Oprava

4 derivácia komplexnej funkcie. Komplexné deriváty. Logaritmická derivácia. Derivácia mocninno-exponenciálnej funkcie. Konštanta je vyňatá z derivačného znamienka

Funkcie komplexný typ Nie je úplne správne používať termín „komplexná funkcia“. Napríklad to vyzerá veľmi pôsobivo, ale táto funkcia nie je na rozdiel od nej komplikovaná.

V tomto článku pochopíme koncept komplexnej funkcie, naučíme sa, ako ju identifikovať ako súčasť elementárnych funkcií, poskytneme vzorec na nájdenie jej derivácie a podrobne zvážime riešenie typických príkladov.

Pri riešení príkladov budeme neustále používať tabuľku derivácií a diferenciačných pravidiel, preto ich majte na očiach.

Komplexná funkcia je funkcia, ktorej argument je tiež funkciou.

Z nášho pohľadu je táto definícia najzrozumiteľnejšia. Bežne sa môže označovať ako f(g(x)) . To znamená, že g(x) je ako argument funkcie f(g(x)) .

Napríklad nech f je funkcia arkustangens a g(x) = lnx je funkcia prirodzeného logaritmu, potom komplexná funkcia f(g(x)) je arkustan(lnx) . Ďalší príklad: f je funkcia zvýšenia na štvrtú mocninu a je celá racionálna funkcia (pozri ), potom .

Na druhej strane, g(x) môže byť tiež komplexná funkcia. Napríklad, . Bežne môže byť takýto výraz označený ako . Tu je f funkcia sínus, funkcia druhej odmocniny, - zlomková racionálna funkcia. Je logické predpokladať, že stupeň vnorenia funkcií môže byť akékoľvek konečné prirodzené číslo.

Často môžete počuť komplexnú funkciu tzv zloženie funkcií.

Vzorec na nájdenie derivácie komplexnej funkcie.

Príklad.

Nájdite deriváciu komplexnej funkcie.

Riešenie.

V tomto príklade je f funkcia druhej mocniny a g(x) = 2x+1 – lineárna funkcia.

Tu podrobné riešenie pomocou vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie:

Nájdite túto deriváciu tak, že najskôr zjednodušíme tvar pôvodnej funkcie.

teda

Ako vidíte, výsledky sú rovnaké.

Snažte sa nezamieňať, ktorá funkcia je f a ktorá je g(x) .

Ukážme si to na príklade, ktorý ukáže vašu pozornosť.

Príklad.

Nájdite derivácie komplexných funkcií a .

Riešenie.

V prvom prípade je f funkcia kvadratúry a g(x) je funkcia sínus, takže
.

V druhom prípade je f sínusová funkcia a je to mocninová funkcia. Preto podľa vzorca pre súčin komplexnej funkcie máme

Derivačný vzorec pre funkciu má tvar

Príklad.

Diferenciačná funkcia .

Riešenie.

V tomto príklade možno komplexnú funkciu konvenčne zapísať ako , kde je funkcia sínus, tretia mocninová funkcia, základná logaritmická funkcia, arkustangens a lineárna funkcia.

Podľa vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie

Teraz nájdeme

Dajme dokopy získané medzivýsledky:

Nie je nič strašidelné, analyzujte zložité funkcie ako hniezdiace bábiky.

Toto by mohol byť koniec článku, nebyť jednej veci...

Je vhodné jasne pochopiť, kedy použiť pravidlá diferenciácie a tabuľku derivácií a kedy použiť vzorec pre deriváciu komplexnej funkcie.

TERAZ BUĎTE VEĽMI OPATRNÍ. Povieme si o rozdiele medzi komplexnými funkciami a komplexnými funkciami. Váš úspech pri hľadaní derivátov bude závisieť od toho, do akej miery vidíte tento rozdiel.

Začnime s jednoduché príklady. Funkcia možno považovať za komplex: g(x) = tanx , . Preto môžete okamžite použiť vzorec pre deriváciu komplexnej funkcie

A tu je funkcia Už sa to nedá nazvať komplexným.

Táto funkcia je súčtom troch funkcií, 3tgx a 1. Hoci - je komplexná funkcia: - mocninná funkcia (kvadratická parabola) a f je tangensová funkcia. Preto najprv použijeme vzorec na diferenciáciu súčtu:

Zostáva nájsť deriváciu komplexnej funkcie:

Preto .

Dúfame, že pochopíte podstatu.

