Rezolvarea problemelor aplicate se rezumă la calcularea integralei, dar nu este întotdeauna posibil să se facă acest lucru cu precizie. Uneori este necesar să se cunoască valoarea unei anumite integrale cu un anumit grad de precizie, de exemplu, până la miimea.

Există probleme când ar fi necesar să se găsească valoarea aproximativă a unei anumite integrale cu precizia necesară, apoi se utilizează integrarea numerică precum metoda Simposny, trapezele și dreptunghiurile. Nu toate cazurile ne permit să o calculăm cu o anumită precizie.

Acest articol examinează aplicarea formulei Newton-Leibniz. Acest lucru este necesar pentru calculul precis al integralei definite. Vom oferi exemple detaliate, vom lua în considerare modificările variabilei în integrala definită și vom găsi valorile integralei definite atunci când integrăm pe părți.

formula Newton-Leibniz

Când funcţia y = y (x) este continuă din intervalul [ a ; b ] , iar F (x) este una dintre antiderivatele funcției acestui segment, atunci formula Newton-Leibniz considerat corect. Să o scriem astfel: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Această formulă considera formula de bază a calculului integral.

Pentru a produce o demonstrație a acestei formule, este necesar să se utilizeze conceptul de integrală cu o limită superioară variabilă disponibilă.

Când funcţia y = f (x) este continuă din intervalul [ a ; b ], atunci valoarea argumentului x ∈ a; b , iar integrala are forma ∫ a x f (t) d t și este considerată o funcție a limitei superioare. Este necesar să luăm notația funcției va lua forma ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , este continuă, iar o inegalitate de forma ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) este valabil pentru aceasta.

Să fixăm că incrementul funcției Φ (x) corespunde incrementului argumentului ∆ x , este necesar să folosim a cincea proprietate principală a integralei definite și obținem

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f (c) ∆ x

unde valoarea c ∈ x; x + ∆ x .

Să fixăm egalitatea sub forma Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Prin definiția derivatei unei funcții, este necesar să mergem la limita ca ∆ x → 0, apoi obținem o formulă de forma Φ " (x) = f (x). Constatăm că Φ (x) este una dintre antiderivate pentru o funcție de forma y = f (x), situată pe [a b].

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, unde valoarea lui C este constantă.

Să calculăm F (a) folosind prima proprietate a integralei definite. Atunci obținem asta

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, deci obținem că C = F (a). Rezultatul este aplicabil la calcularea F (b) și obținem:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), cu alte cuvinte, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F ( A) . Egalitatea este demonstrată prin formula Newton-Leibniz ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Luăm incrementul funcției ca F x a b = F (b) - F (a) . Folosind notația, formula Newton-Leibniz ia forma ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Pentru aplicarea formulei este necesar să se cunoască una dintre antiderivatele y = F (x) ale funcției integrand y = f (x) din segmentul [ a ; b ], se calculează incrementul antiderivatei din acest segment. Să ne uităm la câteva exemple de calcule folosind formula Newton-Leibniz.

Exemplul 1

Calculați integrala definită ∫ 1 3 x 2 d x folosind formula Newton-Leibniz.

Soluţie

Se consideră că integrandul de forma y = x 2 este continuu din intervalul [ 1 ; 3 ], atunci este integrabil pe acest interval. Din tabelul de integrale nedefinite vedem că funcția y = x 2 are un set de antiderivate pentru toate valorile reale ale lui x, ceea ce înseamnă x ∈ 1; 3 se va scrie ca F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Este necesar să luăm antiderivată cu C = 0, atunci obținem că F (x) = x 3 3.

Folosim formula Newton-Leibniz și aflăm că calculul integralei definite ia forma ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3.

Răspuns:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Exemplul 2

Calculați integrala definită ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x folosind formula Newton-Leibniz.

Soluţie

Funcția dată este continuă din segmentul [-1; 2 ], ceea ce înseamnă că este integrabil pe el. Este necesar să găsim valoarea integralei nedefinite ∫ x · e x 2 + 1 d x folosind metoda de subsumare sub semnul diferențial, apoi obținem ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C .

Avem deci o mulțime de antiderivate ale funcției y = x · e x 2 + 1, care sunt valabile pentru tot x, x ∈ - 1; 2.

