Podea

Cum să găsiți o derivată cu o putere complexă. Rezolvarea derivatelor pentru manechine: definiție, cum se găsesc, exemple de soluții. Exemple mai complexe

După pregătirea preliminară a artileriei, exemplele cu 3-4-5 cuibări de funcții vor fi mai puțin înfricoșătoare. Următoarele două exemple pot părea complicate pentru unii, dar dacă le înțelegeți (cineva va avea de suferit), atunci aproape orice altceva din calculul diferențial va părea o glumă de copil.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

După cum sa menționat deja, atunci când găsiți derivatul functie complexa, în primul rând, este necesar DreaptaÎNȚELEGEȚI investițiile dvs. În cazurile în care există îndoieli, vă reamintesc de o tehnică utilă: luăm valoarea experimentală a lui „x”, de exemplu, și încercăm (mental sau într-o schiță) să substituim această valoare în „expresia groaznică”.

1) Mai întâi trebuie să calculăm expresia, ceea ce înseamnă că suma este cea mai adâncă încorporare.

2) Apoi trebuie să calculați logaritmul:

4) Apoi cubează cosinusul:

5) La al cincilea pas diferența:

6) Și în sfârșit, funcția cea mai exterioară este rădăcina pătrată:

Formula pentru diferențierea unei funcții complexe sunt aplicate în ordine inversă, de la funcția cea mai exterioară la cea mai interioară. Noi decidem:

Pare fara erori:

1) Luați derivata rădăcinii pătrate.

2) Luați derivata diferenței folosind regula

3) Derivata unui triplu este zero. În al doilea termen luăm derivata gradului (cubul).

4) Luați derivata cosinusului.

6) Și, în sfârșit, luăm derivata celei mai profunde încorporare.

Poate părea prea dificil, dar acesta nu este cel mai brutal exemplu. Luați, de exemplu, colecția lui Kuznetsov și veți aprecia toată frumusețea și simplitatea derivatului analizat. Am observat că le place să dea un lucru similar la un examen pentru a verifica dacă un student înțelege cum să găsească derivata unei funcții complexe sau nu înțelege.

Următorul exemplu este pe care îl puteți rezolva singur.

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Sugestie: Mai întâi aplicăm regulile de liniaritate și regula de diferențiere a produsului

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Este timpul să trecem la ceva mai mic și mai frumos.
Nu este neobișnuit ca un exemplu să arate produsul nu a două, ci a trei funcții. Cum să găsiți derivata produsului a trei factori?

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

Mai întâi ne uităm, este posibil să transformăm produsul a trei funcții în produsul a două funcții? De exemplu, dacă am avea două polinoame în produs, atunci am putea deschide parantezele. Dar în exemplul luat în considerare, toate funcțiile sunt diferite: grad, exponent și logaritm.

În astfel de cazuri este necesar secvenţial aplica regula de diferentiere a produselor de două ori

Trucul este că prin „y” notăm produsul a două funcții: , iar cu „ve” notăm logaritmul: . De ce se poate face asta? Este într-adevăr - acesta nu este un produs al doi factori și regula nu funcționează?! Nu este nimic complicat:

Acum rămâne să aplici regula a doua oară la paranteză:

De asemenea, puteți să vă răsuciți și să puneți ceva din paranteze, dar în acest caz este mai bine să lăsați răspunsul exact în această formă - va fi mai ușor de verificat.

Exemplul luat în considerare poate fi rezolvat în al doilea mod:

Ambele soluții sunt absolut echivalente.

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă; în probă se rezolvă folosind prima metodă.

Să ne uităm la exemple similare cu fracții.

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Există mai multe moduri prin care puteți merge aici:

Sau cam asa:

Dar soluția se va scrie mai compact dacă folosim mai întâi regula de diferențiere a coeficientului , luând pentru întregul numărător:

În principiu, exemplul este rezolvat, iar dacă este lăsat așa cum este, nu va fi o eroare. Dar dacă aveți timp, este întotdeauna indicat să verificați o ciornă pentru a vedea dacă răspunsul poate fi simplificat?

Să reducem expresia numărătorului la un numitor comun și să scăpăm de structura cu trei etaje a fracției:

Dezavantajul simplificărilor suplimentare este că există riscul de a greși nu la găsirea derivatei, ci în timpul transformărilor școlare banale. Pe de altă parte, profesorii resping adesea sarcina și cer să „aducă în minte” derivatul.

