Integrujte pomocou metódy variácie ľubovoľných konštánt. Metóda variácie ľubovoľných konštánt. Príklady riešení. Sociálne premeny. Štát a Cirkev
Prednáška 44. Lineárne nehomogénne rovnice 2. rádu. Metóda variácie ľubovoľných konštánt. Lineárne nehomogénne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi. (špeciálna pravá strana).
Sociálne premeny. Štát a cirkev.
Sociálnu politiku boľševikov do značnej miery diktoval ich triedny prístup. Dekrétom z 10. novembra 1917 bol zničený triedny systém, zrušené predrevolučné hodnosti, tituly a vyznamenania. Bola stanovená voľba sudcov; sa uskutočnila sekularizácia občianskych štátov. Bolo ustanovené bezplatné školstvo a lekárska starostlivosť (výnos z 31. októbra 1918). Ženy dostali rovnaké práva ako muži (dekréty zo 16. a 18. decembra 1917). Dekrét o manželstve zaviedol inštitút civilného sobáša.
Dekrétom Rady ľudových komisárov z 20. januára 1918 bola cirkev oddelená od štátu a od školstva. Väčšina cirkevného majetku bola skonfiškovaná. Patriarcha moskovský a všeruský Tichon (zvolený 5. novembra 1917) 19. januára 1918 anathematizoval sovietsku moc a vyzval na boj proti boľševikom.
Uvažujme lineárnu nehomogénnu rovnicu druhého rádu
Štruktúra všeobecného riešenia takejto rovnice je určená nasledujúcou vetou:
Veta 1. Všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice (1) je reprezentované ako súčet nejakého konkrétneho riešenia tejto rovnice a všeobecného riešenia zodpovedajúcej homogénnej rovnice
Dôkaz. Je potrebné preukázať, že suma
je všeobecné riešenie rovnice (1). Najprv dokážme, že funkcia (3) je riešením rovnice (1).
Dosadenie súčtu do rovnice (1) namiesto pri, bude mať
Keďže existuje riešenie rovnice (2), výraz v prvých zátvorkách je zhodne rovný nule. Keďže existuje riešenie rovnice (1), výraz v druhej zátvorke sa rovná f(x). Preto je rovnosť (4) identita. Prvá časť vety je teda dokázaná.
Dokážme druhé tvrdenie: výraz (3) je všeobecný riešenie rovnice (1). Musíme dokázať, že ľubovoľné konštanty zahrnuté v tomto výraze možno vybrať tak, aby boli splnené počiatočné podmienky:
nech sú čísla akékoľvek x 0, y 0 a (ak len x 0 bola prevzatá z oblasti, kde funkcie a 1, a 2 A f(x) nepretržité).
Všimnite si, že môže byť zastúpená vo forme . Potom na základe podmienok (5) budeme mať
Poďme vyriešiť tento systém a určiť C 1 A C 2. Prepíšme systém do tvaru:
Všimnite si, že determinantom tohto systému je Wronského determinant funkcií o 1 A o 2 v bode x = x 0. Keďže tieto funkcie sú lineárne nezávislé podľa podmienky, Wronského determinant sa nerovná nule; preto systém (6) má definitívne riešenie C 1 A C 2, t.j. existujú také významy C 1 A C 2, podľa ktorého vzorec (3) určuje riešenie rovnice (1) spĺňajúce dané počiatočné podmienky. Q.E.D.
Prejdime k všeobecnej metóde hľadania čiastkových riešení nehomogénnej rovnice.
Napíšme všeobecné riešenie homogénnej rovnice (2)
Hľadáme konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice (1) v tvare (7), berúc do úvahy C 1 A C 2 ako niektoré zatiaľ neznáme funkcie z X.