Este necesar să se ia antiderivată la C = 0 și să se aplice formula Newton-Leibniz. Apoi obținem o expresie a formei

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Răspuns:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Exemplul 3

Calculați integralele ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x și ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Soluţie

Segment - 4; - 1 2 spune că funcția sub semnul integral este continuă, ceea ce înseamnă că este integrabilă. De aici găsim mulțimea de antiderivate ale funcției y = 4 x 3 + 2 x 2. Înțelegem asta

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Este necesar să luăm antiderivată F (x) = 2 x 2 - 2 x, apoi, aplicând formula Newton-Leibniz, obținem integrala, pe care o calculăm:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Se trece la calculul integralei a doua.

Din segmentul [ - 1 ; 1 ] avem că funcția integrand este considerată nemărginită, deoarece lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , atunci rezultă că o conditie necesara integrabilitatea dintr-un segment. Atunci F (x) = 2 x 2 - 2 x nu este antiderivată pentru y = 4 x 3 + 2 x 2 din intervalul [ - 1 ; 1 ], întrucât punctul O aparține segmentului, dar nu este inclus în domeniul definiției. Aceasta înseamnă că există o integrală definită Riemann și Newton-Leibniz pentru funcția y = 4 x 3 + 2 x 2 din intervalul [ - 1 ; 1 ] .

Răspuns: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 , există o integrală definită Riemann şi Newton-Leibniz pentru funcţia y = 4 x 3 + 2 x 2 din intervalul [ - 1 ; 1 ] .

Înainte de a utiliza formula Newton-Leibniz, trebuie să știți exact despre existența unei integrale definite.

Schimbarea unei variabile într-o integrală definită

Când funcţia y = f (x) este definită şi continuă din intervalul [ a ; b], apoi setul disponibil [a; b] este considerat a fi domeniul de valori al funcției x = g (z), definit pe segmentul α; β cu derivata continuă existentă, unde g (α) = a și g β = b, obținem din aceasta că ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z.

Această formulă este folosită atunci când trebuie să calculați integrala ∫ a b f (x) d x, unde integrala nedefinită are forma ∫ f (x) d x, o calculăm folosind metoda substituției.

Exemplul 4

Calculați o integrală definită de forma ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Soluţie

Funcția integrand este considerată continuă pe intervalul de integrare, ceea ce înseamnă că există o integrală definită. Să dăm notația că 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2. Valoarea x = 9 înseamnă că z = 2 9 - 9 = 9 = 3, iar pentru x = 18 obținem că z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3, atunci g α = g (3) = 9, g β = g 3 3 = 18. Când înlocuim valorile obținute în formula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z obținem că

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

Conform tabelului de integrale nedefinite, avem că una dintre antiderivatele funcției 2 z 2 + 9 ia valoarea 2 3 a r c t g z 3 . Apoi, la aplicarea formulei Newton-Leibniz, obținem că

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 3 π 1 = - 2 π 1 π 1 = - 2 π 1 π 1 = - 2 π 1 π 1

Constatarea ar putea fi făcută fără a folosi formula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z .

Dacă, folosind metoda înlocuirii, folosim o integrală de forma ∫ 1 x 2 x - 9 d x, atunci se ajunge la rezultatul ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C.

De aici vom efectua calcule folosind formula Newton-Leibniz și vom calcula integrala definită. Înțelegem asta

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 3 - a π 3 - a π 3 = π 18

Rezultatele au fost aceleași.

Răspuns: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Integrarea pe părți la calcularea unei integrale definite

Dacă pe segmentul [ a ; b ] funcțiile u (x) și v (x) sunt definite și continue, atunci derivatele lor de ordinul întâi v " (x) · u (x) sunt integrabile, deci din acest segment pentru funcția integrabilă u " (x) · v ( x) egalitatea ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x este adevărată.

Formula poate fi folosită atunci, este necesar să se calculeze integrala ∫ a b f (x) d x, iar ∫ f (x) d x a fost necesar să se caute folosind integrarea pe părți.

Exemplul 5

Calculați integrala definită ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Soluţie

Funcția x · sin x 3 + π 6 este integrabilă pe intervalul - π 2 ; 3 π 2, ceea ce înseamnă că este continuă.

Fie u (x) = x, apoi d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + π 6 d x și d (u (x)) = u " (x) d x = d x, și v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . Din formula ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x obținem că

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Exemplul poate fi rezolvat în alt mod.

