Ţiglă

Cazuri posibile de localizare a unei linii drepte și a unui plan. Poziția relativă a unei drepte și a unui plan. Metode de definire a unui plan

Element de la distanță.

element la distanță.

a) nu au puncte comune;

Teorema.

Desemnarea tăierilor

GOST 2.305-2008 prevede următoarele cerințe pentru desemnarea unei secțiuni:

1. Poziția planului de tăiere este indicată în desen printr-o linie de secțiune.

2. Pentru linia de secțiune trebuie utilizată o linie deschisă (grosime de la S la 1,5S, lungimea liniei 8-20 mm).

3. In cazul unei taieri complexe se fac si curse la intersectia planurilor de taiere intre ele.

4. Săgețile trebuie plasate pe cursa inițială și finală, indicând direcția de vedere, săgețile trebuie plasate la o distanță de 2-3 mm de capătul exterior al cursei.

5. Dimensiunile săgeților trebuie să corespundă cu cele prezentate în Figura 14.

6. Cursurile de început și de sfârșit nu trebuie să intersecteze conturul imaginii corespunzătoare.

7. La începutul și sfârșitul liniei de secțiune și, dacă este necesar, la intersecția planurilor de tăiere, plasați aceeași literă majusculă a alfabetului rus. Literele sunt plasate lângă săgețile care indică direcția de vedere și la punctele de intersecție din lateral colț exterior(Figura 24).

Figura 24 - Exemple de desemnare a secțiunii

8. Tăierea trebuie să fie marcată cu o inscripție ca „AA” (întotdeauna două litere separate printr-o liniuță).

9. Când planul secant coincide cu planul de simetrie al obiectului în ansamblu, iar imaginile corespunzătoare sunt amplasate pe aceeași foaie în legătură directă de proiecție și nu sunt separate de alte imagini, pentru secțiunile orizontale, frontale și de profil, poziția planului secant nu este notă, iar incizia nu este însoțită de o inscripție.

10. Tăieturile frontale și de profil, de regulă, au o poziție corespunzătoare celei acceptate pentru a acestui subiectîn imaginea principală a desenului.

11. Secțiunile orizontale, frontale și de profil pot fi amplasate în locul vederilor principale corespunzătoare.

12. Este permisă plasarea secțiunii oriunde în câmpul de desen, precum și cu o rotație cu adăugarea unei denumiri grafice convenționale - pictograma „Rotată” (Figura 25).

Figura 25 - Simbol grafic – pictograma „Rotată”.

Denumirea secțiunilor este similară desemnarea tăieturilor și constă din urme ale unui plan secant și o săgeată care indică direcția de vedere, precum și o literă plasată cu exterior săgeți (Figura 1c, Figura 3). Secțiunea offset nu este etichetată și planul de tăiere nu este afișat dacă linia de secțiune coincide cu axa de simetrie a secțiunii, iar secțiunea în sine este situată pe continuarea urmei planului de tăiere sau într-un spațiu între părți ale priveliștea. Pentru o secțiune suprapusă simetrică, nici planul de tăiere nu este afișat. Dacă secțiunea este asimetrică și este situată într-un gol sau este suprapusă (Figura 2 b), linia de secțiune este trasată cu săgeți, dar nu este marcată cu litere.

Secțiunea poate fi poziționată cu o rotație, furnizând inscripția de deasupra secțiunii cu cuvântul „rotate”. Pentru mai multe secțiuni identice legate de un obiect, liniile de secțiune sunt desemnate cu aceeași literă și este trasată o secțiune. În cazurile în care secțiunea se dovedește a fi formată din părți separate, ar trebui să fie utilizate tăieturi.

Drept pozitia generala

O linie dreaptă în poziție generală (Fig. 2.2) este o linie dreaptă care nu este paralelă cu niciunul dintre planurile de proiecție date. Orice segment al unei astfel de linii drepte este proiectat distorsionat într-un sistem dat de planuri de proiecție. Unghiurile de înclinare ale acestei linii drepte față de planurile de proiecție sunt de asemenea proiectate distorsionat.

Orez. 2.2.

Proviziuni private directe
Liniile cu o anumită poziție includ linii paralele cu unul sau două planuri de proiecție.
Orice linie (dreaptă sau curbă) paralelă cu planul de proiecție se numește linie de nivel. În grafica de inginerie, există trei linii principale de nivel: linii orizontale, frontale și de profil.

Orez. 2.3-a

Orizontală este orice linie paralelă cu planul orizontal al proiecțiilor (Fig. 2.3-a). Proiecția frontală a orizontalei este întotdeauna perpendiculară pe liniile de comunicare. Orice segment orizontal din planul de proiecție orizontal este proiectat la dimensiunea sa reală. Mărimea adevărată este proiectată pe acest plan și unghiul de înclinare al orizontalei (linia dreaptă) față de planul frontal al proiecțiilor. Ca exemplu, Fig. 2.3-a prezintă o imagine vizuală și un desen cuprinzător orizontal h, înclinat spre plan P 2 în unghi b .
Orez. 2.3-b

Frontalul este linia paralelă cu planul frontal al proiecțiilor (Fig. 2.3-b). Proiecția orizontală a frontului este întotdeauna perpendiculară pe liniile de comunicație. Orice segment al frontalului pe planul frontal al proiecțiilor este proiectat la dimensiunea reală. Mărimea adevărată este proiectată pe acest plan și unghiul de înclinare al frontalului (linia dreaptă) față de planul orizontal al proiecțiilor (unghiul o).
Orez. 2.3-v

O linie de profil este o linie paralelă cu planul de profil al proiecțiilor (Fig. 2.3-c). Proiecțiile orizontale și frontale ale liniei de profil sunt paralele cu liniile de legătură ale acestor proiecții. Orice segment al unei linii de profil (linie dreaptă) este proiectat pe planul profilului la dimensiunea sa reală. Unghiurile de înclinare ale dreptei profilului față de planurile de proiecție sunt proiectate pe același plan în mărime adevărată. P 1 și P 2. Când specificați o linie de profil într-un desen complex, trebuie să specificați două puncte ale acestei linii.

Liniile de nivel paralele cu două planuri de proiecție vor fi perpendiculare pe cel de-al treilea plan de proiecție. Astfel de linii se numesc linii proiectante. Există trei linii de proiecție principale: linii de proiecție orizontale, frontale și de profil.
Orez. 2,3-g Orez. 2.3-d Orez. 2.3rd

O linie dreaptă care se proiectează orizontal (Fig. 2.3-d) este o linie dreaptă perpendiculară pe plan P 1. Orice segment al acestei linii este proiectat pe plan P P 1 - la obiect.

Linia dreaptă care se proiectează frontal (Fig. 2.H-e) se numește dreptă perpendiculară pe plan P 2. Orice segment al acestei linii este proiectat pe plan P 1 fără distorsiuni, dar în plan P 2 - la obiect.

O linie dreaptă proiectată de profil (Fig. 2.3-f) este o linie dreaptă perpendiculară pe plan P 3, adică linie dreaptă paralelă cu planurile de proiecție P 1 și P 2. Orice segment al acestei linii este proiectat pe plan P 1 și P 2 fără distorsiuni, dar în avion P 3 - la obiect.