Un exemplu mai simplu de rezolvat singur:

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Continuăm să stăpânim metodele de găsire a derivatei și acum vom lua în considerare un caz tipic când logaritmul „teribil” este propus pentru diferențiere

Dacă g(X) Și f(u) – funcții diferențiabile ale argumentelor lor, respectiv, la puncte XȘi u= g(X), atunci funcția complexă este și ea diferențiabilă la punct X si se gaseste prin formula

O greșeală tipică la rezolvarea problemelor derivate este transferul mecanic al regulilor de diferențiere a funcțiilor simple la funcții complexe. Să învățăm să evităm această greșeală.

Exemplul 2. Aflați derivata unei funcții

Solutie gresita: calculați logaritmul natural al fiecărui termen din paranteze și căutați suma derivatelor:

Solutia corecta: din nou determinăm unde este „mărul” și unde este „carnea tocată”. Aici logaritmul natural al expresiei din paranteză este un „măr”, adică o funcție peste argumentul intermediar u, iar expresia dintre paranteze este „carne tocată”, adică un argument intermediar u prin variabila independenta X.

Apoi (folosind formula 14 din tabelul derivatelor)

În multe probleme din viața reală, expresia cu un logaritm poate fi ceva mai complicată, motiv pentru care există o lecție

Exemplul 3. Aflați derivata unei funcții

Solutie gresita:

Soluție corectă.ÎN Încă o dată Determinăm unde este „mărul” și unde este „carnea tocată”. Aici, cosinusul expresiei dintre paranteze (formula 7 din tabelul derivatelor) este un „măr”, este pregătit în modul 1, care îl afectează numai pe acesta, iar expresia dintre paranteze (derivata gradului este numărul 3 în tabelul derivatelor) este „carne tocată”, se prepară în modul 2, care o afectează numai pe aceasta. Și, ca întotdeauna, conectăm două derivate cu semnul produsului. Rezultat:

Derivata unei funcții logaritmice complexe este o sarcină frecventă în teste, așa că vă recomandăm insistent să urmați lecția „Derivată a unei funcții logaritmice”.

Primele exemple au fost pe funcții complexe, în care argumentul intermediar asupra variabilei independente era o funcție simplă. Dar în sarcinile practice este adesea necesar să se găsească derivata unei funcții complexe, unde argumentul intermediar este fie el însuși o funcție complexă, fie conține o astfel de funcție. Ce să faci în astfel de cazuri? Găsiți derivate ale unor astfel de funcții folosind tabele și reguli de diferențiere. Când se găsește derivata argumentului intermediar, aceasta este pur și simplu substituită în locul potrivit în formulă. Mai jos sunt două exemple despre cum se face acest lucru.

În plus, este util să știți următoarele. Dacă o funcţie complexă poate fi reprezentată ca un lanţ de trei funcţii

atunci derivata sa ar trebui găsită ca produsul derivatelor fiecăreia dintre aceste funcții:

Multe dintre temele dvs. ar putea necesita să vă deschideți ghidurile în ferestre noi. Acțiuni cu puteri și rădăciniȘi Operații cu fracții .

Exemplul 4. Aflați derivata unei funcții

Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe, fara a uita ca in produsul rezultat al derivatelor exista un argument intermediar fata de variabila independenta X nu se schimba:

Pregătim al doilea factor al produsului și aplicăm regula de diferențiere a sumei:

Al doilea termen este rădăcina, deci

Astfel, am constatat că argumentul intermediar, care este o sumă, conține o funcție complexă ca unul dintre termeni: ridicarea la o putere este o funcție complexă, iar ceea ce este ridicat la o putere este un argument intermediar față de independenta. variabil X.