Găsiți mulțimea de antiderivate ale funcției x · sin x 3 + π 6 folosind integrarea prin părți folosind formula Newton-Leibniz:

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Răspuns: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Derivate de ordin superior

În această lecție vom învăța cum să găsim derivate de ordin superior, precum și cum să scriem formula generala derivatul „n-a”. În plus, formula lui Leibniz pentru un astfel de derivat și, la cererea populară, derivate de ordin superior ale funcţie implicită. Vă sugerez să faceți imediat un mini-test:

Iată funcția: și iată prima sa derivată:

În cazul în care aveți dificultăți/confuzii în legătură cu acest exemplu, vă rugăm să începeți cu cele două articole de bază ale cursului meu: Cum să găsesc derivatul?Și Derivată a unei funcții complexe. După stăpânirea derivatelor elementare, vă recomand să citiți lecția Cele mai simple probleme cu derivatele, despre care ne-am ocupat, în special derivata a doua.

Nu este greu să ghicim că a doua derivată este derivata primei derivate:

În principiu, derivata a doua este deja considerată o derivată de ordin superior.

În mod similar: a treia derivată este derivata a doua a:

A patra derivată este derivata a treia:

Derivata a cincea: , și este evident că toate derivatele de ordin superior vor fi, de asemenea, egale cu zero:

Pe lângă numerotarea romană, următoarele notații sunt adesea folosite în practică:
, derivata ordinului „n-lea” se notează cu . În acest caz, superscriptul trebuie să fie cuprins între paranteze– pentru a distinge derivata de „y” în grad.

Uneori vezi ceva de genul asta: – a treia, a patra, a cincea, ..., respectiv derivate „a n-a”.

Înainte fără teamă și îndoială:

Exemplul 1

Funcția este dată. Găsi .

Soluţie: ce poți să spui... - mergi înainte pentru a patra derivată :)

Nu mai este obișnuit să punem patru linii, așa că trecem la indici numerici:

Răspuns:

Bine, acum să ne gândim la această întrebare: ce să facem dacă condiția necesită găsirea nu a celei de-a patra, ci, de exemplu, a celei de-a 20-a derivate? Dacă pentru derivata 3-4-5 (maximum 6-7) de mărime, soluția este oficializată destul de repede, atunci nu vom „ajunge” foarte curând la derivate de ordine superioară. De fapt, nu scrieți 20 de rânduri! ÎN situație similară trebuie să analizați mai multe derivate găsite, să vedeți modelul și să creați o formulă pentru „a-a” derivată. Deci, în Exemplul nr. 1 este ușor de înțeles că, cu fiecare diferențiere ulterioară, un „trei” suplimentar va „apari” în fața exponentului și, la orice pas, gradul „trei” este egal cu numărul de derivata, prin urmare:

Unde este un număr natural arbitrar.

Și într-adevăr, dacă , atunci se obține exact derivata 1: , dacă – atunci al 2-lea: etc. Astfel, derivata a douăzecea se determină instantaneu: – și fără „coli lungi de kilometri”!

Încălzirea pe cont propriu:

Exemplul 2

Găsiți funcții. Scrieți derivata de ordine

Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

După o încălzire revigorantă, ne vom uita la mai multe exemple complexe, în care vom elabora algoritmul de soluție de mai sus. Pentru cei care au reușit să se familiarizeze cu lecția Limită de secvență, va fi puțin mai ușor:

Exemplul 3

Găsiți pentru funcție.

Soluţie: pentru a clarifica situația, să găsim mai multe derivate:

Nu ne grăbim să înmulțim cifrele rezultate! ;-)


Poate că este suficient. ... chiar am trecut puțin peste bord.

Următorul pas este cel mai bine să creați formula pentru „a-a” derivată (dacă condiția nu necesită acest lucru, atunci vă puteți descurca cu un draft). Pentru a face acest lucru, ne uităm la rezultatele obținute și identificăm modelele cu care se obține fiecare derivată ulterioară.