Rozlišujme rovnosť (7):
Vyberme funkcie, ktoré hľadáte C 1 A C 2 aby platila rovnosť
Ak vezmeme do úvahy túto dodatočnú podmienku, potom prvá derivácia bude mať formu
Keď teraz tento výraz rozlíšime, zistíme:
Dosadením do rovnice (1) dostaneme
Výrazy v prvých dvoch zátvorkách sa stanú nulou, pretože y 1 A y 2– riešenia homogénnej rovnice. Preto posledná rovnosť nadobúda formu
Funkcia (7) teda bude riešením nehomogénnej rovnice (1), ak funkcie C 1 A C 2 spĺňajú rovnice (8) a (9). Vytvorme sústavu rovníc z rovníc (8) a (9).
Keďže determinantom tohto systému je Wronského determinant pre lineárne nezávislé riešenia y 1 A y 2 rovnica (2), potom sa nerovná nule. Preto pri riešení systému nájdeme obe určité funkcie X:
Riešením tohto systému nájdeme , odkiaľ v dôsledku integrácie získame . Ďalej nájdené funkcie dosadíme do vzorca, získame všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice, kde sú ľubovoľné konštanty.
Metóda variácie ľubovoľných konštánt
Metóda variácie ľubovoľných konštánt na zostavenie riešenia lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice
a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)
pozostáva z nahradenia ľubovoľných konštánt c k vo všeobecnom riešení
z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)
zodpovedajúca homogénna rovnica
a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0
pre pomocné funkcie c k (t) , ktorého deriváty spĺňajú lineárny algebraický systém
Determinant systému (1) je Wronskián funkcií z 1 ,z 2 ,...,z n , čo zabezpečuje jeho jedinečnú riešiteľnosť vzhľadom na .
Ak sú primitívne deriváty pre , brané pri pevných hodnotách integračných konštánt, potom funkcia
je riešením pôvodnej lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice. Integrácia nehomogénnej rovnice za prítomnosti všeobecného riešenia do zodpovedajúcej homogénnej rovnice sa tak redukuje na kvadratúry.
Metóda variácie ľubovoľných konštánt na zostavenie riešení sústavy lineárnych diferenciálnych rovníc vo vektorovom normálnom tvare
spočíva v zostrojení konkrétneho riešenia (1) vo forme
Kde Z(t) je základom riešení príslušnej homogénnej rovnice zapísanej vo forme matice a vektorová funkcia , ktorá nahradila vektor ľubovoľných konštánt, je definovaná vzťahom . Požadované konkrétne riešenie (s nulovými počiatočnými hodnotami pri t = t 0 vyzerá
Pre systém s konštantnými koeficientmi je posledný výraz zjednodušený:
Matrix Z(t)Z− 1 (τ) volal Cauchyho matrica operátor L = A(t) .
Teoretické minimumV teórii diferenciálnych rovníc existuje metóda, ktorá tvrdí, že má pre túto teóriu dosť vysoký stupeň univerzálnosti.
Hovoríme o metóde variácie ľubovoľnej konštanty, použiteľnej na riešenie rôznych tried diferenciálnych rovníc a ich
systémov To je presne ten prípad, keď je teória – ak vytiahneme dôkazy tvrdení zo zátvoriek – minimálna, ale umožňuje nám dosiahnuť
významné výsledky, preto sa dôraz bude klásť na príklady.Všeobecná myšlienka metódy je pomerne jednoduchá na formuláciu. Nech je daná rovnica (systém rovníc) ťažko riešiteľná alebo dokonca nezrozumiteľná,
ako to vyriešiť. Je však jasné, že odstránením niektorých členov z rovnice je to vyriešené. Presne toto potom riešia zjednodušene
rovnice (sústavy), získame riešenie obsahujúce určitý počet ľubovoľných konštánt - v závislosti od poradia rovnice (počet
rovnice v systéme). Potom sa predpokladá, že konštanty v nájdenom riešení nie sú v skutočnosti konštanty; nájdené riešenie
sa dosadí do pôvodnej rovnice (systému), získa sa diferenciálna rovnica (alebo systém rovníc) na určenie „konštantov“.