Ak sa pozrieme širšie, možno tvrdiť, že funkcie komplexného typu môžu byť súčasťou komplexných funkcií a komplexné funkcie môžu byť zložkami funkcií komplexného typu.

Ako príklad analyzujme funkciu na jej jednotlivé časti .

Po prvé, ide o komplexnú funkciu, ktorú možno reprezentovať ako , kde f je logaritmická funkcia so základom 3 a g(x) je súčet dvoch funkcií A . teda .

Po druhé, poďme sa zaoberať funkciou h(x) . Predstavuje vzťah k .

Toto je súčet dvoch funkcií a , Kde - komplexná funkcia s číselným koeficientom 3. - funkcia kocky, - funkcia kosínus, - lineárna funkcia.

Toto je súčet dvoch funkcií a , kde - komplexná funkcia, - exponenciálna funkcia, - mocninná funkcia.

Teda, .

Po tretie, prejdite na , ktorá je výsledkom komplexnej funkcie a celá racionálna funkcia

Funkcia kvadratúry je funkcia logaritmu so základom e.

Preto, .

Poďme si to zhrnúť:

Teraz je štruktúra funkcie jasná a je jasné, ktoré vzorce a v akom poradí použiť pri jej diferenciácii.

V časti o derivácii funkcie (hľadaní derivácie) sa môžete oboznámiť s riešením podobných problémov.

Operácia nájdenia derivácie sa nazýva diferenciácia.

V dôsledku riešenia problémov hľadania derivácií najjednoduchších (a nie veľmi jednoduchých) funkcií definovaním derivácie ako limity pomeru prírastku k prírastku argumentu sa objavila tabuľka derivácií a presne definované pravidlá diferenciácie. . Prvými, ktorí pracovali v oblasti hľadania derivátov, boli Isaac Newton (1643-1727) a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Preto v našej dobe na nájdenie derivácie akejkoľvek funkcie nepotrebujete vypočítať vyššie uvedenú hranicu pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, ale stačí použiť tabuľku deriváty a pravidlá diferenciácie. Na nájdenie derivácie je vhodný nasledujúci algoritmus.

Ak chcete nájsť derivát, potrebujete výraz pod prvočíslom rozdeliť jednoduché funkcie na komponenty a určiť, aké akcie (produkt, súčet, podiel) tieto funkcie spolu súvisia. Ďalej nájdeme derivácie elementárnych funkcií v tabuľke derivácií a vzorce pre derivácie súčinu, súčtu a kvocientu - v pravidlách diferenciácie. Tabuľka derivácií a pravidlá diferenciácie sú uvedené po prvých dvoch príkladoch.

Príklad 1 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Z pravidiel diferenciácie zistíme, že derivácia súčtu funkcií je súčtom derivácií funkcií, t.j.

Z tabuľky derivácií zistíme, že derivácia „x“ sa rovná jednej a derivácia sínusu sa rovná kosínusu. Tieto hodnoty dosadíme do súčtu derivácií a nájdeme deriváciu požadovanú podmienkou problému:

Príklad 2 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Ako deriváciu súčtu, v ktorom má druhý člen konštantný faktor, možno ho vyňať zo znamienka derivácie:

Ak stále vznikajú otázky o tom, odkiaľ niečo pochádza, zvyčajne sa vyjasnia po oboznámení sa s tabuľkou derivátov a najjednoduchšími pravidlami diferenciácie. Práve k nim prechádzame.

Tabuľka derivácií jednoduchých funkcií

1. Derivácia konštanty (čísla). Akékoľvek číslo (1, 2, 5, 200...), ktoré je vo výraze funkcie. Vždy sa rovná nule. Toto je veľmi dôležité mať na pamäti, pretože sa to vyžaduje veľmi často
2. Derivát nezávisle premennej. Najčastejšie "X". Vždy sa rovná jednej. To je tiež dôležité mať na pamäti na dlhú dobu
3. Derivácia stupňa. Pri riešení problémov musíte premeniť iné ako odmocniny na mocniny.
4. Derivácia premennej k mocnine -1
5. Derivácia odmocniny
6. Derivácia sínusu
7. Derivácia kosínusu
8. Derivácia dotyčnice
9. Derivácia kotangens
10. Derivácia arcsínusu
11. Derivát arkozínu
12. Derivácia arkustangens
13. Derivácia oblúkového kotangens
14. Derivácia prirodzeného logaritmu
15. Derivácia logaritmickej funkcie
16. Derivácia exponentu
17. Derivácia exponenciálnej funkcie

Pravidlá diferenciácie

1. Derivácia sumy alebo rozdielu
2. Derivát produktu
2a. Derivát výrazu vynásobený konštantným faktorom
3. Derivácia kvocientu
4. Derivácia komplexnej funkcie

Pravidlo 1.Ak funkcie

sú v určitom bode diferencovateľné, potom sú funkcie diferencovateľné v tom istom bode

tie. derivácia algebraického súčtu funkcií sa rovná algebraickému súčtu derivácií týchto funkcií.