În primul rând, se alternează. Alinierea asigură "lumină intermitentă", și deoarece derivata 1 este pozitivă, următorul factor va intra în formula generală: . Ar funcționa și o opțiune echivalentă, dar personal, ca optimist, îmi place semnul plus =)

În al doilea rând, la numărător „se termină” factorial, și „rămîne” în urma numărului derivat cu o unitate:

Și în al treilea rând, puterea lui „doi” în numărător crește, ceea ce este egal cu numărul derivatului. Același lucru se poate spune despre gradul numitorului. In cele din urma:

Pentru a verifica, să înlocuim câteva valori „en”, de exemplu, și:

Grozav, acum a face o greșeală este pur și simplu un păcat:

Răspuns:

O funcție mai simplă de rezolvat pe cont propriu:

Exemplul 4

Găsiți funcții.

Și o problemă mai interesantă:

Exemplul 5

Găsiți funcții.

Să repetăm ​​procedura încă o dată:

1) Mai întâi găsim mai multe derivate. Pentru a prinde modele, trei sau patru sunt de obicei suficiente.

2) Atunci recomand cu tărie să faci (cel puțin în formă de schiță) Derivatul „a n-a” – este garantat să vă protejeze de erori. Dar te poți descurca fără ea, adică. estimați mental și notați imediat, de exemplu, derivata a douăzecea sau a opta. Mai mult decât atât, unii oameni sunt în general capabili să rezolve problemele în cauză oral. Cu toate acestea, ar trebui să vă amintiți că metodele „rapide” sunt grele și este mai bine să fiți în siguranță.

3) În etapa finală, verificăm derivata „n-a” - luăm o pereche de valori „n-a” (de preferință cele vecine) și efectuăm înlocuirea. Și este și mai fiabil să verificați toate derivatele găsite anterior. Apoi o înlocuim în valoarea dorită, de exemplu, sau și pieptănăm cu atenție rezultatul.

O scurtă soluție la exemplele 4 și 5 la sfârșitul lecției.

În unele sarcini, pentru a evita problemele, trebuie să lucrați puțin asupra funcției:

Exemplul 6

Soluţie: Nu vreau să diferențiez deloc funcția propusă, deoarece va avea ca rezultat o fracție „rea”, ceea ce va complica foarte mult găsirea derivatelor ulterioare.

În acest sens, este indicat să se efectueze transformări preliminare: folosim formula diferenței pătrateȘi proprietatea logaritmului :

Este cu totul alta chestiune:

Și vechi prieteni:

Cred că totul este privit. Vă rugăm să rețineți că a doua fracție alternează semnul, dar prima fracție nu. Construim derivata de ordin:

Control:

Ei bine, de dragul frumuseții, să scoatem factorialul dintre paranteze:

Răspuns:

O sarcină interesantă de rezolvat pe cont propriu:

Exemplul 7

Scrieți formula derivată de ordine pentru funcție

Și acum despre garanția reciprocă de nezdruncinat pe care chiar și mafia italiană ar invidia:

Exemplul 8

Funcția este dată. Găsi

Derivata a optsprezecea la punct. Doar.

Soluţie: mai întâi, evident, trebuie să găsiți . Merge:

Am început cu sinusul și am terminat cu sinusul. Este clar că, odată cu o diferențiere suplimentară, acest ciclu va continua la nesfârșit și apare următoarea întrebare: care este cea mai bună modalitate de a „a ajunge” la derivata a optsprezecea?

Metoda „amator”: notează rapid numărul de derivate ulterioare în coloana din dreapta:

Prin urmare:

Dar acest lucru funcționează dacă ordinea derivatei nu este prea mare. Dacă trebuie să găsiți, să zicem, derivata a sutei, atunci ar trebui să utilizați divizibilitatea cu 4. O sută este divizibil cu 4 fără rest și este ușor de observat că astfel de numere sunt situate în linia de jos, prin urmare: .

Apropo, derivata a 18-a poate fi determinată și din considerente similare:
A doua linie conține numere care sunt divizibile cu 4 cu restul de 2.

Pe o altă metodă, mai academică, se bazează periodicitatea sinusuluiȘi formule de reducere. Folosim formula gata făcută pentru „n-a” derivată a sinusului , în care numărul dorit este pur și simplu înlocuit. De exemplu:
(formula de reducere ) ;
(formula de reducere )

În cazul nostru:

(1) Deoarece sinusul este o funcție periodică cu o perioadă, argumentul poate fi „deșurubat” fără durere 4 perioade (adică).