Liniile principale din avion

Printre liniile drepte aparținând planului, un loc special este ocupat de liniile drepte care ocupă o anumită poziție în spațiu:

1. Orizontale h - drepte situate într-un plan dat și paralele cu planul orizontal al proiecțiilor (h//P1) (Fig. 6.4).

Figura 6.4 Orizontală

2. Fronturi f - linii drepte, situate în plan și paralele cu planul frontal al proiecțiilor (f//P2) (Fig. 6.5).

Figura 6.5 Față

3. Drepte de profil p - drepte care se află într-un plan dat și paralele cu planul de profil al proiecțiilor (p//P3) (Fig. 6.6). Trebuie menționat că urmele avionului pot fi atribuite și liniilor principale. Urma orizontala este orizontala planului, frontala este frontala si profilul este linia de profil a planului.

Figura 6.6 Profil drept

4. Linia celei mai mari pante și proiecția ei orizontală formează un unghi liniar j, care măsoară unghiul diedru format de acest plan și planul orizontal al proiecțiilor (Fig. 6.7). Evident, dacă o dreaptă nu are două puncte comune cu un plan, atunci ea fie este paralelă cu planul, fie îl intersectează.

Figura 6.7 Linia de cea mai mare pantă

Metoda cinematică de formare a suprafeței. Specificarea unei suprafețe într-un desen.

În grafica de inginerie, o suprafață este considerată ca un set de poziții succesive ale unei linii care se mișcă în spațiu conform unei anumite legi. În timpul formării suprafeței, linia 1 poate rămâne neschimbată sau își poate schimba forma.
Pentru claritatea imaginii de suprafață într-un desen complex, este recomandabil să specificați legea mișcării grafic sub forma unei familii de linii (a, b, c). Legea mișcării liniei 1 poate fi specificată prin două (a și b) sau una (a) linii și condiții suplimentare care clarifică legea mișcării 1.
Linia în mișcare 1 se numește generatoare, liniile fixe a, b, c se numesc ghidaje.
Să luăm în considerare procesul de formare a suprafeței folosind exemplul prezentat în Fig. 3.1.
Aici linia dreaptă 1 este luată ca generatoare Legea mișcării generatricei este dată de ghidul a și linia dreaptă b. Aceasta înseamnă că generatorul 1 alunecă de-a lungul ghidajului a, rămânând paralel cu linia dreaptă b tot timpul.
Această metodă de formare a suprafeței se numește cinematică. Cu ajutorul lui puteți forma și seta în desen diverse suprafete. În particular, Fig. 3.1 prezintă cel mai general caz al unei suprafețe cilindrice.

Orez. 3.1.

O altă modalitate de a forma o suprafață și de a o reprezenta într-un desen este să specificați suprafața cu un set de puncte sau linii care îi aparțin. În acest caz, punctele și liniile sunt alese astfel încât să permită determinarea formei suprafeței cu un grad suficient de precizie și rezolvarea diferitelor probleme pe aceasta.
Setul de puncte sau linii care definesc o suprafață se numește cadru.
În funcție de faptul că cadrul de suprafață este definit prin puncte sau linii, cadrele sunt împărțite în punct și liniare.
Figura 3.2 prezintă un cadru de suprafață format din două familii de linii situate ortogonal a1, a2, a3, ..., an și b1, b2, b3, ..., bn.

Orez. 3.2.

Secțiuni conice.

SECȚIUNI CONICE, curbe plate care se obțin prin intersectarea unui con circular drept cu un plan care nu trece prin vârful acestuia (Fig. 1). Din punctul de vedere al geometriei analitice, o secțiune conică este locul punctelor care satisfac o ecuație de ordinul doi. Cu excepția cazurilor degenerate discutate în ultima secțiune, secțiunile conice sunt elipse, hiperbole sau parabole.

Secțiunile conice se găsesc adesea în natură și tehnologie. De exemplu, orbitele planetelor care se rotesc în jurul Soarelui au forma unor elipse. Un cerc este un caz special al unei elipse în care axa majoră este egală cu axa mică. O oglindă parabolică are proprietatea că toate razele incidente paralele cu axa ei converg într-un punct (focal). Acesta este folosit în majoritatea telescoapelor reflectorizante care folosesc oglinzi parabolice, precum și în antene radar și microfoane speciale cu reflectoare parabolice. Un fascicul de raze paralele emană dintr-o sursă de lumină plasată în focarul unui reflector parabolic. De aceea, oglinzile parabolice sunt folosite în reflectoarele de mare putere și în farurile auto. Hiperbola este un grafic al multor relații fizice importante, cum ar fi legea lui Boyle (care raportează presiunea și volumul unui gaz ideal) și legea lui Ohm, care definește curentul electric ca o funcție a rezistenței la o tensiune constantă.

ISTORIE VIMPURIE

Descoperitorul secțiunilor conice este considerat a fi Menaechmus (secolul al IV-lea î.Hr.), un elev al lui Platon și profesor al lui Alexandru cel Mare. Menaechmus a folosit o parabolă și o hiperbolă echilaterală pentru a rezolva problema dublării unui cub.

Tratate de secțiuni conice scrise de Aristaeus și Euclid la sfârșitul secolului al IV-lea. î.Hr., s-au pierdut, dar materialele din acestea au fost incluse în celebrele Secțiuni Conice ale lui Apollonius din Perga (c. 260–170 î.Hr.), care au supraviețuit până în zilele noastre. Apollonius a abandonat cerința ca planul secant al generatricei conului să fie perpendicular și, variind unghiul de înclinare a acestuia, a obținut toate secțiunile conice dintr-un singur con circular, drept sau înclinat. De asemenea, îi datorăm lui Apollonius numele moderne ale curbelor - elipsă, parabolă și hiperbolă.

În construcțiile sale, Apollonius a folosit un con circular cu două foi (ca în Fig. 1), așa că pentru prima dată a devenit clar că o hiperbolă este o curbă cu două ramuri. Din vremea lui Apollonius, secțiunile conice au fost împărțite în trei tipuri în funcție de înclinarea planului de tăiere față de generatria conului. O elipsă (Fig. 1a) se formează atunci când planul de tăiere intersectează toate generatricele conului în punctele uneia dintre cavitățile acestuia; parabola (Fig. 1, b) - când planul de tăiere este paralel cu unul dintre planurile tangente ale conului; hiperbola (Fig. 1, c) - când planul de tăiere intersectează ambele cavități ale conului.

CONSTRUCȚIA SECȚIUNILOR CONICE

Studiind secțiunile conice ca intersecții de planuri și conuri, matematicienii greci antici le considerau și ca traiectorii de puncte pe un plan. S-a constatat că o elipsă poate fi definită drept locul punctelor, suma distanțelor de la care până la două puncte date este constantă; parabolă - ca loc de puncte echidistante de un punct dat și de o dreaptă dată; hiperbola - ca loc al punctelor, diferența de distanțe de la care la două puncte date este constantă.

Aceste definiții ale secțiunilor conice ca curbe plane sugerează, de asemenea, o metodă de construire a acestora folosind un șir întins.

Elipsă.

Dacă capetele unui fir de o lungime dată sunt fixate în punctele F1 și F2 (Fig. 2), atunci curba descrisă de punctul unui creion care alunecă de-a lungul unui fir strâns întins are forma unei elipse. Punctele F1 și F2 sunt numite focusuri ale elipsei, iar segmentele V1V2 și v1v2 dintre punctele de intersecție ale elipsei cu axele de coordonate sunt axele majore și minore. Dacă punctele F1 și F2 coincid, atunci elipsa se transformă într-un cerc.

orez. 2 Puncte de suspensie

Hiperbolă.