Dôsledok. Ak sa dve diferencovateľné funkcie líšia konštantným členom, potom sú ich derivácie rovnaké, t.j.

Pravidlo 2.Ak funkcie

sú v určitom bode diferencovateľné, potom je ich produkt diferencovateľný v tom istom bode

tie. Derivácia súčinu dvoch funkcií sa rovná súčtu súčinov každej z týchto funkcií a derivácie druhej.

Dôsledok 1. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka derivácie:

Dôsledok 2. Derivácia súčinu niekoľkých diferencovateľných funkcií sa rovná súčtu súčinov derivácie každého faktora a všetkých ostatných.

Napríklad pre tri multiplikátory:

Pravidlo 3.Ak funkcie

v určitom bode rozlíšiteľné A , potom je v tomto bode ich kvocient tiež diferencovateľnýu/v a

tie. derivácia kvocientu dvoch funkcií sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je rozdielom medzi súčinmi menovateľa a derivácie čitateľa a čitateľa a derivácie menovateľa a menovateľ je druhá mocnina bývalý čitateľ.

Kde hľadať veci na iných stránkach

Pri hľadaní derivátu súčinu a kvocientu v reálnych problémoch je vždy potrebné aplikovať niekoľko pravidiel diferenciácie naraz, preto je v článku viac príkladov na tieto deriváty"Derivát produktu a kvocient funkcií".

Komentujte. Nemali by ste si zamieňať konštantu (čiže číslo) ako člen v súčte a ako konštantný faktor! V prípade člena sa jeho derivácia rovná nule a v prípade konštantného faktora je vyňatá zo znamienka derivácií. Toto typická chyba, ktorý sa vyskytuje dňa počiatočná fázaštúdium odvodenín, ale keďže riešia viacero jedno- a dvojdielnych príkladov, bežný študent už túto chybu nerobí.

A ak pri rozlišovaní produktu alebo kvocientu máte termín u"v, v ktorom u- číslo, napríklad 2 alebo 5, to znamená konštanta, potom sa derivácia tohto čísla bude rovnať nule, a preto sa celý člen bude rovnať nule (tento prípad je diskutovaný v príklade 10).

Iné častá chyba- mechanické riešenie derivácie komplexnej funkcie ako derivácie jednoduchej funkcie. Preto derivácia komplexnej funkcie je venovaný samostatný článok. Najprv sa však naučíme nájsť derivácie jednoduchých funkcií.

Na ceste sa nezaobídete bez transformácie výrazov. Ak to chcete urobiť, možno budete musieť otvoriť príručku v nových oknách. Akcie so silami a koreňmi A Operácie so zlomkami .

Ak hľadáte riešenia na derivácie zlomkov s mocninou a odmocninou, teda keď funkcia vyzerá a potom postupujte podľa lekcie „Derivácia súčtu zlomkov s mocninami a odmocninami“.

Ak máte úlohu napr , potom absolvujete lekciu „Derivácie jednoduchých goniometrických funkcií“.

Príklady krok za krokom - ako nájsť derivát

Príklad 3 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Definujeme časti funkčného výrazu: celý výraz predstavuje súčin a jeho faktory sú súčty, v druhom z nich jeden z výrazov obsahuje konštantný faktor. Aplikujeme pravidlo diferenciácie produktu: derivácia produktu dvoch funkcií sa rovná súčtu produktov každej z týchto funkcií deriváciou druhej:

Ďalej aplikujeme pravidlo diferenciácie súčtu: derivácia algebraického súčtu funkcií sa rovná algebraickému súčtu derivácií týchto funkcií. V našom prípade má v každom súčte druhý člen znamienko mínus. V každom súčte vidíme ako nezávislú premennú, ktorej derivácia sa rovná jednej, tak aj konštantu (číslo), ktorej derivácia sa rovná nule. Takže „X“ sa zmení na jednotku a mínus 5 sa zmení na nulu. V druhom výraze sa "x" vynásobí 2, takže dva vynásobíme rovnakou jednotkou ako derivácia "x". Získame nasledujúce derivačné hodnoty:

Nájdené derivácie dosadíme do súčtu produktov a získame deriváciu celej funkcie, ktorú vyžaduje podmienka úlohy:

A môžete skontrolovať riešenie problému s odvodením na.

