Grafice ale funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor multiple. Grafice ale funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor multiple Care este perioada funcției y cosx 2

Lecție și prezentare pe tema: "Funcția y=cos(x). Definiția și graficul funcției"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre. Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a 10-a
Probleme algebrice cu parametri, clasele 9–11
Mediul software „1C: Mathematical Constructor 6.1”

Ce vom studia:
1. Definiție.
2. Graficul unei funcții.
3. Proprietăţile funcţiei Y=cos(X).
4. Exemple.

Definiția funcției cosinus y=cos(x)

Băieți, am întâlnit deja funcția Y=sin(X).

Să ne amintim una dintre formulele fantomă: sin(X + π/2) = cos(X).

Datorită acestei formule, putem pretinde că funcțiile sin(X + π/2) și cos(X) sunt identice, iar graficele funcțiilor lor coincid.

Graficul funcției sin(X + π/2) se obține din graficul funcției sin(X) prin translație paralelă π/2 unități la stânga. Acesta va fi graficul funcției Y=cos(X).

Graficul funcției Y=cos(X) se mai numește și undă sinusoidală.

Proprietățile funcției cos(x)

Să notăm proprietățile funcției noastre:
• Domeniul definiției este mulțimea numerelor reale.
• Funcția este uniformă. Să ne amintim definiția unei funcții pare. O funcție este numită chiar dacă egalitatea y(-x)=y(x) este valabilă. După cum ne amintim din formulele fantomă: cos(-x)=-cos(x), definiția este îndeplinită, atunci cosinusul este o funcție pară.
• Funcția Y=cos(X) scade pe segment și crește pe segmentul [π; 2π]. Putem verifica acest lucru în graficul funcției noastre.
• Funcția Y=cos(X) este mărginită de jos și de sus. Această proprietate rezultă din faptul că
  -1 ≤ cos(X) ≤ 1
• Cea mai mică valoare a funcției este -1 (la x = π + 2πk). Cea mai mare valoare a funcției este 1 (la x = 2πk).
• Funcția Y=cos(X) este o funcție continuă. Să ne uităm la grafic și să ne asigurăm că funcția noastră nu are pauze, asta înseamnă continuitate.
• Interval de valori: segment [- 1; 1]. Acest lucru este, de asemenea, clar vizibil din grafic.
• Funcția Y=cos(X) este o funcție periodică. Să ne uităm din nou la grafic și să vedem că funcția ia aceleași valori la anumite intervale.

Exemple cu funcția cos(x).

1. Rezolvați ecuația cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Rezolvare: Să construim 2 grafice ale funcției: y=cos(x) și y=(x - 2π) 2 + 1 (vezi figura).


y=(x - 2π) 2 + 1 este o parabolă deplasată la dreapta cu 2π și în sus cu 1. Graficele noastre se intersectează într-un punct A(2π;1), acesta este răspunsul: x = 2π.

2. Reprezentați grafic funcția Y=cos(X) pentru x ≤ 0 și Y=sin(X) pentru x ≥ 0

Soluție: Pentru a construi graficul necesar, să construim două grafice ale funcției în „bucăți”. Prima piesă: y=cos(x) pentru x ≤ 0. A doua bucată: y=sin(x)
pentru x ≥ 0. Să reprezentăm ambele „piese” pe un singur grafic.

3. Aflați cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției Y=cos(X) pe segmentul [π; 7π/4]

Soluție: Să construim un grafic al funcției și să considerăm segmentul nostru [π; 7π/4]. Graficul arată că cele mai mari și cele mai mici valori sunt obținute la capetele segmentului: în punctele π și, respectiv, 7π/4.
Răspuns: cos(π) = -1 – cea mai mică valoare, cos(7π/4) = cea mai mare valoare.

4. Reprezentați grafic funcția y=cos(π/3 - x) + 1

Rezolvare: cos(-x)= cos(x), atunci graficul dorit se va obtine prin mutarea graficului functiei y=cos(x) π/3 unitati la dreapta si 1 unitate in sus.

Probleme de rezolvat independent

„Grafice ale funcțiilor și proprietățile lor” - y = ctg x. 4) Funcție limitată. 3) Funcția impară. (Graficul funcției este simetric față de origine.) y = tan x. 7) Funcția este continuă pe orice interval de forma (?k; ? + ?k). Funcția y = tan x este continuă pe orice interval al formei. 4) Funcția scade pe orice interval de forma (?k; ? + ?k). Graficul funcției y = tan x se numește tangentoid.

„Grafic al funcției Y X” - șablon parabolă y = x2. Pentru a vedea graficele, faceți clic cu mouse-ul. Exemplul 2. Să construim un grafic al funcției y = x2 + 1, pe baza graficului funcției y=x2 (clic de mouse). Exemplul 3. Să demonstrăm că graficul funcției y = x2 + 6x + 8 este o parabolă și să construim un grafic. Graficul funcției y=(x - m)2 este o parabolă cu vârful său în punctul (m; 0).