V aplikácii metódy variácie ľubovoľnej konštanty na rôzne problémy existuje určitá špecifickosť, ale toto sú už špecifiká, ktoré
demonštrované na príkladoch.Uvažujme samostatne riešenie lineárnych nehomogénnych rovníc vyšších rádov, t.j. rovnice formulára
.
Všeobecné riešenie lineárnej nehomogénnej rovnice je súčtom všeobecného riešenia zodpovedajúcej homogénnej rovnice a konkrétneho riešenia
tejto rovnice. Predpokladajme, že všeobecné riešenie homogénnej rovnice už bolo nájdené, konkrétne bol skonštruovaný základný systém riešení (FSS).
. Potom sa všeobecné riešenie homogénnej rovnice rovná .
Musíme nájsť nejaké konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice. Na tento účel sa predpokladá, že konštanty závisia od premennej.
Ďalej musíte vyriešiť sústavu rovníc.
Teória zaručuje, že tento systém algebraických rovníc vzhľadom na derivácie funkcií má jedinečné riešenie.
Pri hľadaní samotných funkcií sa konštanty integrácie neobjavujú: hľadá sa predsa akékoľvek jediné riešenie.V prípade riešenia sústav lineárnych nehomogénnych rovníc prvého rádu tvaru
Algoritmus zostáva takmer nezmenený. Najprv musíte nájsť FSR zodpovedajúceho homogénneho systému rovníc, zostaviť základnú maticu
systému, ktorého stĺpce predstavujú prvky FSR. Ďalej sa zostaví rovnica.
Pri riešení systému určíme funkcie, čím nájdeme konkrétne riešenie pôvodného systému
(základná matica je vynásobená stĺpcom nájdených funkcií).
Pridáme ho k všeobecnému riešeniu zodpovedajúcej sústavy homogénnych rovníc, ktorá je zostrojená na základe už nájdenej FSR.
Získa sa všeobecné riešenie pôvodného systému.Príklady.
Príklad 1 Lineárne nehomogénne rovnice prvého rádu.
Uvažujme zodpovedajúcu homogénnu rovnicu (označíme požadovanú funkciu):
.
Táto rovnica sa dá ľahko vyriešiť pomocou metódy separácie premenných:
.
Teraz si predstavme riešenie pôvodnej rovnice vo forme, kde funkcia ešte nebola nájdená.
Tento typ riešenia dosadíme do pôvodnej rovnice:
.
Ako vidíte, druhý a tretí výraz na ľavej strane sa navzájom rušia - toto je charakteristický metóda variácie ľubovoľnej konštanty.
Tu je to už skutočne ľubovoľná konštanta. teda
.Príklad 2 Bernoulliho rovnica.
Postupujeme podobne ako v prvom príklade – riešime rovnicu
metóda separácie premenných. Ukázalo sa, že hľadáme riešenie pôvodnej rovnice vo forme
.
Túto funkciu dosadíme do pôvodnej rovnice:
.
A opäť dochádza k zníženiu:
.
Tu je potrebné pamätať na to, aby sa pri delení podľa riešenia nestratilo. A riešenie pôvodného zodpovedá prípadu
rovnice Pripomeňme si to. takže,.
Poďme si to zapísať.
Toto je riešenie. Pri písaní odpovede by ste mali uviesť aj predtým nájdené riešenie, pretože nezodpovedá žiadnej konečnej hodnote
konštantyPríklad 3 Lineárne nehomogénne rovnice vyšších rádov.
Okamžite si všimnime, že túto rovnicu možno vyriešiť jednoduchšie, ale je vhodné demonštrovať metódu pomocou nej. Aj keď nejaké výhody
Variačná metóda má aj v tomto príklade ľubovoľnú konštantu.
Takže musíte začať s FSR zodpovedajúcej homogénnej rovnice. Pripomeňme, že na nájdenie FSR sa zostaví charakteristická krivka
rovnica
.