Príklad 4. Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Musíme nájsť deriváciu kvocientu. Aplikujeme vzorec na derivovanie kvocientu: derivácia kvocientu dvoch funkcií sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je rozdielom medzi súčinmi menovateľa a derivácie čitateľa a čitateľa a deriváciou funkcie menovateľ a menovateľ je druhá mocnina predchádzajúceho čitateľa. Dostaneme:

Deriváciu faktorov v čitateli sme už našli v príklade 2. Nezabúdajme tiež, že súčin, ktorý je v aktuálnom príklade druhým faktorom v čitateli, sa berie so znamienkom mínus:

Ak hľadáte riešenia problémov, v ktorých potrebujete nájsť deriváciu funkcie, kde je súvislá kopa koreňov a mocnín, ako napr. , potom vitajte v triede "Derivácia súčtu zlomkov s mocninou a odmocninou" .

Ak sa potrebujete dozvedieť viac o deriváciách sínusov, kosínusov, dotyčníc a iných goniometrických funkcií, teda keď funkcia vyzerá , potom lekcia pre vás "Derivácie jednoduchých goniometrických funkcií" .

Príklad 5. Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. V tejto funkcii vidíme súčin, ktorého jedným z faktorov je druhá odmocnina nezávisle premennej, s deriváciou ktorej sme sa oboznámili v tabuľke derivácií. Pomocou pravidla pre diferenciáciu súčinu a tabuľkovej hodnoty derivácie odmocniny dostaneme:

Riešenie problému s odvodením môžete skontrolovať na adrese online kalkulačka derivátov .

Príklad 6. Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. V tejto funkcii vidíme kvocient, ktorého dividenda je druhou odmocninou nezávislej premennej. Pomocou pravidla diferenciácie kvocientov, ktoré sme zopakovali a aplikovali v príklade 4, a tabuľkovej hodnoty derivácie druhej odmocniny dostaneme:

Ak sa chcete zbaviť zlomku v čitateli, vynásobte čitateľa a menovateľa číslom .

Po predbežnej delostreleckej príprave budú príklady s 3-4-5 hniezdeniami funkcií menej desivé. Nasledujúce dva príklady sa niekomu môžu zdať komplikované, ale ak ich pochopíte (niekto bude trpieť), tak takmer všetko ostatné v diferenciálnom počte vám bude pripadať ako detský vtip.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie

Ako už bolo uvedené, pri hľadaní derivácie komplexnej funkcie je to predovšetkým potrebné Správny POCHOPTE svoje investície. V prípadoch, keď existujú pochybnosti, pripomínam vám užitočnú techniku: vezmeme napríklad experimentálnu hodnotu „x“ a pokúsime sa (mentálne alebo v koncepte) nahradiť túto hodnotu do „strašného výrazu“.

1) Najprv musíme vypočítať výraz, čo znamená, že súčet je najhlbšie vloženie.

2) Potom musíte vypočítať logaritmus:

4) Potom položte kosínus na kocku:

5) V piatom kroku rozdiel:

6) A nakoniec najvzdialenejšia funkcia je druhá odmocnina:

Vzorec na diferenciáciu komplexnej funkcie sa aplikujú v opačnom poradí, od vonkajšej funkcie po najvnútornejšiu. Rozhodujeme sa:

Vyzerá to bez chýb:

1) Vezmite deriváciu druhej odmocniny.

2) Vezmite deriváciu rozdielu pomocou pravidla

3) Derivácia trojky je nula. V druhom člene vezmeme deriváciu stupňa (kocku).

4) Vezmite deriváciu kosínusu.

6) A nakoniec vezmeme derivát najhlbšieho vloženia.

Môže sa to zdať príliš ťažké, ale toto nie je najbrutálnejší príklad. Vezmite si napríklad Kuznecovovu zbierku a oceníte všetku krásu a jednoduchosť analyzovaného derivátu. Všimol som si, že radi dávajú podobnú vec na skúške, aby si overili, či študent rozumie, ako nájsť deriváciu komplexnej funkcie, alebo nerozumie.

Nasledujúci príklad je na to, aby ste ho vyriešili sami.