Prin urmare, aplicăm din nou regula de diferențiere a unei funcții complexe:

Transformăm gradul primului factor într-o rădăcină, iar la diferențierea celui de-al doilea factor, nu uităm că derivata constantei este egală cu zero:

Acum putem găsi derivata argumentului intermediar necesar pentru a calcula derivata unei funcții complexe cerute în enunțul problemei y:

Exemplul 5. Aflați derivata unei funcții

În primul rând, folosim regula pentru diferențierea sumei:

Am obținut suma derivatelor a două funcții complexe. Să-l găsim pe primul:

Aici, ridicarea sinusului la o putere este o funcție complexă, iar sinusul însuși este un argument intermediar pentru variabila independentă X. Prin urmare, vom folosi regula de diferențiere a unei funcții complexe, pe parcurs scotând factorul din paranteze :

Acum găsim al doilea termen al derivatelor funcției y:

Aici ridicarea cosinusului la o putere este o funcție complexă f, iar cosinusul însuși este un argument intermediar în variabila independentă X. Să folosim din nou regula pentru diferențierea unei funcții complexe:

Rezultatul este derivata necesară:

Tabel de derivate ale unor funcții complexe

Pentru funcțiile complexe, bazate pe regula de diferențiere a unei funcții complexe, formula pentru derivata unei funcții simple ia o formă diferită.

1. Derivată a unei funcții de putere complexe, unde u X
2. Derivat al rădăcinii expresiei
3. Derivata unei functii exponentiale
4. Caz special al funcției exponențiale
5. Derivată a unei funcții logaritmice cu o bază pozitivă arbitrară A
6. Derivata unei functii logaritmice complexe, unde u– funcția diferențiabilă a argumentului X
7. Derivată de sinus
8. Derivată a cosinusului
9. Derivată a tangentei
10. Derivat de cotangente
11. Derivată de arcsinus
12. Derivată a arccosinusului
13. Derivată a arctangentei
14. Derivată a cotangentei arcului

Funcții tip complex nu se potrivesc întotdeauna cu definiția unei funcții complexe. Dacă există o funcție de forma y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, atunci nu poate fi considerată complexă, spre deosebire de y = sin 2 x.

Acest articol va arăta conceptul de funcție complexă și identificarea acesteia. Să lucrăm cu formule pentru găsirea derivatei cu exemple de soluții în concluzie. Utilizarea tabelului de derivate și a regulilor de diferențiere reduce semnificativ timpul pentru găsirea derivatei.

Definiții de bază

Definiția 1

O funcție complexă este una al cărei argument este și o funcție.

Se notează astfel: f (g (x)). Avem că funcția g (x) este considerată un argument f (g (x)).

Definiția 2

Dacă există o funcție f și este o funcție cotangentă, atunci g(x) = ln x este funcția logaritmului natural. Constatăm că funcția complexă f (g (x)) va fi scrisă ca arctg(lnx). Sau o funcție f, care este o funcție ridicată la puterea a 4-a, unde g (x) = x 2 + 2 x - 3 este considerată o funcție rațională întreagă, obținem că f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Evident, g(x) poate fi complex. Din exemplul y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 este clar că valoarea lui g are rădăcina cubă a fracției. Această expresie poate fi notată ca y = f (f 1 (f 2 (x))). De unde avem că f este o funcție sinus, iar f 1 este o funcție situată sub rădăcina pătrată, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 este o funcție rațională fracțională.

Definiția 3

Gradul de cuibărit este determinat de orice număr natural și se scrie ca y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . . (f n (x)))))) .

Definiția 4

Conceptul de compoziție a funcției se referă la numărul de funcții imbricate în funcție de condițiile problemei. Pentru a rezolva, utilizați formula pentru găsirea derivatei unei funcții complexe de forma

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Exemple

Exemplul 1

Aflați derivata unei funcții complexe de forma y = (2 x + 1) 2.

Soluţie

Condiția arată că f este o funcție la pătrat, iar g(x) = 2 x + 1 este considerată o funcție liniară.

Să aplicăm formula derivată pentru o funcție complexă și să scriem:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Este necesar să găsiți derivata cu o formă originală simplificată a funcției. Primim:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

De aici avem asta

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Rezultatele au fost aceleași.

Când rezolvați probleme de acest tip, este important să înțelegeți unde va fi localizată funcția formei f și g (x).

Exemplul 2

Ar trebui să găsiți derivatele funcțiilor complexe de forma y = sin 2 x și y = sin x 2.