Când se construiește o hiperbolă, punctul P, vârful unui creion, este fixat pe un fir, care alunecă liber de-a lungul șuruburilor instalate în punctele F1 și F2, așa cum se arată în Fig. 3, a. Distanțele sunt selectate astfel încât segmentul PF2 să fie mai lung decât segmentul PF1 cu o sumă fixă mai mică decât distanța F1F2. În acest caz, un capăt al firului trece pe sub știftul F1 și ambele capete ale firului trec peste știftul F2. (Vârful creionului nu trebuie să alunece de-a lungul firului, așa că trebuie să fie asigurat făcând o buclă mică pe fir și trecând punctul prin el.) Desenăm o ramură a hiperbolei (PV1Q), asigurându-ne că firul rămâne întins tot timpul și trăgând firul de ambele capete în jos dincolo de punctul F2, iar când punctul P este sub segmentul F1F2, ținând firul la ambele capete și gravând cu grijă (adică eliberându-l). Desenăm a doua ramură a hiperbolei (PўV2Qў), schimbând anterior rolurile pinii F1 și F2.

orez. 3 hiperbolă

Ramurile unei hiperbole se apropie de două linii drepte care se intersectează între ramuri. Aceste linii, numite asimptote ale hiperbolei, sunt construite așa cum se arată în Fig. 3, b. Coeficienții unghiulari ai acestor drepte sunt egali cu ± (v1v2)/(V1V2), unde v1v2 este segmentul bisectoare al unghiului dintre asimptote, perpendicular pe segmentul F1F2; segmentul v1v2 se numește axa conjugată a hiperbolei, iar segmentul V1V2 este axa transversală a acesteia. Astfel, asimptotele sunt diagonalele unui dreptunghi cu laturile care trec prin patru puncte v1, v2, V1, V2 paralele cu axele. Pentru a construi acest dreptunghi, trebuie să specificați locația punctelor v1 și v2. Sunt la aceeași distanță, egali

din punctul de intersecție al axelor O Această formulă presupune construcția unui triunghi dreptunghic cu catetele Ov1 și V2O și ipotenuza F2O.

Dacă asimptotele unei hiperbole sunt reciproc perpendiculare, atunci hiperbola se numește echilaterală. Două hiperbole care au asimptote comune, dar cu axele transversale și conjugate rearanjate, se numesc conjugate reciproc.

Parabolă.

Focarele elipsei și hiperbolei erau cunoscute de Apollonius, dar focarul parabolei a fost aparent stabilit pentru prima dată de Pappus (a doua jumătate a secolului al III-lea), care a definit această curbă ca fiind locul punctelor echidistante de un punct dat (focalizare). și o linie dreaptă dată, care se numește director. Construcția unei parabole folosind un fir întins, pe baza definiției lui Pappus, a fost propusă de Isidor de Milet (sec. VI). Să poziționăm rigla astfel încât marginea ei să coincidă cu directricea LLў (Fig. 4) și să atașăm piciorul AC al triunghiului de desen ABC la această margine. Să fixăm un capăt al firului de lungime AB la vârful B al triunghiului, iar celălalt la focarul parabolei F. După ce a tras firul cu vârful unui creion, apăsați vârful în punctul variabil P spre catetul liber AB al triunghiului desenat. Pe măsură ce triunghiul se mișcă de-a lungul riglei, punctul P va descrie arcul unei parabole cu focalizarea F și directrice LLў, deoarece lungimea totală a firului este egală cu AB, bucata de fir este adiacentă piciorului liber al triunghiului, și, prin urmare, bucata rămasă de fir PF trebuie să fie egală cu părțile rămase ale piciorului AB, adică. PA. Punctul de intersecție al lui V al parabolei cu axa se numește vârful parabolei, dreapta care trece prin F și V este axa parabolei. Dacă prin focar este trasată o linie dreaptă, perpendiculară pe axă, atunci segmentul acestei linii drepte tăiat de parabolă se numește parametru focal. Pentru o elipsă și o hiperbolă, parametrul focal este determinat în mod similar.

RĂSPUNSURI LA BILETE: Nr. 1 (nu complet), 2 (nu complet), 3 (nu complet), 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 (nu complet), 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 26,

Element de la distanță.

Când faceți desene, în unele cazuri devine necesar să construiți o imagine suplimentară separată a oricărei părți a unui obiect care necesită explicații cu privire la formă, dimensiune sau alte date. Această imagine se numește element la distanță. De obicei se realizează mărit. Detaliul poate fi aranjat ca vedere sau ca secțiune.

La construirea unui element de înștiințare, locul corespunzător al imaginii principale este marcat cu o linie subțire și solidă închisă, de obicei un oval sau un cerc, și este desemnat cu o literă majusculă a alfabetului rus pe raftul liniei de conducere. Se face o intrare de tip A (5:1) pentru elementul de la distanță. În fig. 191 prezintă un exemplu de implementare a unui element la distanță. Este plasat cât mai aproape de locul corespunzător din imaginea obiectului.

1. Metoda proiecției dreptunghiulare (ortogonale). Proprietăți invariante de bază ale proiecției dreptunghiulare. Epure Monge.

Proiecția ortogonală (dreptunghiulară) este un caz special de proiecție paralelă, când toate razele proiectate sunt perpendiculare pe planul de proiecție. Proiecțiile ortogonale au toate proprietățile proiecțiilor paralele, dar în cazul proiecției dreptunghiulare, proiecția unui segment, dacă nu este paralelă cu planul de proiecție, este întotdeauna mai mică decât segmentul în sine (Fig. 58). Acest lucru se explică prin faptul că segmentul însuși din spațiu este ipotenuza unui triunghi dreptunghic, iar proiecția sa este un catet: А "В" = ABcos a.

În cazul proiecției dreptunghiulare, un unghi drept este proiectat în dimensiune completă atunci când ambele laturi ale acestuia sunt paralele cu planul de proiecție și când numai una dintre laturile sale este paralelă cu planul de proiecție, iar a doua latură nu este perpendiculară pe acest plan de proiecție.

Poziția relativă a unei drepte și a unui plan.

O linie dreaptă și un avion în spațiu pot:

a) nu au puncte comune;
b) au exact un punct comun;
c) au cel puţin două puncte comune.

În fig. 30 descrie toate aceste posibilități.

În cazul în care a) dreapta b este paralelă cu planul: b || .

În cazul b) dreapta l intersectează planul într-un punct O; l = O.

În cazul c) dreapta a aparține planului: a sau a.

Teorema. Dacă linia b este paralelă cu cel puțin o dreaptă a aparținând planului, atunci linia este paralelă cu planul.

Să presupunem că linia m intersectează planul în punctul Q. Dacă m este perpendiculară pe fiecare dreaptă a planului care trece prin punctul Q, atunci linia m se spune că este perpendiculară pe plan.

Șinele tramvaiului ilustrează faptul că liniile drepte aparțin planului pământului. Liniile electrice sunt paralele cu planul pământului, iar trunchiurile copacilor sunt exemple de linii drepte care traversează suprafața pământului, unele perpendiculare pe planul pământului, altele neperpendiculare (oblice).

BILET 16.

Proprietățile unei piramide ale cărei unghiuri diedrice sunt egale.

A) Dacă fețele laterale ale unei piramide cu baza formează unghiuri diedrice egale, atunci toate înălțimile fețelor laterale ale piramidei sunt egale (pentru o piramidă obișnuită acestea sunt apoteme), iar vârful piramidei este proiectat în centrul unui cerc înscris în poligonul de bază.

B) O piramidă poate avea unghiuri diedrice egale la bază când un cerc poate fi înscris în poligonul bazei.

Prismă. Definiţie. Elemente. Tipuri de prisme.

prisma- este un poliedru, dintre ale cărui două fețe sunt poligoane egale situate în plane paralele, iar fețele rămase sunt paralelograme.