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie

Tip: Najprv použijeme pravidlá linearity a pravidlo diferenciácie produktu

Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Je čas prejsť na niečo menšie a krajšie.
Nie je nezvyčajné, že príklad ukazuje súčin nie dvoch, ale troch funkcií. Ako nájsť deriváciu súčinu troch faktorov?

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie

Najprv sa pozrieme, je možné premeniť súčin troch funkcií na súčin dvoch funkcií? Napríklad, ak by sme v súčine mali dva polynómy, mohli by sme otvoriť zátvorky. Ale v uvažovanom príklade sú všetky funkcie odlišné: stupeň, exponent a logaritmus.

V takýchto prípadoch je to nevyhnutné postupne uplatniť pravidlo diferenciácie produktov dvakrát

Trik je v tom, že „y“ označujeme súčin dvoch funkcií: a „ve“ označujeme logaritmus: . Prečo sa to dá urobiť? Je to naozaj - to nie je súčin dvoch faktorov a pravidlo nefunguje?! Nie je nič zložité:

Teraz zostáva použiť pravidlo druhýkrát do zátvorky:

Môžete sa tiež skrútiť a dať niečo zo zátvoriek, ale v tomto prípade je lepšie nechať odpoveď presne v tejto forme - bude to jednoduchšie skontrolovať.

Uvažovaný príklad možno vyriešiť druhým spôsobom:

Obe riešenia sú absolútne ekvivalentné.

Príklad 5

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad pre nezávislé riešenie vo vzorke je riešené pomocou prvej metódy.

Pozrime sa na podobné príklady so zlomkami.

Príklad 6

Nájdite deriváciu funkcie

Môžete sem ísť niekoľkými spôsobmi:

Alebo takto:

Ale riešenie bude napísané kompaktnejšie, ak najprv použijeme pravidlo diferenciácie kvocientu , pričom pre celý čitateľ:

V zásade je príklad vyriešený a ak sa nechá tak, nebude to chyba. Ale ak máte čas, vždy je vhodné skontrolovať návrh, či sa dá odpoveď zjednodušiť?

Zredukujme vyjadrenie čitateľa na spoločného menovateľa a zbavme sa trojposchodovej štruktúry zlomku:

Nevýhodou dodatočných zjednodušení je, že existuje riziko, že sa pomýlite nie pri hľadaní derivátu, ale pri banálnych školských transformáciách. Na druhej strane učitelia často zadanie odmietnu a žiadajú, aby im „pripomenuli“ derivát.

Jednoduchší príklad, ktorý môžete vyriešiť sami:

Príklad 7

Nájdite deriváciu funkcie

Pokračujeme v ovládaní metód hľadania derivácie a teraz zvážime typický prípad, keď sa na diferenciáciu navrhuje „strašný“ logaritmus.

Ak g(X) A f(u) – diferencovateľné funkcie ich argumentov, resp X A u= g(X), potom je v bode diferencovateľná aj komplexná funkcia X a nachádza sa podľa vzorca

Typickou chybou pri riešení derivačných úloh je mechanické prenášanie pravidiel na diferenciáciu jednoduchých funkcií na funkcie zložité. Naučme sa tejto chybe vyhnúť.

Príklad 2 Nájdite deriváciu funkcie

Nesprávne riešenie: vypočítajte prirodzený logaritmus každého člena v zátvorkách a hľadajte súčet derivácií:

Správne riešenie: opäť určíme, kde je „jablko“ a kde „mleté mäso“. Prirodzeným logaritmom výrazu v zátvorkách je tu „jablko“, teda funkcia nad stredným argumentom u, a výraz v zátvorkách je „mleté mäso“, teda medziargument u nezávislou premennou X.

Potom (pomocou vzorca 14 z tabuľky derivátov)

V mnohých problémoch zo skutočného života môže byť výraz s logaritmom o niečo komplikovanejší, a preto existuje poučenie

Príklad 3 Nájdite deriváciu funkcie

Nesprávne riešenie:

Správne riešenie. IN Ešte raz Určujeme, kde je „jablko“ a kde je „mleté mäso“. Tu je kosínus výrazu v zátvorkách (vzorec 7 v tabuľke derivátov) „jablko“, je pripravený v režime 1, ktorý ovplyvňuje iba neho, a výraz v zátvorkách (derivát stupňa je číslo 3 v tabuľke derivátov) je „mleté mäso“, pripravuje sa v režime 2, ktorý sa týka iba neho. A ako vždy spájame dva deriváty s označením produktu. výsledok:

Derivácia komplexnej logaritmickej funkcie je častou úlohou v testoch, preto dôrazne odporúčame, aby ste sa zúčastnili lekcie „Derivácia logaritmickej funkcie“.