Teda všeobecné riešenie homogénnej rovnice
.
Tu zahrnuté konštanty sa musia meniť. Vytvorenie systému
Metóda variácie ľubovoľnej konštanty alebo Lagrangeova metóda je ďalším spôsobom riešenia lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu a Bernoulliho rovnice.
Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu sú rovnice tvaru y’+p(x)y=q(x). Ak je na pravej strane nula: y’+p(x)y=0, potom je to lineárna homogénne rovnica 1. rádu. Rovnica s nenulovou pravou stranou, y’+p(x)y=q(x), je teda heterogénne Lineárna rovnica 1. rádu.
Metóda variácie ľubovoľnej konštanty (Lagrangeova metóda) je nasledujúca:
1) Hľadáme všeobecné riešenie homogénnej rovnice y’+p(x)y=0: y=y*.
2) Vo všeobecnom riešení nepovažujeme C za konštantu, ale za funkciu x: C = C (x). Nájdeme deriváciu všeobecného riešenia (y*)’ a dosadíme výsledný výraz za y* a (y*)’ do počiatočnej podmienky. Z výslednej rovnice nájdeme funkciu C(x).
3) Vo všeobecnom riešení homogénnej rovnice namiesto C dosadíme nájdený výraz C(x).
Pozrime sa na príklady metódy variácie ľubovoľnej konštanty. Zoberme si rovnaké úlohy ako v, porovnajme priebeh riešenia a uistime sa, že získané odpovede sa zhodujú.
1) y'=3x-y/x
Prepíšme rovnicu v štandardnom tvare (na rozdiel od Bernoulliho metódy, kde sme potrebovali formu zápisu len na to, aby sme videli, že rovnica je lineárna).
y'+y/x=3x (I). Teraz postupujeme podľa plánu.
1) Vyriešte homogénnu rovnicu y’+y/x=0. Toto je rovnica s oddeliteľnými premennými. Predstavte si y’=dy/dx, náhrada: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Obe strany rovnice vynásobíme dx a vydelíme xy≠0: dy/y=-dx/x. Poďme integrovať:
2) Vo výslednom všeobecnom riešení homogénnej rovnice budeme C uvažovať nie ako konštantu, ale funkciu x: C=C(x). Odtiaľ
Výsledné výrazy dosadíme do podmienky (I):
Integrujme obe strany rovnice:
tu C je už nejaká nová konštanta.
3) Vo všeobecnom riešení homogénnej rovnice y=C/x, kde sme predpokladali C=C(x), teda y=C(x)/x, namiesto C(x) dosadíme nájdený výraz x³ +C: y=(x3+C)/x alebo y=x2+C/x. Dostali sme rovnakú odpoveď ako pri riešení Bernoulliho metódou.
Odpoveď: y=x²+C/x.
2) y’+y=cosx.
Tu je rovnica už napísaná v štandardnej forme, nie je potrebné ju transformovať.
1) Riešte homogénnu lineárnu rovnicu y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Poďme integrovať:
Aby sme získali pohodlnejšiu formu zápisu, vezmeme exponent na mocninu C ako nové C:
Táto transformácia sa uskutočnila, aby bolo pohodlnejšie nájsť derivát.
2) Vo výslednom všeobecnom riešení lineárnej homogénnej rovnice považujeme C nie za konštantu, ale za funkciu x: C=C(x). Za tejto podmienky
Výsledné výrazy y a y dosadíme do podmienky:
Vynásobte obe strany rovnice
Integrujeme obe strany rovnice pomocou vzorca integrácie podľa častí, dostaneme:
Tu už C nie je funkcia, ale obyčajná konštanta.
3) Vo všeobecnom riešení homogénnej rovnice
nahraďte nájdenú funkciu C(x):
Dostali sme rovnakú odpoveď ako pri riešení Bernoulliho metódou.
Metóda variácie ľubovoľnej konštanty je tiež použiteľná na riešenie.
y'x+y=-xy².