Se numesc fețe care sunt în planuri paralele motive prisme și fețele rămase - fetele laterale prisme.

În funcție de baza prismei există:

1) triunghiular

2) patruunghiular

3) hexagonal

O prismă cu marginile laterale perpendiculare pe bazele sale se numește prismă dreaptă.

O prismă dreaptă se numește regulată dacă bazele sale sunt poligoane regulate.

BILET 17.

Proprietatea diagonalelor unui paralelipiped dreptunghiular.

Toate cele patru diagonale se intersectează într-un punct și bisectează acolo.

Într-un paralelipiped dreptunghiular, toate diagonalele sunt egale.

Într-un paralelipiped dreptunghic, pătratul oricărei diagonale este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale.

Desenând diagonala bazei AC, obținem triunghiuri AC 1 C și ACB. Ambele sunt dreptunghiulare: prima deoarece paralelipipedul este drept și, prin urmare, muchia CC 1 este perpendiculară pe bază; al doilea deoarece paralelipipedul este dreptunghiular și, prin urmare, un dreptunghi se află la baza lui. Din aceste triunghiuri găsim:

AC 1 2 = AC 2 + CC 1 2 și AC 2 = AB 2 + BC 2

Prin urmare, AC 1 2 = AB 2 + BC 2 + CC 1 2 = AB 2 + AD 2 + AA 1 2.

Cazuri de aranjare reciprocă a două planuri.

PROPRIETATE 1:

Liniile de intersecție a două plane paralele cu un al treilea plan sunt paralele.

PROPRIETATE 2:

Segmentele de linii paralele închise între două plane paralele au lungime egală.

PROPRIETATE 3

Prin fiecare punct din spațiu care nu se află într-un plan dat, este posibil să se deseneze un plan paralel cu acest plan și, în plus, doar unul.

BILET 18.

Proprietatea fețelor opuse ale unui paralelipiped.

Fețele opuse ale unui paralelipiped sunt paralele și egale.

De exemplu , planele paralelogramelor AA 1 B 1 B și DD 1 C 1 C sunt paralele, întrucât dreptele care se intersectează AB și AA 1 ale planului AA 1 B 1 sunt paralele cu cele două drepte care se intersectează DC și DD 1 ale planului DD 1 C 1. Paralelogramele AA 1 B 1 B și DD 1 C 1 C sunt egale (adică pot fi combinate prin suprapunere), deoarece laturile AB și DC, AA 1 și DD 1 sunt egale, iar unghiurile A 1 AB și D 1 DC sunt egale.

Suprafețele unei prisme, piramide, piramide regulate.

Piramida corectă: Sfull. =3SASB+Sbas.

Articolul vorbește despre conceptul de linie dreaptă pe un plan. Să ne uităm la termenii de bază și denumirile lor. Să lucrăm cu poziția relativă a unei drepte și a unui punct și a două drepte pe un plan. Să vorbim despre axiome. În cele din urmă, vom discuta metode și metode pentru definirea unei drepte pe un plan.

Linie dreaptă pe un plan - concept

Mai întâi trebuie să înțelegeți clar ce este un avion. Orice suprafață a ceva poate fi clasificată ca un plan, doar că diferă de obiecte prin nemărginirea sa. Dacă ne imaginăm că avionul este o masă, atunci în cazul nostru nu va avea limite, ci va fi infinit de imens.

Dacă atingeți masa cu un creion, va rămâne un semn, care poate fi numit „punct”. Astfel, ne facem o idee despre un punct din avion.

Să luăm în considerare conceptul de linie dreaptă pe un plan. Dacă desenați o linie dreaptă pe o foaie, aceasta va apărea pe ea cu o lungime limitată. Nu am primit toată linia dreaptă, ci doar o parte din ea, deoarece de fapt nu are un capăt, ca un avion. Prin urmare, imaginea liniilor drepte și a planurilor din caiet este formală.

Avem o axiomă:

Definiția 1

Punctele pot fi marcate pe fiecare linie dreaptă și în fiecare plan.

Punctele sunt desemnate atât cu litere mari, cât și cu litere mici latine. De exemplu, A și D sau a și d.

Pentru un punct și o dreaptă se cunosc doar două locații posibile: un punct pe o dreaptă, cu alte cuvinte, că linia trece prin el, sau un punct care nu este pe o dreaptă, adică linia nu trece prin el.

Pentru a indica dacă un punct aparține unui plan sau un punct unei linii, folosiți semnul „∈”. Dacă este dată condiția ca punctul A să se afle pe dreapta a, atunci acesta are următoarea formă de scriere A ∈ a. În cazul în care punctul A nu aparține, atunci o altă intrare A ∉ a.

Judecata corecta:

Definiția 2

Prin oricare două puncte situate în orice plan, există o singură linie dreaptă care trece prin ele.

Această afirmație este considerată un akizom și, prin urmare, nu necesită dovezi. Dacă te uiți singur la asta, poți vedea că cu două puncte existente există o singură opțiune pentru conectarea lor. Dacă avem două puncte date A și B, atunci linia care trece prin ele poate fi numită prin aceste litere, de exemplu, linia A B. Luați în considerare figura de mai jos.

O linie dreaptă situată pe un plan are un număr mare de puncte. De aici provine axioma:

Definiția 3

Dacă două puncte ale unei linii se află într-un plan, atunci toate celelalte puncte ale acestei linii aparțin planului.

Se numește mulțimea de puncte situate între două puncte date un segment drept. Are un început și un sfârșit. A fost introdusă o desemnare din două litere.

Dacă se dă că punctele A și P sunt capetele unui segment, atunci desemnarea acestuia va lua forma P A sau A P. Deoarece desemnările unui segment și ale unei linii coincid, se recomandă adăugarea sau terminarea cuvintelor „segment”. ”, „linie dreaptă”.

O notație scurtă pentru apartenență implică utilizarea semnelor ∈ și ∉. Pentru a fixa locația unui segment în raport cu o linie dată, utilizați ⊂. Dacă condiția spune că segmentul A P aparține dreptei b, atunci intrarea va arăta astfel: A P ⊂ b.

Apare cazul în care trei puncte aparțin simultan unei linii. Acest lucru este adevărat atunci când un punct se află între alți doi. Această afirmație este considerată a fi o axiomă. Dacă sunt date punctele A, B, C, care aparțin aceleiași drepte, iar punctul B se află între A și C, rezultă că toate punctele date se află pe aceeași dreaptă, deoarece se află de ambele părți ale punctului B.

Un punct împarte o dreaptă în două părți, numite raze. Avem o axiomă:

Definiția 4

Orice punct O situat pe o linie dreaptă îl împarte în două raze, cu oricare două puncte ale unei raze situate pe o parte a razei în raport cu punctul O, iar altele pe cealaltă parte a razei.

Dispunerea liniilor drepte pe un plan poate lua forma a două stări.

Definiția 5

coincide.

Această oportunitate apare atunci când liniile drepte au puncte comune. Pe baza axiomei scrise mai sus, avem că o dreaptă trece prin două puncte și doar unul. Aceasta înseamnă că atunci când 2 drepte trec prin 2 puncte date, ele coincid.

Definiția 6

Două linii drepte pe un avion pot cruce.

Acest caz arată că există un punct comun, care se numește intersecția liniilor. Intersecția este notată prin semnul ∩. Dacă există o formă de notație a ∩ b = M, atunci rezultă că dreptele date a și b se intersectează în punctul M.