Prvé príklady sa týkali komplexných funkcií, v ktorých bola medziľahlým argumentom nezávislej premennej jednoduchá funkcia. Ale v praktických úlohách je často potrebné nájsť deriváciu komplexnej funkcie, kde medziľahlý argument je buď sám o sebe zložitá funkcia, alebo takúto funkciu obsahuje. Čo robiť v takýchto prípadoch? Nájdite deriváty takýchto funkcií pomocou tabuliek a pravidiel diferenciácie. Keď sa nájde derivát stredného argumentu, jednoducho sa dosadí na správne miesto vo vzorci. Nižšie sú uvedené dva príklady, ako sa to robí.

Okrem toho je užitočné vedieť nasledujúce. Ak možno komplexnú funkciu znázorniť ako reťazec troch funkcií

potom by sa jeho derivát mal nájsť ako súčin derivátov každej z týchto funkcií:

Mnohé z vašich domácich úloh môžu vyžadovať, aby ste si otvorili sprievodcov v nových oknách. Akcie so silami a koreňmi A Operácie so zlomkami .

Príklad 4. Nájdite deriváciu funkcie

Aplikujeme pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie, pričom nezabúdame, že vo výslednom súčine derivácií existuje medziargument vzhľadom na nezávislú premennú X sa nemení:

Pripravíme druhý faktor súčinu a použijeme pravidlo na rozlíšenie súčtu:

Druhým pojmom je koreň, takže

Zistili sme teda, že prostredný argument, ktorým je súčet, obsahuje komplexnú funkciu ako jeden z výrazov: povýšenie na moc je komplexná funkcia a to, čo sa zvýši na moc, je stredný argument vo vzťahu k nezávislému. premenlivý X.

Preto opäť aplikujeme pravidlo pre diferenciáciu komplexnej funkcie:

Stupeň prvého faktora transformujeme na odmocninu a pri diferenciácii druhého faktora nezabudnite, že derivácia konštanty sa rovná nule:

Teraz môžeme nájsť deriváciu stredného argumentu potrebného na výpočet derivácie komplexnej funkcie potrebnej v príkaze problému r:

Príklad 5. Nájdite deriváciu funkcie

Najprv použijeme pravidlo na rozlíšenie súčtu:

Získali sme súčet derivácií dvoch komplexných funkcií. Poďme nájsť prvý:

V tomto prípade je zvýšenie sínusu na mocninu komplexnou funkciou a samotný sínus je prechodným argumentom pre nezávislú premennú X. Preto použijeme pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie vyňatie faktora zo zátvoriek :

Teraz nájdeme druhý člen derivácií funkcie r:

Tu je zvýšenie kosínusu na mocninu komplexnou funkciou f a samotný kosínus je prostredný argument v nezávislej premennej X. Použime opäť pravidlo na diferenciáciu komplexnej funkcie:

Výsledkom je požadovaný derivát:

Tabuľka derivácií niektorých zložitých funkcií

Pre komplexné funkcie na základe pravidla diferenciácie komplexnej funkcie má vzorec pre deriváciu jednoduchej funkcie inú formu.

1. Derivácia komplexnej mocninnej funkcie, kde u X
2. Derivácia koreňa výrazu
3. Derivácia exponenciálnej funkcie
4. Špeciálny prípad exponenciálnej funkcie
5. Derivácia logaritmickej funkcie s ľubovoľnou kladnou bázou A
6. Derivácia komplexnej logaritmickej funkcie, kde u– diferencovateľná funkcia argumentu X
7. Derivácia sínusu
8. Derivácia kosínusu
9. Derivácia dotyčnice
10. Derivácia kotangens
11. Derivácia arcsínusu
12. Derivát arkozínu
13. Derivácia arkustangens
14. Derivácia oblúkového kotangens

V tejto lekcii sa naučíme, ako nájsť derivácia komplexnej funkcie. Hodina je logickým pokračovaním lekcie Ako nájsť derivát?, v ktorej sme skúmali najjednoduchšie deriváty a oboznámili sa aj s pravidlami diferenciácie a niektorými technickými technikami hľadania derivátov. Ak teda nie ste veľmi dobrí s derivátmi funkcií alebo niektoré body v tomto článku nie sú úplne jasné, prečítajte si najprv vyššie uvedenú lekciu. Nalaďte sa prosím vážne - materiál nie je jednoduchý, ale aj tak sa ho pokúsim podať jednoducho a zrozumiteľne.