Soluţie

Prima notație a funcției spune că f este funcția de pătrat și g(x) este funcția sinus. Atunci obținem asta

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

A doua intrare arată că f este o funcție sinus, iar g(x) = x 2 denotă o funcție de putere. Rezultă că scriem produsul unei funcții complexe ca

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Formula pentru derivata y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . . (f n (x))))) se va scrie ca y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x)) )) )) · . . . fn "(x)

Exemplul 3

Aflați derivata funcției y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Soluţie

Acest exemplu arată dificultatea de a scrie și de a determina locația funcțiilor. Atunci y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) indică unde f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) este funcția sinus, funcția de ridicare la 3 grade, funcție cu logaritm și baza e, funcție arctangentă și liniară.

Din formula pentru definirea unei funcții complexe avem că

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Primim ceea ce trebuie să găsim

f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ca derivată a sinusului conform tabelului de derivate, apoi f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ca derivată a unei funcții de putere, atunci f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
f 2 " (f 3 (f 4 (x))) ca derivată logaritmică, apoi f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
f 3 " (f 4 (x)) ca derivată a arctangentei, apoi f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
Când găsiți derivata f 4 (x) = 2 x, eliminați 2 din semnul derivatei folosind formula pentru derivata unei funcții de putere cu un exponent egal cu 1, apoi f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Combinăm rezultatele intermediare și obținem asta

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analiza unor astfel de funcții amintește de păpușile de cuib. Regulile de diferențiere nu pot fi întotdeauna aplicate explicit folosind un tabel derivat. Adesea trebuie să utilizați o formulă pentru a găsi derivate ale funcțiilor complexe.

Există unele diferențe între aspectul complex și funcțiile complexe. Cu o capacitate clară de a distinge acest lucru, găsirea derivatelor va fi deosebit de ușoară.

Exemplul 4

Este necesar să luați în considerare oferirea unui astfel de exemplu. Dacă există o funcție de forma y = t g 2 x + 3 t g x + 1, atunci poate fi considerată ca o funcție complexă de forma g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Evident, este necesar să folosiți formula pentru un derivat complex:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

O funcție de forma y = t g x 2 + 3 t g x + 1 nu este considerată complexă, deoarece are suma t g x 2, 3 t g x și 1. Totuși, t g x 2 este considerată o funcție complexă, atunci obținem o funcție de putere de forma g (x) = x 2 și f, care este o funcție tangentă. Pentru a face acest lucru, diferențiați în funcție de cantitate. Înțelegem asta

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Să trecem la găsirea derivatei unei funcții complexe (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Obținem că y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funcțiile de tip complex pot fi incluse în funcții complexe, iar funcțiile complexe însele pot fi componente ale funcțiilor de tip complex.

Exemplul 5

De exemplu, să considerăm o funcție complexă de forma y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Această funcție poate fi reprezentată ca y = f (g (x)), unde valoarea lui f este o funcție a logaritmului de bază 3, iar g (x) este considerată suma a două funcții de forma h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 și k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Evident, y = f (h (x) + k (x)).

Se consideră funcția h(x). Acesta este raportul l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 la m (x) = e x 2 + 3 3

Avem că l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) este suma a două funcții n (x) = x 2 + 7 și p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , unde p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) este o funcție complexă cu coeficient numeric 3, iar p 1 este o funcție cub, p 2 printr-o funcție cosinus, p 3 (x) = 2 x + 1 printr-o funcție liniară.

Am constatat că m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) este suma a două funcții q (x) = e x 2 și r (x) = 3 3, unde q (x) = q 1 (q 2 (x)) este o funcție complexă, q 1 este o funcție cu exponențială, q 2 (x) = x 2 este o funcție de putere.

Aceasta arată că h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Când trecem la o expresie de forma k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), este clar că funcția este prezentată sub forma unui complex s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) cu un întreg rațional t (x) = x 2 + 1, unde s 1 este o funcție de pătrat și s 2 (x) = ln x este logaritmică cu baza e.

Rezultă că expresia va lua forma k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Atunci obținem asta

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Pe baza structurilor funcției, a devenit clar cum și ce formule trebuie utilizate pentru a simplifica expresia atunci când o diferențiază. Pentru a vă familiariza cu astfel de probleme și pentru conceptul de soluție a acestora, este necesar să trecem la punctul diferențierii unei funcții, adică găsirea derivatei acesteia.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Foarte ușor de reținut.