Rovnicu uvedieme do štandardného tvaru: y’+y/x=-y² (II).
1) Vyriešte homogénnu rovnicu y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Obe strany rovnice vynásobíme dx a vydelíme y: dy/y=-dx/x. Teraz integrujme:
Výsledné výrazy dosadíme do podmienky (II):
Zjednodušme si to:
Získali sme rovnicu so separovateľnými premennými pre C a x:
Tu je C už obyčajná konštanta. Počas integračného procesu sme namiesto C(x) napísali jednoducho C, aby sme nepreťažili zápis. A na záver sme sa vrátili k C(x), aby sme si C(x) nepomýlili s novým C.
3) Vo všeobecnom riešení homogénnej rovnice y=C(x)/x dosadíme nájdenú funkciu C(x):
Dostali sme rovnakú odpoveď ako pri riešení Bernoulliho metódou.
Príklady autotestov:
1. Prepíšme rovnicu v štandardnom tvare: y’-2y=x.
1) Vyriešte homogénnu rovnicu y’-2y=0. y’=dy/dx, teda dy/dx=2y, vynásobte obe strany rovnice dx, vydeľte y a integrujte:
Odtiaľto nájdeme y:
Do podmienky dosadíme výrazy pre y a y’ (pre stručnosť použijeme C namiesto C(x) a C’ namiesto C"(x)):
Na nájdenie integrálu na pravej strane použijeme vzorec integrácie podľa častí:
Teraz dosadíme u, du a v do vzorca:
Tu C = konšt.
3) Teraz do roztoku dosadíme homogénny
Metóda variácie ľubovoľných konštánt sa používa na riešenie nehomogénnych diferenciálnych rovníc. Táto lekcia je určená tým žiakom, ktorí sa už v danej téme viac či menej orientujú. Ak sa s diaľkovým ovládaním ešte len začínate zoznamovať, t.j. Ak ste čajník, odporúčam začať prvou lekciou: Diferenciálne rovnice prvého rádu. Príklady riešení. A ak už končíte, zahoďte prosím možný predsudok, že metóda je náročná. Pretože je to jednoduché.
V akých prípadoch sa používa metóda variácie ľubovoľných konštánt?
1) Na riešenie možno použiť metódu variácie ľubovoľnej konštanty lineárny nehomogénny DE 1. rádu. Keďže rovnica je prvého rádu, potom je konštanta tiež jedna.
2) Metóda variácie ľubovoľných konštánt sa používa na riešenie niektorých lineárne nehomogénne rovnice druhého rádu. Tu sa líšia dve konštanty.
Je logické predpokladať, že lekcia bude pozostávať z dvoch odsekov... Tak som napísal túto vetu a asi 10 minút som bolestne rozmýšľal, aké ďalšie šikovné svinstvo by som mohol pridať pre plynulý prechod k praktickým ukážkam. Ale z nejakého dôvodu nemám po prázdninách žiadne myšlienky, hoci sa nezdá, že by som niečo zneužil. Preto poďme rovno k prvému odseku.
Metóda variácie ľubovoľnej konštanty
pre lineárnu nehomogénnu rovnicu prvého rádu
Pred zvážením metódy variácie ľubovoľnej konštanty je vhodné oboznámiť sa s článkom Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu. V tej lekcii sme cvičili prvé riešenie nehomogénne 1. rádu DE. Toto prvé riešenie, pripomínam, sa volá náhradná metóda alebo Bernoulliho metóda(nezamieňať s Bernoulliho rovnica!!!)
Teraz sa pozrieme druhé riešenie– metóda variácie ľubovoľnej konštanty. Uvediem len tri príklady, ktoré preberiem z vyššie uvedenej lekcie. Prečo tak málo? Pretože v skutočnosti bude riešenie druhým spôsobom veľmi podobné riešeniu prvým spôsobom. Okrem toho sa podľa mojich pozorovaní metóda variácie ľubovoľných konštánt používa menej často ako metóda náhrady.
