru a contacta extratereștrii, iar un nou administrator, Mihail Magnitsky, ajunge la Universitatea din Kazan. El îi acuză pe profesori și profesori de liberă gândire și ateism și îl invită pe Alexandru I să demoleze în mod solemn clădirea care adăpostește viciul.

Împăratul refuză, universitatea este repornită, iar Grigory Nikolsky devine noul rector - un matematician de 35 de ani, cu o carieră, căruia îi plăcea să se adreseze studenților cu cuvintele „suverani” și le-a repetat că „ipotenuza într-un drept. triunghiul este un simbol al întâlnirii adevărului și păcii, dreptății și iubirii prin mijlocitorul lui Dumnezeu și al omului...” Cam în aceeași perioadă, în fruntea lui Lobaciovski, în vârstă de 28 de ani, care lucrase toată viața la Universitatea din Kazan , un gând vag se învârtea și se învârtea: ceva nu era în neregulă cu postulatul al cincilea al lui Euclid. Dar totul este în ordine.

La început au existat postulate

În urmă cu aproximativ două mii de ani, în linie dreaptă de la Lobachevsky, a trăit marele matematician grec antic Euclid, care a adunat toate cunoștințele despre geometrie care existau înaintea lui într-o carte mare - „Principia”. Această carte a început cu șapte definiții și cinci postulate - afirmații nedemonstrabile, acceptate intuitiv despre credință, pe baza cărora au fost construite toate raționamentele și teoremele ulterioare.

Primele patru postulate au fost laconice și armonioase:

1. O linie dreaptă poate fi trasă din orice punct în orice punct.
2. O linie mărginită poate fi extinsă continuu de-a lungul unei linii drepte.
3. Un cerc poate fi descris din orice centru cu orice rază.
4. Toate unghiurile drepte sunt egale între ele.

Probabil că nimeni nu s-a îndoit de adevărul lor în întreaga istorie a lumii, dar al cincilea postulat suna mult mai confuz și semăna puțin cu un adevăr incontestabil:

1. Dacă o linie dreaptă care intersectează două drepte formează unghiuri interioare unilaterale mai mici de două unghiuri drepte, atunci, extinse la infinit, aceste două drepte se vor întâlni pe latura în care unghiurile sunt mai mici de două unghiuri drepte.

Mai târziu, zeci de matematicieni au încercat să demonstreze această afirmație în diferite formulări (cea mai comună dintre ele spune că într-un plan, printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, se poate trasa una și doar o dreaptă paralelă cu o dreaptă dată), dar toți au fost atrași în aceeași istorie. Dovezile lor păreau să se muște de coadă - se bazau pe afirmații care erau absolut imposibil de dovedit fără postulat al cincilea în sine. Ele aminteau mai mult de comploturile picturilor lui Escher decât de construcții matematice stricte.

Lobaciovski era stânjenit de al cincilea postulat nu atât de inexactitatea lui, cât de încărcătura sa filosofică: a așezat materia într-un fel de spațiu absolut înghețat, într-un sistem de coordonate independent de materia însăși și existent de acum înainte și pentru totdeauna pentru întregul Univers. Lui Lobaciovsky nu i-a plăcut acest lucru: credea că geometria și realitatea sunt împletite și a scris în jurnalele sale: „În natură, de fapt, cunoaștem doar mișcarea, fără de care impresiile senzoriale sunt imposibile. Deci, toate celelalte concepte, de exemplu Geometrice, sunt produse artificial de mintea noastră, fiind luate în proprietățile mișcării; și de aceea spațiul în sine, separat, nu există pentru noi. După care nu poate exista nicio contradicție în mintea noastră când admitem că unele forțe din natură urmează una, altele urmează propria lor Geometrie specială.”