Când liniile drepte se intersectează, ne ocupăm de unghiul rezultat. Secțiunea în care liniile drepte se intersectează pe un plan pentru a forma un unghi de 90 de grade este supusă unei analize separate, adică unghi drept. Apoi liniile se numesc perpendiculare Forma de a scrie două drepte perpendiculare este următoarea: a ⊥ b, ceea ce înseamnă că linia a este perpendiculară pe dreapta b.

Definiția 7

Două linii drepte pe un plan pot fi paralel.

Numai dacă două drepte date nu au intersecții comune și, prin urmare, nu au puncte, sunt paralele. Se folosește o notație care poate fi scrisă pentru un paralelism dat al dreptelor a și b: a ∥ b.

O linie dreaptă pe un plan este considerată împreună cu vectorii. O importanță deosebită este acordată vectorilor zero care se află pe o linie dată sau pe oricare dintre liniile paralele se numesc vectori de direcție ai unei linii. Luați în considerare figura de mai jos.

Vectorii non-nuli localizați pe linii perpendiculare pe una dată sunt altfel numiți vectori linii normali. Există o descriere detaliată în articol a vectorului normal al unei linii pe un plan. Luați în considerare figura de mai jos.

Dacă există 3 linii într-un avion, locația lor poate fi foarte diferită. Există mai multe opțiuni pentru locația lor: intersecția tuturor, paralelismul sau prezența diferitelor puncte de intersecție. Figura arată intersecția perpendiculară a două drepte în raport cu una.

Pentru a face acest lucru, prezentăm factorii necesari care dovedesc poziția lor relativă:

dacă două drepte sunt paralele cu o a treia, atunci toate sunt paralele;
dacă două drepte sunt perpendiculare pe o treime, atunci aceste două drepte sunt paralele;
Dacă într-un plan o dreaptă intersectează o dreaptă paralelă, atunci ea va intersecta și alta.

Să ne uităm la asta în imagini.

O linie dreaptă pe un plan poate fi specificată în mai multe moduri. Totul depinde de condițiile problemei și de pe ce se va baza soluția acesteia. Aceste cunoștințe pot ajuta la aranjarea practică a liniilor drepte.

Definiția 8

Linia dreaptă este definită folosind cele două puncte specificate situate în plan.

Din axioma considerată rezultă că prin două puncte se poate trasa o linie dreaptă și, în plus, doar una singură. Când un sistem de coordonate dreptunghiular specifică coordonatele a două puncte divergente, atunci este posibil să se fixeze ecuația unei drepte care trece prin cele două puncte date. Luați în considerare un desen în care avem o linie dreaptă care trece prin două puncte.

Definiția 9

O linie dreaptă poate fi definită printr-un punct și linia cu care este paralelă.

Această metodă există deoarece printr-un punct se poate trasa o dreaptă paralelă cu una dată, și numai una. Dovada este deja cunoscută dintr-un curs școlar de geometrie.

Dacă o dreaptă este dată în raport cu un sistem de coordonate carteziene, atunci este posibil să se construiască o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct dat paralel cu o dreaptă dată. Să luăm în considerare principiul definirii unei drepte pe un plan.

Definiția 10

Linia dreaptă este specificată prin punctul specificat și prin vectorul direcție.

Când o linie dreaptă este specificată într-un sistem de coordonate dreptunghiular, este posibil să se compună ecuații canonice și parametrice pe plan. Să considerăm în figură locația dreptei în prezența unui vector de direcție.

Al patrulea punct în specificarea unei linii drepte are sens atunci când sunt indicate punctul prin care ar trebui să fie trasată și linia dreaptă perpendiculară pe aceasta. Din axiomă avem:

Definiția 11

Printr-un punct dat situat pe un plan va trece o singură dreaptă, perpendiculară pe cea dată.

Iar ultimul punct legat de specificarea unei linii pe un plan este dat de punctul specificat prin care trece linia și în prezența unui vector normal al dreptei. Având în vedere coordonatele cunoscute ale unui punct situat pe o dreaptă dată și coordonatele vectorului normal, este posibil să se scrie ecuația generală a dreptei.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

În planimetrie, avionul este una dintre figurile principale, prin urmare, este foarte important să aveți o înțelegere clară a acestuia. Acest articol a fost creat pentru a acoperi acest subiect. În primul rând, este dat conceptul de plan, reprezentarea sa grafică și sunt prezentate denumirile planurilor. În continuare, planul este considerat împreună cu un punct, o linie dreaptă sau un alt plan, iar opțiunile apar din poziția relativă în spațiu. În al doilea și al treilea și al patrulea paragraf ale articolului sunt analizate toate opțiunile pentru poziția relativă a două plane, o linie dreaptă și un plan, precum și punctele și planurile, sunt date axiomele de bază și ilustrațiile grafice. În concluzie, sunt date principalele metode de definire a unui plan în spațiu.

Navigare în pagină.

Avion - concepte de bază, simboluri și imagini.

Cel mai simplu și de bază forme geometriceîn spațiul tridimensional există un punct, o dreaptă și un plan. Avem deja o idee despre un punct și o linie pe un plan. Dacă plasăm un plan pe care punctele și liniile sunt reprezentate în spațiul tridimensional, atunci obținem puncte și linii în spațiu. Ideea unui avion în spațiu ne permite să obținem, de exemplu, suprafața unei mese sau a unui perete. Cu toate acestea, o masă sau un perete are dimensiuni finite, iar planul se extinde dincolo de granițele sale până la infinit.

Punctele și liniile din spațiu sunt desemnate în același mod ca pe un plan - cu litere mari și, respectiv, mici latine. De exemplu, punctele A și Q, liniile a și d. Dacă sunt date două puncte situate pe o linie, atunci linia poate fi notată cu două litere corespunzătoare acestor puncte. De exemplu, dreapta AB sau BA trece prin punctele A și B. Avioanele sunt de obicei notate cu litere grecești mici, de exemplu, avioane sau.

Când rezolvați probleme, devine necesar să reprezentați avioane într-un desen. Un plan este de obicei descris ca un paralelogram sau o regiune închisă simplă arbitrară.

Planul este de obicei considerat împreună cu puncte, drepte sau alte planuri și apar probleme. diverse opțiuni poziţia lor relativă. Să trecem la descrierea lor.

Poziția relativă a planului și a punctului.

Să începem cu axioma: există puncte în fiecare plan. Din aceasta urmează prima opțiune pentru poziția relativă a planului și a punctului - punctul poate aparține planului. Cu alte cuvinte, un avion poate trece printr-un punct. Pentru a indica faptul că un punct aparține unui plan, se folosește simbolul „”. De exemplu, dacă avionul trece prin punctul A, atunci puteți scrie pe scurt .

Trebuie înțeles că pe un plan dat în spațiu există infinit de puncte.

Următoarea axiomă arată câte puncte din spațiu trebuie marcate astfel încât să definească un anumit plan: prin trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă trece un plan și doar unul. Dacă sunt cunoscute trei puncte situate într-un plan, atunci planul poate fi notat cu trei litere corespunzătoare acestor puncte. De exemplu, dacă un avion trece prin punctele A, B și C, atunci poate fi desemnat ABC.

Să formulăm o altă axiomă, care dă a doua versiune a poziției relative a planului și a punctului: există cel puțin patru puncte care nu se află în același plan. Deci, un punct din spațiu poate să nu aparțină planului. Într-adevăr, în virtutea axiomei anterioare, un plan trece prin trei puncte din spațiu, iar al patrulea punct se poate afla sau nu pe acest plan. Când scrieți pe scurt, utilizați simbolul „”, care este echivalent cu expresia „nu aparține”.

De exemplu, dacă punctul A nu se află în plan, atunci utilizați notația scurtă.