Príklad 1
(Odlišuje sa od príkladu č. 2 lekcie Lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice 1. rádu)
Riešenie: Táto rovnica je lineárna nehomogénna a má známy tvar: 
V prvej fáze je potrebné vyriešiť jednoduchšiu rovnicu: 
To znamená, že hlúpo resetujeme pravú stranu a namiesto nej napíšeme nulu.
Rovnica zavolám pomocná rovnica.
V tomto príklade musíte vyriešiť nasledujúcu pomocnú rovnicu:
Pred nami oddeliteľná rovnica, ktorého riešenie (dúfam) už pre vás nie je ťažké: 
Takto: 
– všeobecné riešenie pomocnej rovnice.
Na druhom kroku vymeníme nejaká konštanta na Teraz neznáma funkcia, ktorá závisí od "x":
Odtiaľ pochádza názov metódy – variujeme konštantu. Alternatívne môže byť konštanta nejaká funkcia, ktorú teraz musíme nájsť.
IN originálny nehomogénna rovnica urobme náhradu:
Nahradíme a 
do rovnice :
Kontrolný bod - dva výrazy na ľavej strane sa rušia. Ak sa tak nestane, mali by ste hľadať chybu vyššie.
Výsledkom nahradenia bola rovnica so separovateľnými premennými. Oddeľujeme premenné a integrujeme.
Aké požehnanie, exponenti tiež zrušili:
K nájdenej funkcii pridáme „normálnu“ konštantu:
V záverečnej fáze si pamätáme na našu výmenu:
Funkcia sa práve našla!
Takže všeobecné riešenie je: 
odpoveď: spoločné rozhodnutie: 
Ak si vytlačíte dve riešenia, ľahko si všimnete, že v oboch prípadoch sme našli rovnaké integrály. Jediný rozdiel je v algoritme riešenia.
Teraz niečo zložitejšie, vyjadrím sa aj k druhému príkladu:
Príklad 2
Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice 
(Odlišuje sa od príkladu č. 8 lekcie Lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice 1. rádu)
Riešenie: Zredukujeme rovnicu do tvaru :
Obnovme pravú stranu a vyriešme pomocnú rovnicu:
Všeobecné riešenie pomocnej rovnice:
V nehomogénnej rovnici vykonáme náhradu:
Podľa pravidla diferenciácie produktov: 
Nahradíme a do pôvodnej nehomogénnej rovnice:
Dva výrazy na ľavej strane sa rušia, čo znamená, že sme na správnej ceste: 
Poďme integrovať po častiach. Chutné písmeno zo vzorca integrácie po častiach je už zahrnuté v riešení, takže používame napríklad písmená „a“ a „be“:
Teraz si spomeňme na výmenu:
odpoveď: spoločné rozhodnutie:
A jeden príklad pre nezávislé riešenie:
Príklad 3
Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice zodpovedajúce danej počiatočnej podmienke.
,
(Odlišuje sa od príkladu č. 4 lekcie Lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice 1. rádu)
Riešenie:
Toto DE je lineárne nehomogénne. Používame metódu variácie ľubovoľných konštánt. Poďme vyriešiť pomocnú rovnicu:
Oddeľujeme premenné a integrujeme: 
Spoločné rozhodnutie: 
V nehomogénnej rovnici vykonáme náhradu: 
Urobme náhradu: 
Takže všeobecné riešenie je: 
Nájdite konkrétne riešenie zodpovedajúce danej počiatočnej podmienke: 
odpoveď: súkromné riešenie:
Riešenie na konci hodiny môže slúžiť ako príklad na dokončenie zadania.
Metóda variácie ľubovoľných konštánt
pre lineárnu nehomogénnu rovnicu druhého rádu
s konštantnými koeficientmi
Často som počul názor, že metóda variácie ľubovoľných konštánt pre rovnicu druhého rádu nie je jednoduchá vec. Predpokladám však nasledovné: s najväčšou pravdepodobnosťou sa mnohým zdá metóda náročná, pretože sa nevyskytuje tak často. V skutočnosti však neexistujú žiadne zvláštne ťažkosti - priebeh rozhodnutia je jasný, transparentný a zrozumiteľný. A krásny.