V praxi sa musíte veľmi často zaoberať deriváciou komplexnej funkcie, dokonca by som povedal, že takmer vždy, keď dostanete úlohy na nájdenie derivácií.

Pozrime sa na tabuľku pri pravidle (č. 5) na diferenciáciu komplexnej funkcie:

Poďme na to. V prvom rade si dajme pozor na vstup. Tu máme dve funkcie - a , pričom funkcia je, obrazne povedané, vnorená do funkcie . Funkcia tohto typu (keď je jedna funkcia vnorená do inej) sa nazýva komplexná funkcia.

Zavolám funkciu vonkajšia funkcia a funkciu – interná (alebo vnorená) funkcia.

! Tieto definície nie sú teoretické a nemali by sa objaviť v konečnom návrhu zadaní. Neformálne výrazy „vonkajšia funkcia“, „vnútorná“ funkcia používam len preto, aby som vám uľahčil pochopenie materiálu.

Na objasnenie situácie zvážte:

Príklad 1

Nájdite deriváciu funkcie

Pod sínusom nemáme len písmeno „X“, ale celý výraz, takže nájdenie derivátu hneď z tabuľky nebude fungovať. Všimli sme si tiež, že tu nie je možné použiť prvé štyri pravidlá, zdá sa, že existuje rozdiel, ale faktom je, že sínus nemožno „roztrhať na kúsky“:

V tomto príklade je už z mojich vysvetlení intuitívne jasné, že funkcia je komplexná funkcia a polynóm je vnútorná funkcia (vloženie) a vonkajšia funkcia.

Prvý krokčo musíte urobiť pri hľadaní derivácie komplexnej funkcie je to pochopiť, ktorá funkcia je vnútorná a ktorá vonkajšia.

V prípade jednoduchých príkladov sa zdá byť jasné, že pod sínus je vložený polynóm. Ale čo ak všetko nie je zrejmé? Ako presne určiť, ktorá funkcia je vonkajšia a ktorá vnútorná? Na tento účel navrhujem použiť nasledujúcu techniku, ktorú je možné vykonať mentálne alebo v koncepte.

Predstavme si, že potrebujeme vypočítať hodnotu výrazu at na kalkulačke (namiesto jednej môže byť ľubovoľné číslo).

Čo vypočítame ako prvé? Po prvé budete musieť vykonať nasledujúcu akciu: , preto bude polynóm internou funkciou:

Po druhé bude potrebné nájsť, takže sínus – bude vonkajšia funkcia:

Po nás VYPREDANÉ Pri vnútorných a vonkajších funkciách je čas uplatniť pravidlo diferenciácie zložitých funkcií.

Začnime sa rozhodovať. Z triedy Ako nájsť derivát? pamätáme si, že návrh riešenia akejkoľvek derivácie vždy začína takto - výraz uzavrieme do zátvoriek a vpravo hore umiestnime ťah:

Najprv nájdeme deriváciu vonkajšej funkcie (sínus), pozrieme sa na tabuľku derivácií elementárnych funkcií a všimneme si, že . Všetky vzorce tabuľky sú použiteľné aj vtedy, ak je „x“ nahradené zložitým výrazom, v tomto prípade:

Upozorňujeme, že vnútorná funkcia sa nezmenil, nedotýkame sa ho.

No to je celkom zrejmé

Konečný výsledok použitia vzorca vyzerá takto:

Konštantný faktor je zvyčajne umiestnený na začiatku výrazu:

Ak dôjde k nejakému nedorozumeniu, zapíšte si riešenie na papier a znova si prečítajte vysvetlenia.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie

Ako vždy píšeme:

Poďme zistiť, kde máme vonkajšiu funkciu a kde vnútornú. Aby sme to dosiahli, snažíme sa (mentálne alebo v koncepte) vypočítať hodnotu výrazu v . Čo by ste mali urobiť ako prvé? Najprv musíte vypočítať, čomu sa rovná základňa: preto je polynóm vnútorná funkcia:

A až potom sa vykoná umocnenie, preto je výkonová funkcia vonkajšou funkciou:

Podľa vzorca musíte najskôr nájsť deriváciu vonkajšej funkcie, v tomto prípade stupeň. Požadovaný vzorec hľadáme v tabuľke: . Znova opakujeme: akýkoľvek tabuľkový vzorec platí nielen pre „X“, ale aj pre komplexný výraz. Výsledkom aplikácie pravidla pre diferenciáciu komplexnej funkcie je teda:

Opäť zdôrazňujem, že keď vezmeme deriváciu vonkajšej funkcie, naša vnútorná funkcia sa nezmení:

Teraz už len zostáva nájsť veľmi jednoduchú deriváciu vnútornej funkcie a trochu upraviť výsledok:

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami (odpoveď na konci hodiny).