Linie dreaptă și plană în spațiu.

În primul rând, o linie dreaptă poate fi situată într-un plan. În acest caz, cel puțin două puncte ale acestei linii se află în plan. Acest lucru este stabilit de axioma: dacă două puncte ale unei drepte se află într-un plan, atunci toate punctele acestei drepte se află în plan. Pentru a înregistra pe scurt apartenența unei anumite linii la un plan dat, utilizați simbolul „”. De exemplu, notația înseamnă că linia dreaptă a se află în plan.

În al doilea rând, o linie dreaptă poate intersecta un plan. În acest caz, linia dreaptă și planul au un singur punct comun, care se numește punctul de intersecție al dreptei și al planului. Când scriu pe scurt, notez intersecția cu simbolul „”. De exemplu, notația înseamnă că linia dreaptă a intersectează planul în punctul M. Când un plan intersectează o anumită dreaptă, apare conceptul de unghi între linie dreaptă și plan.

Separat, merită să vă concentrați pe o linie dreaptă care intersectează planul și este perpendiculară pe orice linie dreaptă care se află în acest plan. O astfel de dreaptă se numește perpendiculară pe plan. Pentru a înregistra pe scurt perpendicularitatea, utilizați simbolul „”. Pentru un studiu mai aprofundat al materialului, vă puteți referi la articolul perpendicularitatea unei linii drepte și a unui plan.

De o importanță deosebită la rezolvarea problemelor legate de plan este așa-numitul vector normal al planului. Un vector normal al unui plan este orice vector diferit de zero situat pe o dreaptă perpendiculară pe acest plan.

În al treilea rând, o linie dreaptă poate fi paralelă cu planul, adică poate să nu aibă puncte comune în ea. Când scrieți concurență pe scurt, utilizați simbolul „”. De exemplu, dacă linia a este paralelă cu planul, atunci putem scrie . Vă recomandăm să studiați acest caz mai detaliat, referindu-vă la articolul paralelism al unei drepte și al unui plan.

Trebuie spus că o linie dreaptă situată într-un plan împarte acest plan în două semiplane. Linia dreaptă în acest caz se numește limita semiplanurilor. Orice două puncte ale aceluiași semiplan se află pe aceeași parte a unei linii, iar două puncte din semiplanuri diferite se află pe părțile opuse ale liniei de limită.

Aranjamentul reciproc al avioanelor.

Două avioane din spațiu pot coincide. În acest caz, au cel puțin trei puncte în comun.

Două planuri din spațiu se pot intersecta. Intersecția a două plane este o dreaptă, care este stabilită prin axiomă: dacă două plane au un punct comun, atunci ele au o dreaptă comună pe care se află toate punctele comune ale acestor plane.

În acest caz, apare conceptul de unghi între planuri care se intersectează. Un interes deosebit este cazul când unghiul dintre planuri este de nouăzeci de grade. Astfel de planuri se numesc perpendiculare. Am vorbit despre ele în articolul perpendicularitatea avioanelor.

În cele din urmă, două plane din spațiu pot fi paralele, adică nu au puncte comune. Vă recomandăm să citiți articolul paralelism of planes pentru a înțelege complet această opțiune pentru aranjarea relativă a planurilor.

Metode de definire a unui plan.

Acum vom enumera principalele modalități de a defini un anumit plan în spațiu.

În primul rând, un plan poate fi definit prin fixarea a trei puncte în spațiu care nu se află pe aceeași linie dreaptă. Această metodă se bazează pe axioma: prin oricare trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă, există un singur plan.

Dacă un plan este fix și specificat în spațiul tridimensional indicând coordonatele celor trei puncte ale sale diferite care nu se află pe aceeași dreaptă, atunci putem scrie ecuația planului care trece prin cele trei puncte date.

Următoarele două metode de definire a unui plan sunt o consecință a celei anterioare. Ele se bazează pe corolare ale axiomei despre un plan care trece prin trei puncte:

un plan trece printr-o dreaptă și un punct care nu se află pe ea și doar unul (vezi și ecuația articolului a unui plan care trece printr-o dreaptă și un punct);
Există un singur plan care trece prin două drepte care se intersectează (recomandăm să citiți articolul: ecuația unui plan care trece prin două drepte care se intersectează).

A patra modalitate de a defini un plan în spațiu se bazează pe definirea liniilor paralele. Amintiți-vă că două drepte din spațiu sunt numite paralele dacă se află în același plan și nu se intersectează. Astfel, indicând două drepte paralele în spațiu, vom determina singurul plan în care se află aceste drepte.

Dacă un plan este dat în modul indicat în spațiul tridimensional în raport cu un sistem de coordonate dreptunghiular, atunci putem crea o ecuație pentru un plan care trece prin două drepte paralele.

La lecțiile de geometrie din liceu se demonstrează următoarea teoremă: printr-un punct fix în spațiu trece un singur plan perpendicular pe o dreaptă dată. Astfel, putem defini un plan dacă precizăm punctul prin care trece și o dreaptă perpendiculară pe acesta.

Dacă un sistem de coordonate dreptunghiular este fixat în spațiul tridimensional și un plan este specificat în modul indicat, atunci este posibil să se construiască o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată.

În loc de o dreaptă perpendiculară pe plan, puteți specifica unul dintre vectorii normali ai acestui plan. În acest caz, este posibil să scrieți

Direct poate aparțin avionului, fii ea paralel sau cruce avion. O linie aparține unui plan dacă două puncte aparținând dreptei și planul au aceleași cote. Corolarul care decurge din cele spuse: un punct aparține unui plan dacă aparține unei drepte situate în acest plan.

O linie este paralelă cu un plan dacă este paralelă cu o dreaptă situată în acest plan.

Linie dreaptă care intersectează un plan. Pentru a găsi punctul de intersecție al unei drepte cu un plan, este necesar (Fig. 3.28):

1) trageți un plan auxiliar printr-o dreaptă m dată T;

2) construiți o linie n intersecția unui plan dat Σ cu un plan auxiliar T;

3) marcați punctul de intersecție R, linie dreaptă dată m cu linia de intersecție n.

Luați în considerare problema (Fig. 3.29) Linia dreaptă m este definită pe plan printr-un punct A 6și un unghi de înclinare de 35°. Prin această linie este trasat un plan vertical auxiliar T, care intersectează planul Σ de-a lungul dreptei n (B 2 C 3). Astfel, se trece de la poziția relativă a unei linii drepte și a unui plan la poziția relativă a două linii drepte situate în același plan vertical. Această problemă este rezolvată prin construirea de profile ale acestor linii drepte. Intersecția liniilor mŞi n pe profil determină punctul dorit R. Cota de punct R determinată de scara verticală.

Linie dreaptă perpendiculară pe plan. O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe oricare două drepte care se intersectează ale acestui plan. Figura 3.30 prezintă o linie dreaptă m, perpendicular pe planul Σ și intersectându-l în punctul A. Pe plan, proiecția dreptei m iar planurile orizontale sunt reciproc perpendiculare (un unghi drept, a cărui latură este paralelă cu planul de proiecție, este proiectat fără distorsiuni. Ambele linii se află în același plan vertical, prin urmare pozițiile acestor linii sunt inverse ca mărime una față de cealaltă : l m = l/l u. Dar l uΣ = lΣ, atunci l m = l/lΣ, adică poziția dreptei m este invers proporțională cu poziția planului. Căderile unei linii drepte și ale unui plan sunt direcționate în direcții diferite.