Pre zvládnutie metódy je žiadúce vedieť riešiť nehomogénne rovnice druhého rádu výberom konkrétneho riešenia na základe tvaru pravej strany. Táto metóda je podrobne popísaná v článku. Nehomogénne DE 2. rádu. Pripomíname, že lineárna nehomogénna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi má tvar:
Metóda výberu, o ktorej sme hovorili v predchádzajúcej lekcii, funguje len v obmedzenom počte prípadov, keď pravá strana obsahuje polynómy, exponenciály, sínusy a kosínusy. Čo však robiť, keď je napríklad vpravo zlomok, logaritmus, dotyčnica? V takejto situácii prichádza na pomoc metóda variácie konštánt.
Príklad 4
Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice druhého rádu 
Riešenie: Na pravej strane tejto rovnice je zlomok, takže môžeme okamžite povedať, že metóda výberu konkrétneho riešenia nefunguje. Používame metódu variácie ľubovoľných konštánt.
Neexistujú žiadne známky búrky, začiatok riešenia je úplne obyčajný:
nájdeme spoločné rozhodnutie vhodné homogénne rovnice: 
Poďme zostaviť a vyriešiť charakteristickú rovnicu: 
– získajú sa korene konjugovaného komplexu, takže všeobecné riešenie je:
Venujte pozornosť záznamu všeobecného riešenia - ak existujú zátvorky, otvorte ich.
Teraz urobíme takmer rovnaký trik ako pri rovnici prvého rádu: meníme konštanty a nahrádzame ich neznámymi funkciami. teda všeobecné riešenie nehomogénnych budeme hľadať rovnice v tvare:
Kde - na Teraz neznáme funkcie.
Vyzerá to ako skládka domového odpadu, ale teraz všetko vytriedime.
Neznáme sú deriváty funkcií. Naším cieľom je nájsť derivácie a nájdené derivácie musia spĺňať prvú aj druhú rovnicu systému.
Odkiaľ pochádzajú „Gréci“? Prináša ich bocian. Pozrieme sa na všeobecné riešenie získané skôr a napíšeme:
Poďme nájsť deriváty:
Ľavé časti sú riešené. Čo je napravo?
je pravá strana pôvodnej rovnice, v tomto prípade:
Koeficient je koeficient druhej derivácie:
V praxi takmer vždy a náš príklad nie je výnimkou.
Všetko je jasné, teraz môžete vytvoriť systém: 
Systém je zvyčajne vyriešený podľa Cramerových vzorcov pomocou štandardného algoritmu. Jediný rozdiel je v tom, že namiesto čísel máme funkcie.
Poďme nájsť hlavný determinant systému: 
Ak ste zabudli, ako sa odhaľuje determinant dva na dva, pozrite si lekciu Ako vypočítať determinant? Odkaz vedie na tabuľu hanby =)
Takže: to znamená, že systém má jedinečné riešenie.
Nájdenie derivátu: 
To však nie je všetko, zatiaľ sme našli len derivát.
Samotná funkcia sa obnoví integráciou:
Pozrime sa na druhú funkciu: 
Tu pridáme „normálnu“ konštantu
V záverečnej fáze riešenia si pamätáme, v akej forme sme hľadali všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice? V takej:
Funkcie, ktoré potrebujete, ste práve našli! 
Zostáva len vykonať substitúciu a zapísať odpoveď:
odpoveď: spoločné rozhodnutie:
V zásade mohla odpoveď rozšíriť zátvorky.