Un materialist solid, el nu putea accepta doar prin credință că liniile paralele nu se intersectează undeva în infinitul spațiului. Da, Lobaciovski însuși a efectuat de mai multe ori măsurători geodezice la sol și a văzut că suma unghiurilor dintr-un triunghi este întotdeauna egală cu 180 (și aceasta este o altă formulare echivalentă a celei de-a cincea legi a lui Euclid), dar nu a putut să promită că aceasta ar fi cazul tuturor triunghiurilor din spațiul nostru infinit.

Lucrul pe teren accidentat

Adesea, în matematică, și într-adevăr în știință în general, poate fi foarte dificil să dovedești că ceva este în neregulă sau nu funcționează. Aproximativ la fel a fost și cu al cincilea postulat al lui Euclid: oamenii nu au putut să-i demonstreze corectitudinea, dar a fost și mai dificil să-l infirme, mai ales având în vedere că întregul colos al teoremelor de geometrie a lui Euclid era coerent și consecvent.

Prin urmare, Lobaciovski, în lupta sa cu postulatul al cincilea, a apelat la dovezi prin contradicție. Pentru a vedea ce s-ar întâmpla după aceasta cu întregul sistem de teoreme geometrice, el a încercat să înlocuiască postulat al cincilea cu imaginea lui în oglindă („Printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, trec cel puțin două drepte care se află pe o dreaptă dată în același plan și nu o intersectați”.). Vor apărea în ele contradicții interne, indicând indirect că versiunea originală a celui de-al cincilea postulat – atât de neglijent și contraintuitiv – a fost totuși inevitabil adevărată în spațiul nostru? Dar acest lucru nu s-a întâmplat - nu au existat contradicții.

Prin urmare, Lobachevsky a luat primele patru postulate ale lui Euclid, le-a adăugat o nouă cincime și pe aceasta a început să construiască o nouă geometrie consistentă care descrie lumea reală, așa cum spera el, mai precis și mai profund decât geometria euclidiană.

Lobaciovski a vrut chiar să-și testeze geometria în spațiu - să calculeze suma unghiurilor dintr-un triunghi format din stele și să vadă dacă ar fi egală cu 180 de grade, dar toate experimentele sale au eșuat. Inexactități și erori colosale s-au strecurat în ele, iar Lobaciovski însuși a fost rupt în bucăți: la universitatea natală, a predat acum nu numai matematică, ci și fizică și astronomie; rectorul Nikolsky, care visa să-și răcorească ardoarea, l-a forțat pe Lobaciovski să restabilească ordinea în biblioteca universității, iar administratorul Magnitsky l-a făcut pe matematician membru al comisiei de construcție a universității (se pare că Magnitsky, care furase în timpul construcției, spera să arunce toate vina pe matematicianul neglijent care se avânta în cer, dar acest plan a eșuat).

Au mai rămas jale de timp pentru știința pură, dar Lobachevsky a continuat să-și aprofundeze geometria - a formulat noi teoreme, a construit enunțuri și, în cele din urmă, pe 7 februarie (stil vechi) 1826 și-a prezentat lucrările comisiei științifice a Universității din Kazan - „ O prezentare concisă a principiilor geometriei cu o demonstrație riguroasă a teoremei despre paralele.”

Geometrie nouă - probleme vechi

În retrospectivă, viața marilor idei pare mai simplă decât era în realitate. Da, sunt oameni inerți în jur, da, peste tot există neîncredere și reticență în a zgudui barca, dar chiar și cu aceste amendamente agravante, traiectoria unei idei grozave, în cel mai rău caz, pare o spirală elastică, comprimată, care se desfășoară prin vâscos cotidian. viața spre lumina adevărului. În realitate, aceasta este mai degrabă o curbă întreruptă a rătăcirii - raportul lui Lobaciovsky din 7 februarie a eșuat.

Nu știm ce formă avea masa în camera în care se ținea raportul - dreptunghiulară, rotundă sau poate ovală; Nu știm ce fel de ferestre, pereți, uși erau, dar înțelegem un lucru sigur: gândurile tuturor celor prezenți au urmat apoi căi complet perpendiculare pe geometria non-euclidiană. Cu puțin timp înainte de aceasta, noul împărat Nicolae I îl înlăturase pe Magnitsky din funcția sa și toți membrii comisiei se gândeau acum cum această mișcare bruscă din exterior le va schimba viața și aproape că nu acordau atenție ciudatului matematician, care vorbea. în franceză despre un fel de geometrie extraterestră.