Ei bine, să nu mergem departe, să luăm imediat în considerare funcția inversă. Care funcție este inversul funcției exponențiale? Logaritm:

În cazul nostru, baza este numărul:

Un astfel de logaritm (adică un logaritm cu bază) se numește „natural” și folosim o notație specială pentru el: scriem în schimb.

Cu ce este egal? Desigur, .

Derivata logaritmului natural este, de asemenea, foarte simplă:

Exemple:

Aflați derivata funcției.
Care este derivata functiei?

Raspunsuri: Logaritmul exponențial și natural sunt funcții unice simple dintr-o perspectivă derivată. Funcțiile exponențiale și logaritmice cu orice altă bază vor avea o derivată diferită, pe care o vom analiza mai târziu, după ce vom parcurge regulile de diferențiere.

Reguli de diferențiere

Reguli de ce? Din nou un nou termen, din nou?!...

Diferenţiere este procesul de găsire a derivatei.

Asta e tot. Ce altceva poți numi acest proces într-un singur cuvânt? Nu derivată... Matematicienii numesc diferenţialul acelaşi increment al unei funcţii la. Acest termen provine din latinescul differentia - diferență. Aici.

Când derivăm toate aceste reguli, vom folosi două funcții, de exemplu, și. Vom avea nevoie și de formule pentru incrementele lor:

Sunt 5 reguli în total.

Constanta este scoasă din semnul derivatului.

Dacă - un număr constant (constant), atunci.

Evident, această regulă funcționează și pentru diferența: .

Să demonstrăm. Să fie, sau mai simplu.

Exemple.

Aflați derivatele funcțiilor:

la un punct;
la un punct;
la un punct;
la punct.

Solutii:

(derivata este aceeași în toate punctele, deoarece este o funcție liniară, vă amintiți?);

Derivat al produsului

Totul este similar aici: să introducem o nouă funcție și să găsim incrementul acesteia:

Derivat:

Exemple:

Aflați derivatele funcțiilor și;
Aflați derivata funcției într-un punct.

Solutii:

Derivata unei functii exponentiale

Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să găsești derivata oricărei funcții exponențiale și nu doar exponenți (ai uitat încă ce este asta?).

Deci, unde este un număr.

Știm deja derivata funcției, așa că să încercăm să ne reducem funcția la o nouă bază:

Pentru a face acest lucru, vom folosi o regulă simplă: . Apoi:

Ei bine, a funcționat. Acum încercați să găsiți derivata și nu uitați că această funcție este complexă.

S-a întâmplat?

Iată, verifică-te:

Formula s-a dovedit a fi foarte asemănătoare cu derivata unui exponent: așa cum a fost, rămâne aceeași, a apărut doar un factor, care este doar un număr, dar nu o variabilă.

Exemple:
Aflați derivatele funcțiilor:

Raspunsuri:

Acesta este doar un număr care nu poate fi calculat fără un calculator, adică nu poate fi scris într-o formă mai simplă. Prin urmare, îl lăsăm în această formă în răspuns.

Rețineți că aici este câtul a două funcții, așa că aplicăm regula de diferențiere corespunzătoare:

În acest exemplu, produsul a două funcții:

Derivată a unei funcții logaritmice

Este similar și aici: știți deja derivata logaritmului natural:

Prin urmare, pentru a găsi un logaritm arbitrar cu o bază diferită, de exemplu:

Trebuie să reducem acest logaritm la bază. Cum schimbi baza unui logaritm? Sper să vă amintiți această formulă:

Abia acum vom scrie în schimb:

Numitorul este pur și simplu o constantă (un număr constant, fără o variabilă). Derivata se obține foarte simplu:

Derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice nu se găsesc aproape niciodată în examenul de stat unificat, dar nu va fi de prisos să le cunoaștem.

Derivată a unei funcții complexe.

Ce este o „funcție complexă”? Nu, acesta nu este un logaritm și nu o arctangentă. Aceste funcții pot fi greu de înțeles (deși dacă ți se pare dificil logaritmul, citește subiectul „Logaritmi” și vei fi bine), dar din punct de vedere matematic, cuvântul „complex” nu înseamnă „dificil”.

Imaginați-vă o bandă rulantă mică: două persoane stau și fac niște acțiuni cu unele obiecte. De exemplu, primul învelește un baton de ciocolată într-un ambalaj, iar al doilea îl leagă cu o panglică. Rezultatul este un obiect compozit: un baton de ciocolată înfășurat și legat cu o panglică. Pentru a mânca un baton de ciocolată, trebuie să faceți pașii inversi în ordine inversă.

Să creăm o conductă matematică similară: mai întâi vom găsi cosinusul unui număr, apoi vom pătrat numărul rezultat. Așadar, ni se dă un număr (ciocolată), îi găsesc cosinus (înveliș), iar apoi pătrați ceea ce am primit (legați-l cu o panglică). Ce s-a întâmplat? Funcţie. Acesta este un exemplu de funcție complexă: când, pentru a-i găsi valoarea, executăm prima acțiune direct cu variabila, iar apoi o a doua acțiune cu ceea ce a rezultat din prima.

Cu alte cuvinte, o funcție complexă este o funcție al cărei argument este o altă funcție: .

Pentru exemplul nostru, .

Putem face cu ușurință aceiași pași în ordine inversă: mai întâi îl pătrați, iar apoi caut cosinusul numărului rezultat: . Este ușor de ghicit că rezultatul va fi aproape întotdeauna diferit. O caracteristică importantă a funcțiilor complexe: atunci când ordinea acțiunilor se schimbă, funcția se schimbă.

Al doilea exemplu: (același lucru). .

Acțiunea pe care o facem ultima va fi numită funcția „externă”., iar acțiunea efectuată prima - în consecință funcția „internă”.(acestea sunt nume informale, le folosesc doar pentru a explica materialul într-un limbaj simplu).

Încercați să determinați singur ce funcție este externă și care este internă:

Raspunsuri: Separarea funcțiilor interioare și exterioare este foarte asemănătoare cu schimbarea variabilelor: de exemplu, într-o funcție

Ce acțiune vom efectua mai întâi? Mai întâi, să calculăm sinusul și abia apoi să-l cubăm. Aceasta înseamnă că este o funcție internă, dar una externă.
Iar funcția inițială este compoziția lor: .
Intern: ; extern: .
Examinare: .
Intern: ; extern: .
Examinare: .
Intern: ; extern: .
Examinare: .
Intern: ; extern: .
Examinare: .

Schimbăm variabilele și obținem o funcție.

Ei bine, acum ne vom extrage batonul de ciocolată și vom căuta derivatul. Procedura este întotdeauna inversată: mai întâi căutăm derivata funcției exterioare, apoi înmulțim rezultatul cu derivata funcției interioare. În raport cu exemplul original, arată astfel:

Alt exemplu:

Deci, să formulăm în sfârșit regula oficială:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Pare simplu, nu?

Să verificăm cu exemple:

Solutii:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Nu încercați să o tăiați până acum! Nu iese nimic de sub cosinus, vă amintiți?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Este imediat clar că aceasta este o funcție complexă pe trei niveluri: la urma urmei, aceasta este deja o funcție complexă în sine și extragem și rădăcina din ea, adică efectuăm a treia acțiune (punem ciocolata într-un ambalaj iar cu o panglică în servietă). Dar nu există niciun motiv să ne fie frică: vom „despacheta” această funcție în aceeași ordine ca de obicei: de la sfârșit.

Adică mai întâi diferențiem rădăcina, apoi cosinusul și abia apoi expresia dintre paranteze. Și apoi înmulțim totul.

În astfel de cazuri, este convenabil să numerotați acțiunile. Adică să ne imaginăm ce știm. În ce ordine vom efectua acțiuni pentru a calcula valoarea acestei expresii? Să ne uităm la un exemplu:

Cu cât acțiunea este efectuată mai târziu, cu atât funcția corespunzătoare va fi mai „externă”. Secvența acțiunilor este aceeași ca înainte:

Aici cuibărirea este în general pe 4 niveluri. Să stabilim cursul acțiunii.

1. Exprimarea radicală. .

2. Rădăcină. .

3. Sine. .

4. Pătrat. .

5. Punând totul împreună:

DERIVAT. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Derivată a unei funcții- raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului pentru o creștere infinitezimală a argumentului:

Derivate de bază:

Reguli de diferentiere:

Constanta este scoasă din semnul derivat:

Derivată a sumei:

Derivatul produsului:

Derivată a coeficientului:

Derivata unei functii complexe:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Definim funcția „internă” și găsim derivata ei.
Definim funcția „externă” și găsim derivata ei.
Înmulțim rezultatele primului și celui de-al doilea punct.