Derivata de ordine a produsului a doua functii poate fi gasita folosind formula:

În special:

Nu este nevoie să vă amintiți nimic în mod specific, pentru că cu cât cunoașteți mai multe formule, cu atât înțelegeți mai puțin. Este mult mai util să te familiarizezi cu Binomul lui Newton, deoarece formula lui Leibniz este foarte, foarte asemănătoare cu ea. Ei bine, acei norocoși care vor primi un derivat al ordinului 7 sau mai mare (ceea ce este cu adevărat puțin probabil), va fi obligat să facă acest lucru. Cu toate acestea, când vine rândul combinatorică– atunci mai trebuie =)

Să găsim derivata a treia a funcției. Folosim formula lui Leibniz:

În acest caz: . Derivatele sunt ușor de recitat oral:

Acum efectuați cu atenție și cu ATENȚIE înlocuirea și simplificați rezultatul:

Răspuns:

O sarcină similară pentru o soluție independentă:

Exemplul 11

Găsiți caracteristici

Dacă în exemplul anterior soluția „front-on” a concurat în continuare cu formula lui Leibniz, atunci aici va fi cu adevărat neplăcut. Și chiar mai neplăcut - în cazul unei derivate de ordin superior:

Exemplul 12

Găsiți derivata ordinului specificat

Soluţie: prima și semnificativă remarcă este că probabil nu trebuie să decideți așa =) =)

Să notăm funcțiile și să le găsim derivatele până la ordinul 5 inclusiv. Presupun că derivatele coloanei din dreapta au devenit orale pentru tine:

În coloana din stânga, derivatele „vii” s-au „terminat” rapid și acest lucru este foarte bine - trei termeni din formula lui Leibniz vor fi resetati la zero:

Permiteți-mi să mă opresc din nou asupra dilemei care a apărut în articolul despre derivate complexe: Ar trebui să simplific rezultatul? În principiu, o puteți lăsa așa - va fi și mai ușor pentru profesor să verifice. Dar poate cere ca decizia să fie definitivată. Pe de altă parte, simplificarea din proprie inițiativă este plină de erori algebrice. Totuși, avem un răspuns obținut într-un mod „primitiv” =) (vezi linkul de la inceput) si sper sa fie corect:

Grozav, totul a venit împreună.

Răspuns:

Sarcină fericită pentru o soluție independentă:

Exemplul 13

Pentru functie:
a) afla prin diferentiere directa;
b) găsiți folosind formula lui Leibniz;
c) calcula .

Nu, nu sunt deloc un sadic – punctul „a” aici este destul de simplu =)

Dar serios, soluția „directă” prin diferențiere succesivă are și „drept la viață” - în unele cazuri complexitatea ei este comparabilă cu complexitatea aplicării formulei Leibniz. Utilizați dacă considerați că este adecvat - este puțin probabil ca acesta să fie un motiv pentru eșecul sarcinii.

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Pentru a ridica ultimul paragraf trebuie să fii capabil diferențierea funcțiilor implicite:

Derivate de ordin superior ale funcțiilor specificate implicit

Mulți dintre noi am petrecut ore lungi, zile și săptămâni din viața noastră studiind cercuri, parabole, hiperbolă– și uneori chiar părea o adevărată pedeapsă. Așa că haideți să ne răzbunăm și să le diferențiem în mod corespunzător!

Să începem cu parabola „școală” în ea poziție canonică:

Exemplul 14

Ecuația este dată. Găsi .

Soluţie: primul pas este familiar:

Faptul ca functia si derivata ei sunt exprimate implicit nu schimba esenta materiei derivata a doua este derivata primei derivate:

Cu toate acestea, există reguli ale jocului: derivatele de ordinul 2 și superior sunt de obicei exprimate doar prin „X” și „Y”. Prin urmare, substituim : în derivata a 2-a rezultată:

A treia derivată este derivata a doua:

În mod similar, să înlocuim:

Răspuns:

Hiperbola „Școală” în poziție canonică- pentru munca independenta:

Exemplul 15

Ecuația este dată. Găsi .

Repet că derivata a 2-a și rezultatul ar trebui exprimate doar prin „x”/“y”!

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

După farsele copiilor, să ne uităm la pornografia germană, să ne uităm la mai multe exemple pentru adulți, din care vom afla o altă soluție importantă:

Exemplul 16

Elipsă se.