3.4. Proiecții cu semne numerice. Suprafețe

3.4.1. Poliedre și suprafețe curbe. Suprafata topografica

În natură, multe substanțe au o structură cristalină sub formă de poliedre. Un poliedru este o colecție de poligoane plate care nu se află în același plan, unde fiecare parte a unuia dintre ele este și o latură a celeilalte. Când descrieți un poliedru, este suficient să indicați proiecțiile vârfurilor sale, conectându-le într-o anumită ordine cu linii drepte - proiecții ale marginilor. În acest caz, este necesar să indicați marginile vizibile și invizibile în desen. În fig. Figura 3.31 prezintă o prismă și o piramidă, precum și găsirea semnelor punctelor aparținând acestor suprafețe.

Un grup special de poligoane convexe este grupul de poligoane regulate în care toate fețele sunt poligoane regulate egale și toate unghiurile poligonale sunt egale. Există cinci tipuri de poligoane regulate.

Tetraedru- un patrulater regulat, delimitat de triunghiuri echilaterale, are 4 vârfuri şi 6 muchii (Fig. 3.32 a).

Hexaedru- hexagon regulat (cub) - 8 vârfuri, 12 muchii (Fig. 3.32b).

Octaedru- un octaedru regulat, delimitat de opt triunghiuri echilaterale - 6 vârfuri, 12 muchii (Fig. 3.32c).

Dodecaedru- un dodecaedru regulat, delimitat de douăsprezece pentagoane regulate, conectate prin trei în apropierea fiecărui vârf.

Are 20 de vârfuri și 30 de muchii (Fig. 3.32 d).

Icosaedru- un triunghi regulat cu douăzeci de laturi, delimitat de douăzeci de triunghiuri echilaterale, conectate prin cinci în apropierea fiecărui vârf de 12 vârfuri și 30 de muchii (Fig. 3.32 d).

Atunci când construiți un punct situat pe fața unui poliedru, este necesar să trasați o linie dreaptă aparținând acestei fețe și să marcați proiecția punctului pe proiecția sa.

Suprafețele conice se formează prin deplasarea unei generatoare rectilinie de-a lungul unui ghidaj curbat astfel încât în toate pozițiile generatoarea să treacă printr-un punct fix - vârful suprafeței. Suprafețe conice vedere generală pe plan sunt înfățișate ca un ghidaj orizontal și un vârf. În fig. Figura 3.33 arată locația unui semn punct pe suprafața unei suprafețe conice.

Un con circular drept este reprezentat de o serie de cercuri concentrice desenate la intervale egale (Fig. 3.34a). Con eliptic cu o bază circulară - o serie de cercuri excentrice (Fig. 3.34 b)

Suprafețe sferice. O suprafață sferică este clasificată ca suprafață de revoluție. Se formează prin rotirea unui cerc în jurul diametrului său. Pe plan, o suprafață sferică este definită de centru LAși proiecția uneia dintre liniile sale orizontale (ecuatorul sferei) (Fig. 3.35).

Suprafata topografica. O suprafață topografică este clasificată ca suprafață neregulată din punct de vedere geometric, deoarece nu are o lege geometrică de formare. Pentru a caracteriza o suprafață, determinați poziția punctelor sale caracteristice față de planul de proiecție. În fig. 3.3 b a oferă un exemplu de secțiune a unei suprafețe topografice, care arată proiecțiile punctelor sale individuale. Deși un astfel de plan face posibilă o idee despre forma suprafeței reprezentate, nu este foarte clar. Pentru a oferi desenului o mai mare claritate și, prin urmare, a face mai ușor de citit, proiecțiile punctelor cu semne identice sunt conectate prin linii curbe netede, care sunt numite orizontale (izoline) (Fig. 3.36 b).

Liniile orizontale ale unei suprafețe topografice sunt uneori definite ca liniile de intersecție ale acestei suprafețe cu planuri orizontale distanțate unul de celălalt la aceeași distanță (Fig. 3.37). Diferența de cote dintre două linii orizontale adiacente se numește înălțimea secțiunii.

Cu cât diferența de cotă dintre două linii orizontale adiacente este mai mică, cu atât imaginea unei suprafețe topografice este mai precisă. Pe planuri, liniile de contur sunt închise în interiorul desenului sau în afara acestuia. Pe pante mai abrupte, proiecțiile de suprafață ale curbelor de nivel se apropie una de cealaltă, pe pante plate, proiecțiile lor diverg.

Cea mai scurtă distanță dintre proiecțiile a două linii orizontale adiacente de pe plan se numește lay. În fig. 3.38 până la punctul O pe suprafaţa topografică sunt trasate mai multe segmente de linie dreaptă AB, ASŞi AD. Toate au unghiuri diferite de incidență. Segmentul are cel mai mare unghi de incidență AC, a cărui locație are o importanță minimă. Prin urmare, va fi o proiecție a liniei de incidență a suprafeței într-o locație dată.

În fig. 3.39 prezintă un exemplu de construire a unei proiecții a dreptei de incidență printr-un punct dat O. Din punct de vedere A 100, ca din centru, desenați un arc de cerc atingând cea mai apropiată linie orizontală în punct La 90. Punct La 90 de ani, orizontală h 90, va aparține liniei de toamnă. Din punct de vedere La 90 trageți un arc tangent la următoarea linie orizontală în punctul respectiv De la 80, etc. Din desen reiese clar că linia de incidență a suprafeței topografice este o linie întreruptă, fiecare legătură a cărei legătură este perpendiculară pe orizontală, trecând prin capătul inferior al verigii, care are o cotă mai mică.

3.4.2.Intersecția unei suprafețe conice cu un plan

Dacă un plan de tăiere trece prin vârful unei suprafețe conice, atunci îl intersectează de-a lungul liniilor drepte care formează suprafața. În toate celelalte cazuri, linia de secțiune va fi o curbă plată: un cerc, o elipsă etc. Să luăm în considerare cazul unei suprafețe conice care intersectează un plan.

Exemplul 1. Construiți proiecția dreptei de intersecție a unui con circular Φ( h o , S 5) cu un plan Ω paralel cu generatria suprafeţei conice.

O suprafață conică cu o locație plană dată se intersectează de-a lungul unei parabole. După ce am interpolat generatorul t construim linii orizontale ale unui con circular - cercuri concentrice cu centru S 5. Apoi determinăm punctele de intersecție ale acelorași orizontale ale planului și conului (Fig. 3.40).

3.4.3. Intersecția unei suprafețe topografice cu un plan și o dreaptă

Cazul intersectării unei suprafețe topografice cu un plan este cel mai des întâlnit în rezolvarea problemelor geologice. În fig. 3.41 oferă un exemplu de construcție a intersecției unei suprafețe topografice cu planul Σ. Curba pe care o caut m sunt determinate de punctele de intersecție ale acelorași planuri orizontale și de suprafața topografică.

În fig. 3.42 oferă un exemplu de construire a unei vederi adevărate a unei suprafețe topografice cu un plan vertical Σ. Linia necesară m este determinată de puncte A, B, C... intersecția orizontalelor suprafeței topografice cu planul de tăiere Σ. Pe plan, proiecția curbei degenerează într-o linie dreaptă care coincide cu proiecția planului: m≡ Σ. Profilul curbei m este construit ținând cont de locația proiecțiilor punctelor sale pe plan, precum și de cotele acestora.

3.4.4. Suprafață cu panta egală

O suprafață cu panta egală este o suprafață riglată, toate liniile drepte ale căreia formează un unghi constant cu planul orizontal. O astfel de suprafață poate fi obținută prin deplasarea unui con circular drept cu o axă perpendiculară pe planul planului, astfel încât partea superioară a acestuia să alunece de-a lungul unui anumit ghidaj, iar axa să rămână verticală în orice poziție.