Pe care am examinat cele mai simple derivate și, de asemenea, ne-am familiarizat cu regulile de diferențiere și unele tehnici tehnice de găsire a derivatelor. Astfel, dacă nu ești foarte bun cu derivatele de funcții sau unele puncte din acest articol nu sunt complet clare, atunci citește mai întâi lecția de mai sus. Vă rugăm să aveți o dispoziție serioasă - materialul nu este simplu, dar voi încerca totuși să îl prezint simplu și clar.

În practică, trebuie să te ocupi foarte des de derivata unei funcții complexe, chiar aș spune, aproape întotdeauna, atunci când ți se dau sarcini să găsești derivate.

Ne uităm la tabelul la regula (nr. 5) pentru diferențierea unei funcții complexe:

Să ne dăm seama. În primul rând, să fim atenți la intrare. Aici avem două funcții - și , iar funcția, la figurat vorbind, este imbricată în funcția . O funcție de acest tip (când o funcție este imbricată în alta) se numește funcție complexă.

Voi apela funcția functie externa, și funcția – funcție internă (sau imbricată)..

! Aceste definiții nu sunt teoretice și nu ar trebui să apară în proiectarea finală a sarcinilor. Folosesc expresii informale „funcție externă”, funcție „internă” doar pentru a vă facilita înțelegerea materialului.

Pentru a clarifica situația, luați în considerare:

Exemplul 1

Aflați derivata unei funcții

Sub sinus avem nu doar litera „X”, ci o expresie întreagă, așa că găsirea derivatei imediat din tabel nu va funcționa. De asemenea, observăm că este imposibil să se aplice primele patru reguli aici, pare să existe o diferență, dar adevărul este că sinusul nu poate fi „sfâșiat în bucăți”:

În acest exemplu, este deja intuitiv clar din explicațiile mele că o funcție este o funcție complexă, iar polinomul este o funcție internă (încorporare) și o funcție externă.

Primul pas ceea ce trebuie să faceți când găsiți derivata unei funcții complexe este să înțelegeți ce funcție este internă și care este externă.

Când exemple simple Pare clar că un polinom este încorporat sub sinus. Dar dacă totul nu este evident? Cum să determinați cu exactitate ce funcție este externă și care este internă? Pentru a face acest lucru, vă sugerez să folosiți următoarea tehnică, care poate fi făcută mental sau în schiță.

Să ne imaginăm că trebuie să calculăm valoarea expresiei la pe un calculator (în loc de unul poate fi orice număr).

Ce vom calcula mai întâi? În primul rând va trebui să efectuați următoarea acțiune: , prin urmare polinomul va fi o funcție internă:

În al doilea rând va trebui găsit, deci sine – va fi o funcție externă:

După ce noi VÂNDUT cu funcții interne și externe, este timpul să aplicăm regula de diferențiere a funcțiilor complexe .

Să începem să decidem. De la lecție Cum să găsesc derivatul? ne amintim că proiectarea unei soluții la orice derivat începe întotdeauna astfel - încadrăm expresia între paranteze și punem o contur în dreapta sus:

La început găsim derivata funcției externe (sinus), ne uităm la tabelul derivatelor funcțiilor elementare și observăm că . Toate formulele de tabel sunt de asemenea aplicabile dacă „x” este înlocuit cu o expresie complexă, în acest caz:

Vă rugăm să rețineți că funcția interioară nu s-a schimbat, nu o atingem.