Mișcarea browniană a nanoparticulelor în apă

Apoi manuscrisul a fost trimis spre revizuire unor membri ai comisiei, dar în frământarea zilelor întunecate, se pare că pur și simplu au uitat de el, iar raportul în sine nu a fost niciodată aprobat pentru publicare. Atunci toată geometria lui Lobaciovski ar fi putut rămâne în capul lui pentru totdeauna, dacă nu pentru o singură surpriză: în curând a fost ales noul rector al universității.

Este puțin probabil ca, după aceasta, Lobachevsky să fi avut mai puțină muncă și mai multă energie, dar treptat și-a oficializat ideile în lucrarea finală „Despre principiile geometriei”, care a fost publicată pentru prima dată în revista „Kazansky Vestnik” și apoi trimisă spre revizuire către Academia de Științe, unde recenzia a fost adresată unuia dintre cei mai puternici matematicieni ruși ai vremii - Mihail Ostrogradsky.

„Se pare că autorul și-a propus să scrie în așa fel încât să nu poată fi înțeles. El a atins acest scop; cea mai mare parte a cărții mi-a rămas la fel de necunoscută ca și cum n-aș fi văzut-o niciodată...” – acesta este răspunsul lui. Noua geometrie rămâne neclară. Rătăcirea continuă.

Cercuri pe apă

Lobaciovski găsește înțelegere câțiva ani mai târziu. El își publică lucrările în reviste europene, unde sunt remarcate de marele german Gauss, care el însuși studiază în secret geometria non-euclidiană de mulți ani. Pentru a-l înțelege mai bine pe omul de știință din Kazan, el învață prompt limba rusă și apoi, impresionat de curajul și claritatea gândurilor lui Lobaciovski, îl nominalizează pentru a deveni membru corespondent al Societății Regale Științifice din Gottingen.

Recunoașterea îi întâlnește geniul, deși în țara sa natală, Ostrogradsky și oamenii din jurul lui au respins din când în când toate lucrările despre geometria non-euclidiană până la moartea lui Lobaciovski în 1856.

Trec 12-15 ani, iar matematicienii găsesc imediat câteva modele reale în care funcționează geometria lui Lobachevsky. În cea mai simplă dintre ele, proiectivă, interiorul unui cerc este luat ca un plan, iar coarda lui este luată ca o linie dreaptă. Ca urmare, faptul evident că printr-un punct P, situat în interiorul cercului, puteți desena orice număr de acorduri care nu se intersectează cu o singură coardă fixă A, devine automat în astfel de reguli de joc o ilustrare a celei de-a cincea legi a geometriei Lobachevsky.

În 1868, a fost publicat un raport de către Riemann, un alt pionier cu o geometrie non-euclidiană diferită, în care nu mai este posibil să se traseze o singură linie paralelă prin fiecare punct din spațiu, iar matematicienii devin treptat clar că geometriile lui Riemann și Lobachevsky sunt pași incredibil de similari la stânga și la dreapta geometriei euclidiene obișnuite. Primul lucrează pe suprafețe cu curbură pozitivă - ca sferele sau geoizii (meridianele paralele cu ecuatorul se întâlnesc la poli), iar al doilea - pe suprafețe cu curbură negativă - precum hiperboloizii sau șaua.

Și puțin mai târziu, la începutul secolului al XX-lea, noua geometrie se va întâlni în sfârșit cu fizica. Einstein își va formula teoria generală a relativității în termeni de geometrie riemanniană, iar gândurile oamenilor obișnuiți să meargă pe aceleași șine paralele vor deschide noi rute: spațiul și timpul nu sunt absolute. Mișcarea schimbă geometria. Și axiomele vechi de o mie de ani nu sunt întotdeauna adevărate.