În fig. Figura 3.43 prezintă o suprafață cu panta egală (i=1/2), al cărei ghid este o curbă spațială A, B, C, D.

Absolvirea avionului. Ca exemple, luați în considerare planurile pantei carosabilului.

Exemplul 1. Panta longitudinală a carosabilului i=0, panta terasamentului i n =1:1,5, (Fig. 3.44a). Este necesar să trasați linii orizontale la fiecare 1 m. Soluția se rezumă la următoarele. Desenăm scara pantei planului perpendicular pe marginea drumului, marcam puncte la distanță egală cu un interval de 1,5 m luate de la scara liniară și determinăm reperele 49, 48 și 47. Prin punctele obținute trageți contururile pantei paralele cu marginea drumului.

Exemplul 2. Panta longitudinală a drumului i≠0, panta terasamentului i n =1:1,5, (Fig. 3.44b). Planul carosabilului este gradat. Panta carosabilului este gradată după cum urmează. În punctul cu vârful 50.00 (sau alt punct) plasăm vârful conului, descriem un cerc cu raza egală cu intervalul pantei terasamentului (în exemplul nostru l= 1,5 m). Cota acestei linii orizontale a conului va fi cu o mai mică decât cota vârfului, adică. 49m. Desenăm o serie de cercuri, obținem curbe de nivel 48, 47, tangente la care desenăm contururi ale pantei terasamentului din punctele de margine cu marcajele 49, 48, 47.

Graduarea suprafetelor.

Exemplul 3. Dacă panta longitudinală a drumului este i = 0 și panta terasamentului este i n = 1: 1,5, atunci curbele de nivel ale pantelor sunt trasate prin punctele scalei pantei, al căror interval este egal. la intervalul versanţilor terasamentelor (Fig. 3.45a). Distanța dintre două proiecții ale liniilor orizontale adiacente în direcția normei generale (scara pantei) este aceeași peste tot.

Exemplul 4. Dacă panta longitudinală a drumului este i≠0, iar panta terasamentului este i n =1:1.5, (Fig. 3.45b), atunci curbele de nivel sunt construite în același mod, cu excepția faptului că panta contururile sunt desenate nu în linii drepte, ci în curbe.

3.4.5. Determinarea liniei limită de excavare

Deoarece majoritatea solurilor nu pot menține pereții verticali, trebuie construite pante (structuri artificiale). Panta conferită de o pantă depinde de sol.

Pentru a da unei secțiuni a suprafeței pământului aspectul unui plan cu o anumită pantă, trebuie să cunoașteți linia limitelor pentru lucrările de excavare și excavare. Această linie, limitând amplasamentul planificat, este reprezentată de liniile de intersecție a versanților terasamentelor și săpăturilor cu o suprafață topografică dată.

Deoarece fiecare suprafață (inclusiv cele plate) este reprezentată folosind contururi, linia de intersecție a suprafețelor este construită ca un set de puncte de intersecție a contururilor cu aceleași semne. Să ne uităm la exemple.

Exemplul 1. În Fig. 3.46 prezintă o structură de pământ în formă de piramidă patruunghiulară trunchiată, stând pe un plan N. Baza superioară ABCD piramida are un semn 4m si dimensiunile laterale 2×2,5 m. Fețele laterale (pantele terasamentului) au o pantă de 2:1 și 1:1, a cărei direcție este indicată prin săgeți.

Este necesar să se construiască o linie de intersecție a pantelor structurii cu planul Nși între ele, precum și să construiască un profil longitudinal de-a lungul axei de simetrie.

În primul rând, se construiește o diagramă a pantelor, intervalelor și scărilor depozitelor și pantelor date. Perpendicular pe fiecare parte a amplasamentului, scările pantelor sunt desenate la intervale specificate, după care proiecțiile curbelor de nivel cu aceleași semne ale fețelor adiacente sunt liniile de intersecție ale versanților, care sunt proiecții ale marginilor laterale ale această piramidă.

Baza inferioară a piramidei coincide cu pantele orizontale zero. Dacă această structură de pământ este străbătută de un plan vertical Q, în secțiune transversală veți obține o linie întreruptă - profilul longitudinal al structurii.

Exemplul 2. Construiți o linie de intersecție a pantelor gropii cu o pantă plată și între ele. jos ( ABCD) groapa este o suprafata dreptunghiulara cu o cota de 10 m si dimensiuni de 3x4 m. Axa sitului face un unghi de 5° cu linia sud-nord. Pantele săpăturilor au aceleași pante de 2:1 (Fig. 3.47).

Linia zero lucrări se stabilește conform planului de șantier. Este construit în punctele de intersecție ale proiecțiilor cu același nume ale liniilor orizontale ale suprafețelor luate în considerare. În punctele de intersecție a contururilor versanților și a suprafeței topografice cu aceleași semne se găsește linia de intersecție a versanților, care sunt proiecții ale marginilor laterale ale unei gropi date.

În acest caz, pantele laterale ale săpăturilor sunt adiacente fundului gropii. Linia abcd– linia de intersecție dorită. Aa, Bb, Cs, Dd– marginile gropii, liniile de intersecție a versanților între ele.

4. Întrebări pentru autocontrol și sarcini pentru lucru independent pe tema „Proiecții dreptunghiulare”

Punct

4.1.1. Esența metodei proiecției.

4.1.2. Ce este proiecția punctuală?

4.1.3. Cum sunt numite și desemnate planurile de proiecție?

4.1.4. Ce sunt liniile de conectare de proiecție într-un desen și cum sunt amplasate în desen în raport cu axele de proiecție?

4.1.5. Cum se construiește a treia proiecție (de profil) a unui punct?

4.1.6. Construiți trei proiecții ale punctelor A, B, C pe un desen cu trei imagini, notați coordonatele lor și completați tabelul.

4.1.7. Construiți axele de proiecție lipsă, x A =25, y A =20. Construiți o proiecție de profil a punctului A.

4.1.8. Construiți trei proiecții de puncte în funcție de coordonatele lor: A(25,20,15), B(20,25,0) și C(35,0,10). Indicați poziția punctelor în raport cu planurile și axele proiecțiilor. Care punct este mai aproape de planul P3?

4.1.9. Punctele materiale A și B încep să cadă simultan. În ce poziție va fi punctul B când punctul A atinge pământul? Determinați vizibilitatea punctelor. Trasează punctele într-o nouă poziție.

4.1.10. Construiți trei proiecții ale punctului A, dacă punctul se află în planul P 3, iar distanța de la acesta la planul P 1 este de 20 mm, până la planul P 2 - 30 mm. Notați coordonatele punctului.

Drept

4.2.1. Cum poate fi definită o linie dreaptă într-un desen?

4.2.2. Care linie se numește linie în poziție generală?

4.2.3. Ce poziție poate ocupa o dreaptă față de planurile de proiecție?

4.2.4. În ce caz proiecția unei drepte se întoarce la un punct?

4.2.5. Care este caracteristica unui desen drept complex?

4.2.6. Determinați poziția relativă a acestor drepte.

a…b a…b a…b

4.2.7. Construiţi proiecţiile unui segment de dreaptă AB cu lungimea de 20 mm, paralel cu planele: a) P 2; b) P 1; c) Axa bou. Indicați unghiurile de înclinare ale segmentului față de planurile de proiecție.

4.2.8. Construiți proiecțiile segmentului AB folosind coordonatele capetelor sale: A(30,10,10), B(10,15,30). Construiți proiecțiile punctului C împărțind segmentul în raportul AC:CB = 1:2.