Ei bine, este destul de evident că

Rezultatul aplicării formulei în forma sa finală arată astfel:

Factorul constant este de obicei plasat la începutul expresiei:

Dacă există vreo neînțelegere, notează soluția pe hârtie și citește din nou explicațiile.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Ca întotdeauna, notăm:

Să ne dăm seama unde avem o funcție externă și unde avem una internă. Pentru a face acest lucru, încercăm (mental sau într-o schiță) să calculăm valoarea expresiei la . Ce ar trebui să faci mai întâi? În primul rând, trebuie să calculați cu ce este egală baza: prin urmare, polinomul este funcția internă:

Și numai atunci se realizează exponențiarea, prin urmare, funcția de putere este o funcție externă:

Conform formulei , mai întâi trebuie să găsiți derivata funcției externe, în acest caz, gradul. Căutăm formula necesară în tabel: . Repetăm din nou: orice formulă tabelară este valabilă nu numai pentru „X”, ci și pentru o expresie complexă. Astfel, rezultatul aplicării regulii de diferențiere a unei funcții complexe Următorul:

Subliniez din nou că atunci când luăm derivata funcției externe, funcția noastră internă nu se schimbă:

Acum tot ce rămâne este să găsiți o derivată foarte simplă a funcției interne și să modificați puțin rezultatul:

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției).

Pentru a vă consolida înțelegerea derivatului unei funcții complexe, voi da un exemplu fără comentarii, încercați să vă dați seama singur, motivul unde este funcția externă și unde este funcția internă, de ce sarcinile sunt rezolvate astfel?

Exemplul 5

a) Aflați derivata funcției

b) Aflați derivata funcției

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Aici avem o rădăcină, iar pentru a diferenția rădăcina, aceasta trebuie reprezentată ca putere. Astfel, mai întâi aducem funcția în forma adecvată pentru diferențiere:

Analizând funcția, ajungem la concluzia că suma celor trei termeni este o funcție internă, iar ridicarea la putere este o funcție externă. Aplicam regula de diferentiere a functiilor complexe :

Reprezentăm din nou gradul ca un radical (rădăcină), iar pentru derivata funcției interne aplicăm o regulă simplă de diferențiere a sumei:

Gata. De asemenea, puteți reduce expresia la un numitor comun între paranteze și scrieți totul ca o fracție. Este frumos, desigur, dar atunci când obțineți derivate lungi greoaie, este mai bine să nu faceți acest lucru (este ușor să vă confundați, să faceți o greșeală inutilă și profesorul va fi incomod să verifice).

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției).

Este interesant de observat că uneori, în loc de regula de diferențiere a unei funcții complexe, puteți folosi regula de diferențiere a unui coeficient. , dar o astfel de soluție va arăta ca o perversiune neobișnuită. Aici exemplu tipic:

Exemplul 8

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți folosi regula de diferențiere a coeficientului , dar este mult mai profitabil să găsim derivata prin regula de diferențiere a unei funcții complexe:

Pregătim funcția pentru diferențiere - mutăm minusul din semnul derivat și ridicăm cosinusul la numărător:

Cosinusul este o funcție internă, exponențiația este o funcție externă.
Să folosim regula noastră :

Găsim derivata funcției interne și resetăm cosinusul înapoi:

Gata. În exemplul luat în considerare, este important să nu vă confundați în semne. Apropo, încercați să o rezolvați folosind regula , răspunsurile trebuie să se potrivească.

Exemplul 9

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției).

Până acum am analizat cazurile în care am avut doar un cuib într-o funcție complexă. În sarcinile practice, puteți găsi adesea derivate, în care, cum ar fi păpușile de cuibărit, una în cealaltă, 3 sau chiar 4-5 funcții sunt imbricate deodată.

Exemplul 10

Aflați derivata unei funcții

Să înțelegem atașamentele acestei funcții. Să încercăm să calculăm expresia folosind valoarea experimentală. Cum am conta pe un calculator?

Mai întâi trebuie să găsiți , ceea ce înseamnă că arcsinusul este cea mai adâncă încorporare:

Acest arcsinus al lui unu ar trebui apoi să fie pătrat:

Și, în sfârșit, ridicăm șapte la o putere:

Adică, în acest exemplu avem trei funcții diferite și două înglobări, în timp ce funcția cea mai interioară este arcsinus, iar funcția cea mai exterioară este funcția exponențială.

Să începem să decidem

Conform regulii Mai întâi trebuie să luați derivata funcției exterioare. Ne uităm la tabelul derivatelor și găsim derivata funcției exponențiale: Singura diferență este că în loc de „x” avem o expresie complexă, care nu anulează validitatea acestei formule. Deci, rezultatul aplicării regulii de diferențiere a unei funcții complexe Următorul.