Soluţie: haideti sa gasim derivata 1:

Acum să ne oprim și să analizăm următorul punct: acum trebuie să diferențiem fracția, ceea ce nu este deloc plăcut. În acest caz, este, desigur, simplu, dar în problemele din viața reală astfel de cadouri sunt prea puține și îndepărtate. Există vreo modalitate de a evita găsirea derivatului greoi? Există! Luăm ecuația și folosim aceeași tehnică ca atunci când găsim derivata 1 - „atârnăm” lovituri de ambele părți:

A doua derivată trebuie exprimată numai în termeni de și , deci acum (chiar acum) Este convenabil să scapi de derivata 1. Pentru a face acest lucru, înlocuiți în ecuația rezultată:

Pentru a evita dificultățile tehnice inutile, să înmulțim ambele părți prin:

Și numai în etapa finală formulăm fracția:

Acum ne uităm la ecuația inițială și observăm că rezultatul obținut poate fi simplificat:

Răspuns:

Cum să găsiți valoarea derivatei a 2-a în orice moment (care, desigur, aparține elipsei), de exemplu, la punct ? Foarte usor! Acest motiv a fost deja întâlnit în lecția despre ecuația normală: trebuie să înlocuiți derivata a 2-a în expresie :

Desigur, în toate cele trei cazuri puteți obține funcții definite în mod explicit și le puteți diferenția, dar apoi fiți pregătiți mental să lucrați cu două funcții care conțin rădăcini. În opinia mea, este mai convenabil să duci soluția într-un „mod implicit”.

Un ultim exemplu de rezolvat singur:

Exemplul 17

Găsiți o funcție specificată implicit

Formula lui Leibniz este dată pentru al n-lea calcul derivată a produsului a două funcții. Dovada sa este dată în două moduri. Este considerat un exemplu de calcul al derivatei de ordinul n-lea.

Vezi si: Derivată a produsului a două funcții

formula Leibniz

Folosind formula lui Leibniz, puteți calcula derivata de ordinul n-a a produsului a două funcții. Arata cam asa:
(1) ,
Unde
- coeficienți binomiali.

Coeficienții binomi sunt coeficienții expansiunii unui binom în puteri și:
.
De asemenea, numărul este numărul de combinații de la n la k.

Dovada formulei lui Leibniz

Să aplicăm formula pentru derivata produsului a două funcții:
(2) .
Să rescriem formula (2) în următoarea formă:
.
Adică considerăm că o funcție depinde de variabila x, iar cealaltă de variabila y. La finalul calculului presupunem . Apoi formula anterioară poate fi scrisă după cum urmează:
(3) .
Deoarece derivata este egală cu suma termenilor și fiecare termen este produsul a două funcții, atunci pentru a calcula derivate de ordin superior, regula (3) poate fi aplicată în mod consecvent.

Atunci pentru derivata de ordinul n-a avem:

.
Având în vedere că și , obținem formula lui Leibniz:
(1) .

Dovada prin inducție

Să dăm o dovadă a formulei lui Leibniz folosind metoda inducției matematice.

Să scriem încă o dată formula lui Leibniz:
(4) .
Pentru n = 1 avem:
.
Aceasta este formula pentru derivata produsului a două funcții. E corectă.

Să presupunem că formula (4) este valabilă pentru derivata de ordinul n-lea. Să demonstrăm că este valabil pentru derivata n + 1 -a ordine.

Să facem diferența (4):
;



.
Deci am gasit:
(5) .

Să înlocuim în (5) și să luăm în considerare faptul că:

.
Aceasta arată că formula (4) are aceeași formă pentru derivata n + 1 -a ordine.

Deci, formula (4) este valabilă pentru n = 1 . Din ipoteza că este valabil pentru un număr n = m rezultă că este valabil pentru n = m + 1 .
Formula lui Leibniz a fost dovedită.

Exemplu

Calculați derivata a n-a a unei funcții
.

Să aplicăm formula lui Leibniz
(2) .
În cazul nostru
;
.

Din tabelul derivatelor avem:
.
Aplicam proprietatile functiilor trigonometrice:
.
Apoi
.
Aceasta arată că diferențierea funcției sinus duce la deplasarea acesteia cu . Apoi
.

Găsirea derivatelor funcției.
;
;
;
, .

Deoarece pentru , atunci în formula lui Leibniz numai primii trei termeni sunt nenuli. Găsirea coeficienților binomi.
;
.

Conform formulei lui Leibniz avem:

.