„Matematica graficelor” - Cum puteți construi grafice? Cel mai firesc, dependențele funcționale sunt reflectate folosind grafice. Aplicație interesantă: desene,... De ce studiem grafice? Grafice ale funcțiilor elementare. Ce poți desena cu grafice? Avem în vedere utilizarea graficelor în disciplinele educaționale: matematică, fizică,...

„Tratarea graficelor folosind derivate” - Generalizare. Schițați graficul funcției. Găsiți asimptotele graficului funcției. Graficul derivatei unei funcții. Sarcină suplimentară. Explorați funcția. Numiți intervalele funcției descrescătoare. Munca independentă a elevilor. Extindeți cunoștințele. Lecție despre consolidarea materialului învățat. Evaluează-ți abilitățile. Funcție puncte maxime.

„Grafice cu un modul” - Hartă partea „inferioară” în semiplanul superior. Modulul unui număr real. Proprietățile funcției y = |x|. |x|. Numerele. Algoritm pentru construirea unui grafic al unei funcții. Algoritm de construcție. Funcția y=lхl. Proprietăți. Munca independentă. Zerourile funcției. Sfaturi de la cei mari. Soluție fă-o singur.

„Ecuația tangentei” - Ecuația tangentei. Ecuație normală. Dacă, atunci curbele se intersectează în unghi drept. Condiții de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Unghiul dintre graficele funcțiilor. Ecuația unei tangente la graficul unei funcții într-un punct. Fie ca funcția să fie diferențiabilă într-un punct. Fie dreptele date de ecuațiile și.

Există un total de 25 de prezentări în acest subiect

Acum ne vom uita la întrebarea cum să trasăm funcțiile trigonometrice ale unghiurilor multiple ωx, Unde ω - un număr pozitiv.

Pentru a reprezenta grafic o funcție y = sin ωx Să comparăm această funcție cu funcția pe care am studiat-o deja y = sin x. Să presupunem că atunci când x = x 0 funcţie y = sin x ia valoarea egală cu 0. Apoi

y 0 = sin x 0 .

Să transformăm această relație după cum urmează:

Prin urmare, funcția y = sin ωx la X = x 0 / ω ia aceeasi valoare la 0 , care este aceeași cu funcția y = sin x la x = x 0 . Aceasta înseamnă că funcția y = sin ωxîși repetă semnificațiile în ω ori mai des decât funcția y = sin x. Prin urmare, graficul funcției y = sin ωx obţinută prin „comprimarea” graficului funcţiei y = sin x V ω ori de-a lungul axei x.

De exemplu, graficul unei funcții y = sin 2x obţinută prin „comprimarea” unei sinusoide y = sin x de două ori de-a lungul axei x.

Graficul unei funcții y = sin x / 2 se obține prin „întinderea” de două ori a sinusoidului y = sin x (sau „comprimarea” acestuia prin 1 / 2 ori) de-a lungul axei x.

Din moment ce funcţia y = sin ωxîși repetă semnificațiile în ω ori mai des decât funcția
y = sin x, atunci perioada sa este ω ori mai mică decât perioada funcției y = sin x. De exemplu, perioada funcției y = sin 2x egală 2π/2 = π , și perioada funcției y = sin x / 2 egală π / x/ 2 = 4π .

Este interesant de studiat comportamentul funcției y = sin ax folosind exemplul de animație, care poate fi creat foarte ușor în program Arţar:

Graficele altor funcții trigonometrice ale unghiurilor multiple sunt construite într-un mod similar. Figura prezintă graficul funcției y = cos 2x, care se obține prin „comprimarea” undei cosinus y = cos x de două ori de-a lungul axei x.

Graficul unei funcții y = cos x / 2 obţinută prin „întinderea” undei cosinus y = cos x dublat de-a lungul axei x.

În figură vedeți graficul funcției y = tan 2x, obținută prin „comprimarea” tangentelor y = tan x de două ori de-a lungul axei x.

Graficul unei funcții y = tg x/ 2 , obținută prin „întinderea” tangentelor y = tan x dublat de-a lungul axei x.

Și în final, animația realizată de program Arţar:

Exerciții

1. Construiți grafice ale acestor funcții și indicați coordonatele punctelor de intersecție ale acestor grafice cu axele de coordonate. Determinați perioadele acestor funcții.

O). y = sin 4x/ 3 G). y = tan 5x/ 6 şi). y = cos 2x/ 3

b). y=cos 5x/ 3 d). y = ctg 5x/ 3 h). y=ctg x/ 3

V). y = tan 4x/ 3 e). y = sin 2x/ 3

2. Determinați perioadele funcțiilor y = sin (πх)Şi y = tg (πх/2).

3. Dați două exemple de funcții care iau toate valorile de la -1 la +1 (inclusiv aceste două numere) și se schimbă periodic cu punctul 10.

4 *. Dați două exemple de funcții care iau toate valorile de la 0 la 1 (inclusiv aceste două numere) și se schimbă periodic cu un punct π/2.

5. Dați două exemple de funcții care iau toate valorile reale și variază periodic cu perioada 1.

6 *. Dați două exemple de funcții care acceptă toate valorile negative și zero, dar nu acceptă valori pozitive și se schimbă periodic cu o perioadă de 5.