Aby ste upevnili svoje chápanie derivácie komplexnej funkcie, uvediem príklad bez komentárov, skúste na to prísť sami, dôvod, kde je vonkajšia a kde vnútorná funkcia, prečo sú úlohy riešené týmto spôsobom?

Príklad 5

a) Nájdite deriváciu funkcie

b) Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 6

Nájdite deriváciu funkcie

Tu máme koreň a na rozlíšenie koreňa musí byť reprezentovaný ako mocnosť. Najprv teda uvedieme funkciu do tvaru vhodnej na diferenciáciu:

Analýzou funkcie dospejeme k záveru, že súčet troch členov je vnútorná funkcia a umocnenie je vonkajšia funkcia. Aplikujeme pravidlo diferenciácie komplexných funkcií:

Stupeň opäť reprezentujeme ako radikál (odmocninu) a pre deriváciu vnútornej funkcie aplikujeme jednoduché pravidlo na derivovanie súčtu:

Pripravený. Môžete tiež zredukovať výraz na spoločného menovateľa v zátvorkách a zapísať všetko ako jeden zlomok. Je to, samozrejme, krásne, ale keď získate ťažkopádne dlhé deriváty, je lepšie to nerobiť (je ľahké sa zmiasť, urobiť zbytočnú chybu a pre učiteľa bude nepohodlné to kontrolovať).

Príklad 7

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami (odpoveď na konci hodiny).

Je zaujímavé poznamenať, že niekedy namiesto pravidla na diferenciáciu komplexnej funkcie môžete použiť pravidlo na diferenciáciu kvocientu , no takéto riešenie bude vyzerať ako vtipná zvrátenosť. Tu typický príklad:

Príklad 8

Nájdite deriváciu funkcie

Tu môžete použiť pravidlo diferenciácie kvocientu , ale je oveľa výnosnejšie nájsť deriváciu pomocou pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:

Pripravíme funkciu na diferenciáciu - posunieme mínus z derivačného znamienka a zvýšime kosínus do čitateľa:

Kosínus je vnútorná funkcia, umocňovanie je vonkajšia funkcia.
Využime naše pravidlo:

Nájdeme deriváciu vnútornej funkcie a resetujeme kosínus späť:

Pripravený. V uvažovanom príklade je dôležité nenechať sa zmiasť v znameniach. Mimochodom, skúste to vyriešiť pomocou pravidla , odpovede sa musia zhodovať.

Príklad 9

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami (odpoveď na konci hodiny).

Doteraz sme sa zaoberali prípadmi, keď sme mali iba jedno hniezdenie v komplexnej funkcii. V praktických úlohách sa často dajú nájsť odvodeniny, kde sa ako hniezdiace bábiky jedna do druhej vnorí naraz 3 alebo aj 4-5 funkcií.

Príklad 10

Nájdite deriváciu funkcie

Poďme pochopiť prílohy tejto funkcie. Skúsme vypočítať výraz pomocou experimentálnej hodnoty. Ako by sme rátali s kalkulačkou?

Najprv musíte nájsť , čo znamená, že arcsínus je najhlbšie vloženie:

Tento arkussínus jednej by sa potom mal odmocniť:

A nakoniec zdvihneme sedem na mocninu:

To znamená, že v tomto príklade máme tri rôzne funkcie a dve vloženia, pričom najvnútornejšia funkcia je arcsínus a najvzdialenejšia funkcia je exponenciálna funkcia.

Začnime sa rozhodovať

Podľa pravidla musíte najprv vziať deriváciu externej funkcie. Pozrieme sa na tabuľku derivácií a nájdeme deriváciu exponenciálnej funkcie: Jediný rozdiel je v tom, že namiesto „x“ máme komplexný výraz, ktorý nepopiera platnosť tohto vzorca. Takže výsledok aplikácie pravidla na diferenciáciu komplexnej funkcie je nasledujúci:

Pod ťahom máme opäť komplexnú funkciu! Ale už je to jednoduchšie. Je ľahké overiť, že vnútorná funkcia je arcsínus, vonkajšia funkcia je stupeň. Podľa pravidla pre diferenciáciu komplexnej funkcie musíte najprv vziať deriváciu mocniny.