Úplná kontrola odpovede sa vykonáva podľa štandardnej schémy, o ktorej sa hovorilo v lekcii. Nehomogénne DE 2. rádu. Overenie však nebude jednoduché, pretože je potrebné nájsť dosť ťažké deriváty a vykonať ťažkopádnu substitúciu. To je nepríjemná vlastnosť, keď riešite takéto difúzory.
Príklad 5
Vyriešte diferenciálnu rovnicu zmenou ľubovoľných konštánt
Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. V skutočnosti je na pravej strane aj zlomok. Zapamätajme si trigonometrický vzorec, mimochodom, bude potrebné ho použiť pri riešení.
Metóda variácie ľubovoľných konštánt je najuniverzálnejšia metóda. Dokáže vyriešiť akúkoľvek rovnicu, ktorá sa dá vyriešiť spôsob výberu konkrétneho riešenia na základe tvaru pravej strany. Vynára sa otázka: prečo aj tam nepoužiť metódu variácie ľubovoľných konštánt? Odpoveď je zrejmá: výber konkrétneho riešenia, o ktorom sa diskutovalo v triede Nehomogénne rovnice druhého rádu, výrazne zrýchli riešenie a skráti záznam - žiadne trápenie s determinantmi a integrálmi.
Pozrime sa na dva príklady s Cauchy problém.
Príklad 6
Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice zodpovedajúce daným počiatočným podmienkam
, 
Riešenie: Zlomok a exponent sú opäť na zaujímavom mieste.
Používame metódu variácie ľubovoľných konštánt.
nájdeme spoločné rozhodnutie vhodné homogénne rovnice: 
– získajú sa rôzne skutočné korene, takže všeobecné riešenie je:
Všeobecné riešenie nehomogénnych hľadáme rovnice v tvare: , kde – na Teraz neznáme funkcie.
Vytvorme si systém:
V tomto prípade:
,
Hľadanie derivátov: 
, 
Takto: 
Poďme vyriešiť systém pomocou Cramerových vzorcov:
, čo znamená, že systém má jedinečné riešenie.
Funkciu obnovíme integráciou:
Používa sa tu metóda subsumovania funkcie pod diferenciálne znamienko.
Obnovíme druhú funkciu integráciou: 
Tento integrál je vyriešený variabilná náhradná metóda:
Zo samotnej výmeny vyjadrujeme:
Takto: 
Tento integrál možno nájsť metóda kompletnej štvorcovej extrakcie, ale v príkladoch s difúzormi preferujem rozšírenie frakcie metóda neurčených koeficientov:
Našli sa obe funkcie:
Výsledkom je, že všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice je:
Poďme nájsť konkrétne riešenie, ktoré spĺňa počiatočné podmienky .
Technicky sa hľadá riešenie štandardným spôsobom, o ktorom sa hovorilo v článku Nehomogénne diferenciálne rovnice druhého rádu.
Počkajte, teraz nájdeme derivát nájdeného všeobecného riešenia:
To je taká hanba. Nie je potrebné to zjednodušovať, jednoduchšie je okamžite vytvoriť systém rovníc. Podľa počiatočných podmienok :
Nahraďte nájdené hodnoty konštánt 
k vseobecnemu rieseniu:
V odpovedi môžu byť logaritmy trochu zabalené.
odpoveď: súkromné riešenie: 
Ako vidíte, ťažkosti môžu nastať v integráloch a deriváciách, ale nie v algoritme samotnej metódy variácie ľubovoľných konštánt. Nie ja som ťa zastrašil, je to všetko Kuznecovova zbierka!
Pre relax posledný, jednoduchší príklad, ako to vyriešiť sami:
Príklad 7
Vyriešte Cauchyho problém
, 
Príklad je jednoduchý, ale kreatívny, keď vytvárate systém, pred rozhodnutím si ho pozorne prezrite ;-),
V dôsledku toho je všeobecné riešenie:
Nájdite konkrétne riešenie zodpovedajúce počiatočným podmienkam .
Nahraďte nájdené hodnoty konštánt do všeobecného riešenia:
odpoveď: súkromné riešenie:
