Dlaždice

Možné případy umístění přímky a roviny. Vzájemná poloha přímky a roviny. Metody pro definování roviny

Vzdálený prvek.

vzdálený prvek.

a) nemají žádné společné body;

Teorém.

Označení střihů

GOST 2.305-2008 stanoví následující požadavky na označení sekce:

1. Poloha roviny řezu je na výkrese vyznačena čárou řezu.

2. Pro linii řezu by měla být použita otevřená čára (tloušťka od S do 1,5S, délka čáry 8-20 mm).

3. V případě složitého řezu se tahy provádějí také v průsečíku řezných rovin mezi sebou.

4. Šipky by měly být umístěny na počáteční a konečný tah označující směr pohledu, šipky by měly být umístěny ve vzdálenosti 2-3 mm od vnějšího konce tahu.

5. Rozměry šipek musí odpovídat rozměrům na obrázku 14.

6. Počáteční a koncový tah by neměly protínat obrys odpovídajícího obrázku.

7. Na začátek a konec čáry řezu a v případě potřeby na průsečík řezných rovin umístěte stejné velké písmeno ruské abecedy. Písmena jsou umístěna poblíž šipek označujících směr pohledu a na průsečíky ze strany vnější roh(Obrázek 24).

Obrázek 24 - Příklady označení sekce

8. Střih musí být označen nápisem jako „AA“ (vždy dvě písmena oddělená pomlčkou).

9. Když se sečná rovina shoduje s rovinou symetrie objektu jako celku a odpovídající obrázky jsou umístěny na stejném listu v přímém propojení projekcí a nejsou odděleny žádnými jinými obrázky, pro horizontální, čelní a profilové řezy poloha sečné roviny není zaznamenána a řez není doprovázen nápisem.

10. Čelní a profilové řezy mají zpravidla pozici odpovídající přijaté poloze tohoto předmětu na hlavním obrázku výkresu.

11. Vodorovné, čelní a profilové řezy lze umístit na místo odpovídajících hlavních pohledů.

12. Je povoleno umístit řez kamkoli do kreslicího pole, stejně jako s otočením s přidáním konvenčního grafického označení - ikonou „Otočeno“ (obrázek 25).

Obrázek 25 - Grafický symbol – ikona „Otočeno“.

Označení sekcí je obdobné označení řezů a skládá se ze stop sečné roviny a šipky označující směr pohledu, jakož i písmene umístěného s mimošipky (obrázek 1c, obrázek 3). Odsazený řez není označen a rovina řezu není zobrazena, pokud se čára řezu shoduje s osou symetrie řezu a samotný řez je umístěn na pokračování stopy roviny řezu nebo v mezeře mezi částmi řezu. pohled. U symetrického superponovaného řezu také není znázorněna rovina řezu. Pokud je řez asymetrický a nachází se v mezeře nebo je překryt (obrázek 2 b), je čára řezu nakreslena šipkami, ale není označena písmeny.

Sekce může být umístěna s otočením, přičemž nápis nad sekcí je opatřen slovem „otočeno“. Pro několik stejných řezů vztahujících se k jednomu objektu jsou čáry řezu označeny stejným písmenem a je nakreslen jeden řez. V případech, kdy se ukáže, že sekce sestává z oddělených částí, by měly být použity řezy.

Rovný obecná pozice

Přímka v obecné poloze (obr. 2.2) je přímka, která není rovnoběžná s žádnou z daných promítacích rovin. Jakýkoli segment takové přímky se v daném systému promítacích rovin promítá zkresleně. Zkresleně se promítají i úhly sklonu této přímky k promítacím rovinám.

Rýže. 2.2.

Přímá soukromá ustanovení
Čáry určité polohy zahrnují čáry rovnoběžné s jednou nebo dvěma promítacími rovinami.
Libovolná přímka (přímá nebo křivka) rovnoběžná s projekční rovinou se nazývá vodorovná čára. V inženýrské grafice existují tři hlavní čáry úrovně: horizontální, čelní a profilové čáry.

Rýže. 2.3-a

Horizontální je jakákoli přímka rovnoběžná s vodorovnou rovinou průmětů (obr. 2.3-a). Čelní průmět horizontály je vždy kolmý ke komunikačním liniím. Jakýkoli vodorovný segment na vodorovné projekční rovině se promítne na svou skutečnou velikost. Na tuto rovinu se promítá skutečná velikost a úhel sklonu vodorovné (přímky) k čelní rovině průmětů. Jako příklad ukazuje obr. 2.3-a vizuální obrázek a komplexní horizontální nákres h, nakloněný k rovině P 2 pod úhlem b .
Rýže. 2,3-b

Frontální je přímka rovnoběžná s frontální rovinou projekcí (obr. 2.3-b). Horizontální průmět čela je vždy kolmý na komunikační linky. Jakýkoli segment frontálu na frontální rovinu projekcí se promítne do své skutečné velikosti. Na tuto rovinu se promítá skutečná velikost a úhel sklonu frontální (přímky) k vodorovné rovině průmětů (úhel A).
Rýže. 2,3-v

Profilová čára je přímka rovnoběžná s profilovou rovinou výstupků (obr. 2.3-c). Vodorovné a čelní průměty profilové linie jsou rovnoběžné se spojovacími liniemi těchto výstupků. Jakýkoli segment čáry profilu (přímka) se promítne do roviny profilu na svou skutečnou velikost. Úhly sklonu přímky profilu k promítacím rovinám se promítají do stejné roviny ve skutečné velikosti. P 1 a P 2. Při zadávání profilové čáry ve složitém výkresu musíte určit dva body této čáry.

Úrovně rovnoběžné se dvěma promítacími rovinami budou kolmé na třetí projekční rovinu. Takové čáry se nazývají vyčnívající čáry. Existují tři hlavní promítací čáry: horizontální, čelní a profilové projekční čáry.
Rýže. 2,3 g Rýže. 2,3-d Rýže. 2.3

Vodorovně vyčnívající přímka (obr. 2.3-d) je přímka kolmá k rovině P 1. Jakýkoli segment této přímky se promítne do roviny P P 1 - k věci.

Čelně vyčnívající přímka (obr. 2.H-e) se nazývá přímka kolmá k rovině P 2. Jakýkoli segment této přímky se promítne do roviny P 1 bez zkreslení, ale v rovině P 2 - k věci.

Profil vyčnívající přímka (obr. 2.3-f) je přímka kolmá k rovině P 3, tzn. přímka rovnoběžná s promítacími rovinami P 1 a P 2. Jakýkoli segment této přímky se promítne do roviny P 1 a P 2 bez zkreslení, ale na rovině P 3 - k věci.

Hlavní linie v rovině

Mezi přímkami patřícími k rovině zaujímají zvláštní místo přímky, které zaujímají určitou pozici v prostoru:

1. Horizontály h - přímky ležící v dané rovině a rovnoběžné s vodorovnou rovinou průmětů (h//P1) (obr. 6.4).

Obrázek 6.4 Horizontální

2. Čela f - přímky, umístěné v rovině a rovnoběžné s čelní rovinou průmětů (f//P2) (obr. 6.5).

Obrázek 6.5 Přední strana

3. Profilové přímky p - přímky, které jsou v dané rovině a rovnoběžné s profilovou rovinou průmětů (p//P3) (obr. 6.6). Je třeba poznamenat, že stopy letadla lze také připsat hlavním čarám. Horizontální stopa je horizontála roviny, frontální je frontální a profil je profilová linie roviny.

Obrázek 6.6 Profil rovný

4. Přímka největšího sklonu a její horizontální průmět svírají lineární úhel j, který měří dihedrální úhel svíraný touto rovinou a horizontální rovinou průmětů (obr. 6.7). Je zřejmé, že pokud přímka nemá dva společné body s rovinou, pak je buď rovnoběžná s rovinou, nebo ji protíná.

Obrázek 6.7 Čára největšího sklonu

Kinematická metoda tvorby povrchu. Určení povrchu ve výkresu.

V technické grafice je plocha považována za soubor po sobě jdoucích poloh čáry pohybující se v prostoru podle určitého zákona. Během tvorby povrchu může čára 1 zůstat nezměněna nebo změnit svůj tvar.
Pro přehlednost obrazu plochy ve složité kresbě je vhodné zákon pohybu specifikovat graficky ve formě rodiny čar (a, b, c). Zákon pohybu čáry 1 může být specifikován dvěma (a a b) nebo jednou (a) čárou a dalšími podmínkami, které objasňují zákon pohybu 1.
Pohybující se přímka 1 se nazývá tvořící čára, pevné čáry a, b, c se nazývají vodítka.
Uvažujme proces tvorby povrchu na příkladu znázorněném na obr. 3.1.
Zde se jako tvořící čára bere přímka 1. Zákon pohybu tvořící čáry je dán vodítkem a a přímkou b. To znamená, že tvořící čára 1 klouže podél vodítka a, přičemž zůstává po celou dobu rovnoběžná s přímkou b.
Tento způsob tvorby povrchu se nazývá kinematický. S jeho pomocí můžete tvarovat a zasazovat do výkresu různé povrchy. Zejména obr. 3.1 ukazuje nejobecnější případ válcové plochy.

Rýže. 3.1.

Dalším způsobem, jak vytvořit povrch a znázornit jej na výkresu, je specifikovat povrch pomocí sady bodů nebo čar, které k němu patří. Body a čáry jsou v tomto případě voleny tak, aby umožňovaly s dostatečnou mírou přesnosti určit tvar povrchu a řešit na něm různé problémy.
Sada bodů nebo čar, které definují povrch, se nazývá jeho rám.
Podle toho, zda je plošný rámec definován body nebo čarami, se rámce dělí na bodové a lineární.
Obrázek 3.2 ukazuje plošný rámec sestávající ze dvou ortogonálně umístěných rodin čar a1, a2, a3, ..., an a b1, b2, b3, ..., bn.

Rýže. 3.2.

Kuželosečky.

KUŽELOVÉ ŘEZY, ploché křivky, které získáme protnutím pravého kruhového kužele s rovinou, která neprochází jeho vrcholem (obr. 1). Z hlediska analytické geometrie je kuželosečka místem bodů splňujících rovnici druhého řádu. S výjimkou degenerovaných případů diskutovaných v poslední části jsou kuželosečky elipsy, hyperboly nebo paraboly.

Kuželosečky se často vyskytují v přírodě a technice. Například oběžné dráhy planet obíhajících kolem Slunce mají tvar elips. Kruh je speciální případ elipsy, ve které je hlavní osa rovna vedlejší. Parabolické zrcadlo má tu vlastnost, že všechny dopadající paprsky rovnoběžné s jeho osou se sbíhají v jednom bodě (ohnisku). To se používá ve většině odrazných dalekohledů, které používají parabolická zrcadla, stejně jako v radarových anténách a speciálních mikrofonech s parabolickými reflektory. Paprsek rovnoběžných paprsků vychází ze zdroje světla umístěného v ohnisku parabolického reflektoru. Proto se parabolická zrcátka používají ve vysoce výkonných reflektorech a světlometech automobilů. Hyperbola je grafem mnoha důležitých fyzikálních vztahů, jako je Boylův zákon (vztahující se k tlaku a objemu ideálního plynu) a Ohmův zákon, který definuje elektrický proud jako funkci odporu při konstantním napětí.

RANÁ HISTORIE

Za objevitele kuželoseček je údajně považován Menaechmus (4. století př. n. l.), žák Platóna a učitel Alexandra Velikého. Menaechmus použil parabolu a rovnostrannou hyperbolu k vyřešení problému zdvojnásobení krychle.

Pojednání o kuželosečkách sepsané Aristaeem a Eukleidem na konci 4. stol. př. n. l. byly ztraceny, ale materiály z nich byly zahrnuty do slavných kuželoseček Apollonia z Pergy (asi 260–170 př. n. l.), které se dochovaly dodnes. Apollonius opustil požadavek, aby rovina sečny tvořící čáry kužele byla kolmá, a změnou úhlu jejího sklonu získal všechny kuželosečky z jednoho kruhového kužele, rovného nebo nakloněné. Apolloniovi vděčíme i za moderní názvy křivek – elipsa, parabola a hyperbola.

Apollonius ve svých konstrukcích použil dvoulistý kruhový kužel (jako na obr. 1), takže se poprvé ukázalo, že hyperbola je křivka se dvěma větvemi. Od dob Apollonia se kuželosečky rozdělují do tří typů v závislosti na sklonu roviny řezu k tvořící přímce kužele. Elipsa (obr. 1a) se vytvoří, když rovina řezu protíná všechny tvořící přímky kužele v bodech jedné z jeho dutin; parabola (obr. 1,b) - když je rovina řezu rovnoběžná s jednou z tečných rovin kužele; hyperbola (obr. 1, c) - když rovina řezu protíná obě dutiny kužele.

KONSTRUKCE KUŽELOVÝCH ŘEZŮ

Starověcí řečtí matematici studovali kuželosečky jako průsečíky rovin a kuželů a považovali je také za trajektorie bodů v rovině. Bylo zjištěno, že elipsa může být definována jako těžiště bodů, součet vzdáleností, od kterých ke dvěma daným bodům je konstantní; parabola - jako místo bodů stejně vzdálených od daného bodu a dané přímky; hyperbola - jako těžiště bodů je rozdíl ve vzdálenostech od kterých ke dvěma daným bodům konstantní.

Tyto definice kuželoseček jako rovinných křivek také navrhují metodu pro jejich konstrukci pomocí natažené struny.

Elipsa.

Jsou-li konce nitě dané délky upevněny v bodech F1 a F2 (obr. 2), pak křivka popsaná hrotem tužky klouzajícím po těsně natažené niti má tvar elipsy. Body F1 a F2 se nazývají ohniska elipsy a segmenty V1V2 a v1v2 mezi průsečíky elipsy se souřadnicovými osami jsou hlavní a vedlejší osy. Pokud se body F1 a F2 shodují, pak se elipsa změní na kruh.

rýže. 2 Elipsy

Hyperbola.

Při konstrukci hyperboly je bod P, hrot tužky, upevněn na závitu, který se volně klouže po kolících instalovaných v bodech F1 a F2, jak je znázorněno na obr. 3, a. Vzdálenosti jsou zvoleny tak, že segment PF2 je delší než segment PF1 o pevnou hodnotu menší než vzdálenost F1F2. V tomto případě jeden konec závitu prochází pod čepem F1 a oba konce závitu procházejí přes čep F2. (Hrot tužky by neměl po niti klouzat, proto je nutné ji zajistit tak, že na niti uděláme malé očko a hrot jím provlékneme.) Nakreslíme jednu větev hyperboly (PV1Q), přičemž dbáme na to, aby nit zůstává stále napnutý a tažením obou konců nitě dolů za bod F2, a když je bod P pod segmentem F1F2, držte nit na obou koncích a opatrně ji vyleptejte (tj. uvolněte). Nakreslíme druhou větev hyperboly (PўV2Qў), předtím jsme si vyměnili role kolíků F1 a F2.

rýže. 3 hyperbola

Větve hyperboly se blíží dvěma přímým liniím, které se mezi větvemi protínají. Tyto čáry, nazývané asymptoty hyperboly, jsou konstruovány tak, jak je znázorněno na obr. 3, b. Úhlové koeficienty těchto čar se rovnají ± (v1v2)/(V1V2), kde v1v2 je úsečka úhlu mezi asymptotami, kolmá k úsečce F1F2; segment v1v2 se nazývá konjugovaná osa hyperboly a segment V1V2 je její příčná osa. Asymptoty jsou tedy úhlopříčky obdélníku se stranami procházejícími čtyřmi body v1, v2, V1, V2 rovnoběžnými s osami. Chcete-li sestavit tento obdélník, musíte určit umístění bodů v1 a v2. Jsou ve stejné vzdálenosti, rovni

od průsečíku os O. Tento vzorec předpokládá konstrukci pravoúhlého trojúhelníku s rameny Ov1 a V2O a přeponou F2O.

Pokud jsou asymptoty hyperboly vzájemně kolmé, nazývá se hyperbola rovnostranná. Dvě hyperboly, které mají společné asymptoty, ale s přeuspořádanými příčnými a konjugovanými osami, se nazývají vzájemně konjugované.

Parabola.

Ohniska elipsy a hyperboly znal Apollonius, ale ohnisko paraboly zřejmě poprvé stanovil Pappus (2. polovina 3. století), který tuto křivku definoval jako těžiště bodů stejně vzdálených od daného bodu (ohniska) a daná přímka, která se nazývá ředitel. Konstrukce paraboly pomocí natažené nitě, vycházející z definice Pappa, byla navržena Isidorem z Milétu (6. století). Umístíme pravítko tak, aby se jeho hrana kryla se směrnicí LLў (obr. 4) a na tuto hranu připevníme rameno AC rýsovacího trojúhelníku ABC. Upevníme jeden konec nitě délky AB ve vrcholu B trojúhelníku a druhý v ohnisku paraboly F. Po vytažení nitě špičkou tužky přitiskneme špičku v proměnném bodě P k volnou nohu AB rýsovacího trojúhelníku. Jak se trojúhelník pohybuje podél pravítka, bod P bude popisovat oblouk paraboly s ohniskem F a směrnicí LLў, protože celková délka vlákna je rovna AB, kousek vlákna sousedí s volnou nohou trojúhelníku, a proto se zbývající kus závitu PF musí rovnat zbývajícím částem ramene AB, tzn. PA. Průsečík V paraboly s osou se nazývá vrchol paraboly, přímka procházející F a V je osou paraboly. Pokud je ohniskem vedena přímka kolmá k ose, pak se segment této přímky odříznutý parabolou nazývá ohniskový parametr. Pro elipsu a hyperbolu se ohniskový parametr určuje podobně.

ODPOVĚDI NA VSTUPENKY: č. 1 (ne úplně), 2 (ne úplně), 3 (ne úplně), 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 (ne úplně), 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 26,

Vzdálený prvek.

Při vytváření výkresů je v některých případech nutné vytvořit další samostatný obraz jakékoli části objektu, který vyžaduje vysvětlení týkající se tvaru, velikosti nebo jiných údajů. Tento obrázek se nazývá vzdálený prvek. Obvykle se provádí zvětšená. Detail může být rozvržen jako pohled nebo jako řez.

Při konstrukci prvku popisku je odpovídající místo hlavního obrázku označeno uzavřenou plnou tenkou čarou, obvykle oválem nebo kruhem, a označeno velkým písmenem ruské abecedy na polici vodicí čáry. Pro vzdálený prvek se provede záznam typu A (5:1). Na Obr. 191 ukazuje příklad implementace vzdáleného prvku. Je umístěn co nejblíže k odpovídajícímu místu na obrázku objektu.

1. Metoda pravoúhlého (ortogonálního) promítání. Základní invariantní vlastnosti pravoúhlého promítání. Epure Monge.

Ortogonální (pravoúhlé) promítání je speciální případ rovnoběžného promítání, kdy jsou všechny promítající paprsky kolmé k promítací rovině. Pravoúhlé promítání mají všechny vlastnosti rovnoběžného promítání, ale při pravoúhlém promítání je průmět úsečky, pokud není rovnoběžná s promítací rovinou, vždy menší než vlastní úsečka (obr. 58). To je vysvětleno skutečností, že samotný segment v prostoru je přepona pravoúhlého trojúhelníku a jeho průmět je noha: А "В" = ABcos a.

Při pravoúhlém promítání se pravý úhel promítá v plné velikosti, když jsou obě jeho strany rovnoběžné s promítací rovinou a když pouze jedna z jeho stran je rovnoběžná s promítací rovinou a druhá strana není kolmá k této promítací rovině.

Vzájemná poloha přímky a roviny.

Přímka a rovina v prostoru mohou:

a) nemají žádné společné body;
b) mají právě jeden společný bod;
c) mají alespoň dva společné body.

Na Obr. 30 znázorňuje všechny tyto možnosti.

V případě a) přímka b je rovnoběžná s rovinou: b || .

V případě b) přímka l protíná rovinu v jednom bodě O; l = O.

V případě c) přímka a patří do roviny: a nebo a.

Teorém. Pokud je přímka b rovnoběžná s alespoň jednou přímkou a patřící k rovině, pak je přímka rovnoběžná s rovinou.

Předpokládejme, že přímka m protíná rovinu v bodě Q. Jestliže m je kolmá ke každé přímce roviny procházející bodem Q, pak přímka m je kolmá k rovině.

Tramvajové koleje ilustrují, že přímky patří k rovině země. Elektrické vedení jsou rovnoběžné s rovinou země a kmeny stromů jsou příklady přímých čar protínajících zemský povrch, některé jsou kolmé k rovině země, jiné nejsou kolmé (šikmé).

VSTUPENKA 16.

Vlastnosti pyramidy, jejíž dihedrální úhly jsou stejné.

A) Jestliže boční stěny pyramidy s její základnou svírají stejné úhly, pak jsou všechny výšky bočních stěn pyramidy stejné (u běžné pyramidy jsou to apotémy) a vrchol pyramidy se promítá do střed kružnice vepsané do základního mnohoúhelníku.

B) Jehlan může mít v základně stejné úhly vzepětí, když lze do mnohoúhelníku základny vepsat kružnici.

Hranol. Definice. Elementy. Typy hranolů.

Hranol- je mnohostěn, jehož dvě plochy jsou stejné mnohoúhelníky umístěné v rovnoběžných rovinách a zbývající plochy jsou rovnoběžníky.

Tváře, které jsou v rovnoběžných rovinách, se nazývají důvody hranoly a zbývající tváře - boční plochy hranoly.

V závislosti na základně hranolu existují:

1) trojúhelníkový

2) čtyřúhelníkový

3) šestiúhelníkový

Nazývá se hranol s bočními hranami kolmými k jeho základnám rovný hranol.

Pravý hranol se nazývá pravidelný, pokud jsou jeho základny pravidelné mnohoúhelníky.

VSTUPENKA 17.

Vlastnost úhlopříček pravoúhlého rovnoběžnostěnu.

Všechny čtyři úhlopříčky se protínají v jednom bodě a tam se protínají.

V pravoúhlém rovnoběžnostěnu jsou všechny úhlopříčky stejné.

V pravoúhlém rovnoběžnostěnu se čtverec jakékoli úhlopříčky rovná součtu čtverců jeho tří rozměrů.

Nakreslením úhlopříčky základny AC získáme trojúhelníky AC 1 C a ACB. Oba jsou pravoúhlé: první proto, že rovnoběžnostěn je rovný, a proto je hrana CC 1 kolmá k základně; druhý proto, že rovnoběžnostěn je obdélníkový, a proto na jeho základně leží obdélník. Z těchto trojúhelníků zjistíme:

AC 1 2 = AC 2 + CC 1 2 a AC 2 = AB 2 + BC 2

Proto AC 1 2 = AB 2 + BC 2 + CC 1 2 = AB 2 + AD 2 + AA 1 2.

Případy vzájemného uspořádání dvou rovin.

NEMOVITOST 1:

Průsečíky dvou rovnoběžných rovin s třetí rovinou jsou rovnoběžné.

VLASTNOST 2:

Segmenty rovnoběžných čar uzavřených mezi dvěma rovnoběžnými rovinami mají stejnou délku.

MAJETEK 3

Prostřednictvím každého bodu v prostoru, který neleží v dané rovině, lze nakreslit rovinu rovnoběžnou s touto rovinou a navíc pouze jednu.

VSTUPENKA 18.

Vlastnost protilehlých ploch kvádru.

Protilehlé strany rovnoběžnostěnu jsou rovnoběžné a stejné.

Například , roviny rovnoběžníků AA 1 B 1 B a DD 1 C 1 C jsou rovnoběžné, protože protínající se přímky AB a AA 1 roviny AA 1 B 1 jsou rovnoběžné se dvěma protínajícími se přímkami DC a DD 1 roviny DD 1 C 1. Rovnoběžky AA 1 B 1 B a DD 1 C 1 C jsou si rovny (tj. mohou být kombinovány překrýváním), protože strany AB a DC, AA 1 a DD 1 jsou stejné a úhly A 1 AB a D 1 DC jsou si rovni.

Plochy povrchu hranolu, jehlanu, pravidelného jehlanu.

Správná pyramida: Plná. = 3SASB+Sbas.

Článek hovoří o konceptu přímky na rovině. Podívejme se na základní pojmy a jejich označení. Pracujme s relativní polohou přímky a bodu a dvou přímek v rovině. Promluvme si o axiomech. Nakonec probereme metody a metody pro definování přímky v rovině.

Přímka v rovině - koncept

Nejprve musíte jasně pochopit, co je letadlo. Jakýkoli povrch něčeho lze klasifikovat jako rovinu, pouze se od předmětů liší svou neohraničeností. Pokud si představíme, že letadlo je stůl, tak v našem případě nebude mít hranice, ale bude nekonečně obrovské.

Pokud se dotknete stolu tužkou, zůstane značka, kterou lze nazvat „tečkou“. Získáme tak představu o bodu v rovině.

Uvažujme koncept přímky na rovině. Pokud na list nakreslíte rovnou čáru, zobrazí se na něm s omezenou délkou. Nedostali jsme celou přímku, ale jen její část, protože ve skutečnosti nemá konec, stejně jako letadlo. Proto je vyobrazení linií a rovin v zápisníku formální.

Máme axiom:

Definice 1

Body lze označit na každé přímce a v každé rovině.

Body jsou označeny jak velkými, tak malými latinskými písmeny. Například A a D nebo a a d.

Pro bod a přímku jsou známa pouze dvě možná umístění: bod na přímce, jinými slovy, že jím přímka prochází, nebo bod, který není na přímce, to znamená, že přímka tudy neprochází.

Pro označení, zda bod patří k rovině nebo bod k přímce, použijte znaménko „∈“. Je-li daná podmínka, že bod A leží na přímce a, má následující tvar zápisu A ∈ a. V případě, že bod A nepatří, pak další položka A ∉ a.

Spravedlivý úsudek:

Definice 2

Prostřednictvím dvou libovolných bodů umístěných v jakékoli rovině vede jedna přímka, která jimi prochází.

Toto tvrzení je považováno za akisoma, a proto nevyžaduje důkaz. Pokud to zvážíte sami, můžete vidět, že se dvěma existujícími body existuje pouze jedna možnost, jak je spojit. Máme-li dva dané body A a B, pak přímku, která jimi prochází, můžeme nazvat těmito písmeny, například přímku A B. Uvažujme níže uvedený obrázek.

Přímka umístěná v rovině má velký počet bodů. Odtud pochází axiom:

Definice 3

Leží-li dva body přímky v rovině, pak do roviny patří všechny ostatní body této přímky.

Množina bodů umístěných mezi dvěma danými body se nazývá rovný segment. Má to začátek a konec. Bylo zavedeno dvoupísmenné označení.

Je-li uvedeno, že body A a P jsou konci úsečky, pak její označení bude mít tvar P A nebo A P. Protože se označení úsečky a úsečky shodují, doporučuje se přidat nebo dokončit slova „úsečka ", "přímka".

Zkratkový zápis členství zahrnuje použití znaků ∈ a ∉. Chcete-li opravit umístění segmentu vzhledem k dané čáře, použijte ⊂. Pokud podmínka říká, že segment A P patří k přímce b, bude záznam vypadat takto: A P ⊂ b.

Nastává případ, kdy tři body současně patří do jedné přímky. To platí, když jeden bod leží mezi dvěma dalšími. Toto tvrzení je považováno za axiom. Jsou-li dány body A, B, C, které patří ke stejné přímce, a bod B leží mezi A a C, vyplývá z toho, že všechny dané body leží na stejné přímce, protože leží na obou stranách bodu B.

Bod rozděluje úsečku na dvě části, které se nazývají paprsky. Máme axiom:

Definice 4

Jakýkoli bod O umístěný na přímce ji rozděluje na dva paprsky, přičemž libovolné dva body jednoho paprsku leží na jedné straně paprsku vzhledem k bodu O a další na druhé straně paprsku.

Uspořádání přímek v rovině může mít podobu dvou stavů.

Definice 5

se shodovat.

Tato příležitost nastane, když přímky mají společné body. Na základě výše napsaného axiomu máme, že přímka prochází dvěma body a pouze jedním. To znamená, že když 2 přímky procházejí danými 2 body, shodují se.

Definice 6

Dvě rovné čáry na rovině mohou přejít.

Tento případ ukazuje, že existuje jeden společný bod, který se nazývá průsečík čar. Křižovatka je označena značkou ∩. Pokud existuje zápis ve tvaru a ∩ b = M, pak z toho vyplývá, že dané přímky a a b se protínají v bodě M.

Když se přímky protínají, zabýváme se výsledným úhlem. Řez průsečíku přímek na rovině s úhlem 90 stupňů je předmětem samostatného posouzení, tj. pravý úhel. Potom se přímky nazývají kolmé Forma zápisu dvou kolmých čar je následující: a ⊥ b, což znamená, že přímka a je kolmá k přímce b.

Definice 7

Dvě přímky na rovině mohou být paralelní.

Pouze pokud dvě dané přímky nemají společný průsečík, a tedy ani body, jsou rovnoběžné. Používá se zápis, který lze zapsat pro danou rovnoběžnost přímek a a b: a ∥ b.

Přímka v rovině je uvažována společně s vektory. Zvláštní význam se přikládá nulovým vektorům, které leží na dané přímce nebo na některé z rovnoběžných přímek, nazývají se směrové vektory přímky. Zvažte obrázek níže.

Nenulové vektory umístěné na přímkách kolmých na danou se jinak nazývají normální čárové vektory. V článku je podrobný popis normálového vektoru přímky na rovině. Zvažte obrázek níže.

Pokud jsou v rovině 3 čáry, jejich umístění se může velmi lišit. Existuje několik možností jejich umístění: průsečík všech, rovnoběžnost nebo přítomnost různých průsečíků. Obrázek ukazuje kolmý průsečík dvou čar vzhledem k jedné.

K tomu uvádíme nezbytné faktory, které dokazují jejich relativní polohu:

jsou-li dvě přímky rovnoběžné s třetí, pak jsou všechny rovnoběžné;
jsou-li dvě přímky kolmé na třetí, pak jsou tyto dvě přímky rovnoběžné;
Pokud v rovině přímka protíná jednu rovnoběžnou přímku, pak bude také protínat další.

Podívejme se na to na obrázcích.

Přímku na rovině lze zadat několika způsoby. Vše závisí na podmínkách problému a na tom, na čem bude jeho řešení založeno. Tyto znalosti mohou pomoci pro praktické uspořádání přímek.

Definice 8

Přímka je definována pomocí zadaných dvou bodů umístěných v rovině.

Z uvažovaného axiomu vyplývá, že dvěma body lze kreslit přímku a navíc pouze jednu jedinou. Když pravoúhlý souřadnicový systém určuje souřadnice dvou divergentních bodů, pak je možné stanovit rovnici přímky procházející dvěma danými body. Uvažujme výkres, kde máme přímku procházející dvěma body.

Definice 9

Přímku lze definovat pomocí bodu a přímky, se kterou je rovnoběžná.

Tato metoda existuje, protože bodem je možné nakreslit přímku rovnoběžnou s daným bodem a pouze jednu. Důkaz je znám již ze školního kurzu geometrie.

Pokud je daná přímka vzhledem ke kartézskému souřadnicovému systému, pak je možné sestavit rovnici pro přímku procházející daným bodem rovnoběžnou s danou přímkou. Uvažujme o principu definování přímky v rovině.

Definice 10

Přímka je specifikována přes zadaný bod a směrový vektor.

Když je v pravoúhlém souřadnicovém systému zadána přímka, je možné v rovině skládat kanonické a parametrické rovnice. Uvažujme na obrázku umístění přímky za přítomnosti směrového vektoru.

Čtvrtý bod při zadávání přímky má smysl, když je označen bod, kterým má být nakreslena, a přímka k němu kolmá. Z axiomu máme:

Definice 11

Daným bodem ležícím na rovině bude procházet pouze jedna přímka, kolmá na danou.

A poslední bod související se specifikací přímky v rovině je dán určeným bodem, kterým přímka prochází, a za přítomnosti normálového vektoru přímky. Vzhledem ke známým souřadnicím bodu umístěného na dané přímce a souřadnicím normálového vektoru je možné zapsat obecnou rovnici přímky.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

V planimetrii je rovina jednou z hlavních postav, proto je velmi důležité jí jasně rozumět. Tento článek byl vytvořen, aby pokryl toto téma. Nejprve je uveden pojem roviny, její grafické znázornění a znázorněno označení rovin. Dále je rovina uvažována společně s bodem, přímkou nebo jinou rovinou a možnosti vyplývají z relativní polohy v prostoru. Ve druhém, třetím a čtvrtém odstavci článku jsou rozebrány všechny možnosti vzájemné polohy dvou rovin, přímky a roviny, dále bodů a rovin, uvedeny základní axiomy a grafická vyobrazení. Na závěr jsou uvedeny hlavní metody definování roviny v prostoru.

Navigace na stránce.

Rovina - základní pojmy, symboly a obrázky.

Nejjednodušší a nejzákladnější geometrické tvary v trojrozměrném prostoru jsou bod, přímka a rovina. Již máme představu o bodu a přímce v rovině. Umístíme-li rovinu, na které jsou v trojrozměrném prostoru znázorněny body a čáry, dostaneme body a čáry v prostoru. Myšlenka roviny v prostoru nám umožňuje získat například povrch stolu nebo stěny. Stůl nebo stěna má však konečné rozměry a rovina sahá za její hranice do nekonečna.

Body a čáry v prostoru jsou označeny stejně jako v rovině – velkými a malými latinskými písmeny. Například body A a Q, přímky a a d. Jsou-li dány dva body ležící na přímce, pak lze přímku označit dvěma písmeny odpovídajícími těmto bodům. Například přímka AB nebo BA prochází body A a B. Roviny se obvykle označují malými řeckými písmeny, například letadla, popř.

Při řešení problémů je nutné znázornit roviny ve výkresu. Rovina se obvykle zobrazuje jako rovnoběžník nebo libovolná jednoduchá uzavřená oblast.

Rovina se obvykle uvažuje společně s body, přímkami nebo jinými rovinami a vznikají problémy. různé možnosti jejich relativní polohu. Přejděme k jejich popisu.

Vzájemná poloha roviny a bodu.

Začněme axiomem: v každé rovině jsou body. Z toho vyplývá první možnost pro vzájemnou polohu roviny a bodu - bod může patřit do roviny. Jinými slovy, rovina může procházet bodem. K označení, že bod patří do roviny, se používá symbol „“. Pokud například rovina prochází bodem A, můžete krátce napsat .

Je třeba si uvědomit, že na dané rovině v prostoru je nekonečně mnoho bodů.

Následující axiom ukazuje, kolik bodů v prostoru musí být označeno, aby definovaly konkrétní rovinu: třemi body, které neleží na stejné přímce, prochází rovina a pouze jedna. Jsou-li známy tři body ležící v rovině, pak lze rovinu označit třemi písmeny odpovídajícími těmto bodům. Pokud například rovina prochází body A, B a C, pak může být označena jako ABC.

Zformulujme další axiom, který udává druhou verzi vzájemné polohy roviny a bodu: existují alespoň čtyři body, které neleží ve stejné rovině. Bod v prostoru tedy nemusí patřit rovině. Na základě předchozího axiomu totiž rovina prochází třemi body v prostoru a čtvrtý bod může nebo nemusí ležet na této rovině. Při krátkém psaní používejte symbol „“, který je ekvivalentem fráze „nepatří“.

Pokud například bod A neleží v rovině, použijte krátký zápis.

Přímka a rovina v prostoru.

Za prvé, přímka může ležet v rovině. V tomto případě alespoň dva body této přímky leží v rovině. To je stanoveno axiomem: jestliže dva body přímky leží v rovině, pak všechny body této přímky leží v rovině. Pro stručné zaznamenání příslušnosti určitého vedení k dané rovině použijte symbol „“. Například zápis znamená, že přímka a leží v rovině.

Za druhé, přímka může protínat rovinu. V tomto případě mají přímka a rovina jeden společný bod, který se nazývá průsečík přímky a roviny. Při krátkém psaní označuji průsečík symbolem „“. Například zápis znamená, že přímka a protíná rovinu v bodě M. Když rovina protíná určitou přímku, vzniká pojem úhlu mezi přímkou a rovinou.

Samostatně stojí za to zaměřit se na přímku, která protíná rovinu a je kolmá na jakoukoli přímku ležící v této rovině. Taková přímka se nazývá kolmá k rovině. Pro krátký záznam kolmosti použijte symbol „“. Pro podrobnější studium materiálu se můžete podívat na článek Kolmost přímky a roviny.

Zvláštní význam při řešení úloh souvisejících s rovinou má tzv. normálový vektor roviny. Normální vektor roviny je jakýkoli nenulový vektor ležící na přímce kolmé k této rovině.

Za třetí, přímka může být rovnoběžná s rovinou, to znamená, že v ní nemusí mít společné body. Při krátkém zápisu souběžnosti použijte symbol „“. Pokud je například přímka a rovnoběžná s rovinou, pak můžeme psát . Doporučujeme, abyste si tento případ prostudovali podrobněji odkazem na článek rovnoběžnost přímky a roviny.

Je třeba říci, že přímka ležící v rovině rozděluje tuto rovinu na dvě poloroviny. Přímka se v tomto případě nazývá hranice polorovin. Libovolné dva body téže poloroviny leží na stejné straně úsečky a dva body různých polorovin leží na opačných stranách hraniční čáry.

Vzájemné uspořádání rovin.

Dvě roviny ve vesmíru se mohou shodovat. V tomto případě mají společné alespoň tři body.

Dvě roviny ve vesmíru se mohou protínat. Průsečík dvou rovin je přímka, která je stanovena axiomem: mají-li dvě roviny společný bod, pak mají společnou přímku, na které leží všechny společné body těchto rovin.

V tomto případě vzniká pojem úhlu mezi protínajícími se rovinami. Zvláště zajímavý je případ, kdy úhel mezi rovinami je devadesát stupňů. Takové roviny se nazývají kolmé. Mluvili jsme o nich v článku kolmost rovin.

Konečně dvě roviny v prostoru mohou být rovnoběžné, to znamená, že nemají žádné společné body. Doporučujeme vám přečíst si článek rovnoběžnost rovin, abyste zcela porozuměli této možnosti relativního uspořádání rovin.

Metody pro definování roviny.

Nyní si uvedeme hlavní způsoby, jak definovat konkrétní rovinu v prostoru.

Za prvé, rovinu lze definovat upevněním tří bodů v prostoru, které neleží na stejné přímce. Tato metoda je založena na axiomu: skrz libovolné tři body, které neleží na stejné přímce, existuje jedna rovina.

Pokud je rovina pevná a specifikovaná v trojrozměrném prostoru uvedením souřadnic jejích tří různých bodů, které neleží na stejné přímce, pak můžeme napsat rovnici roviny procházející třemi danými body.

Další dva způsoby definování roviny jsou důsledkem předchozího. Jsou založeny na důsledcích axiomu o rovině procházející třemi body:

přímkou prochází rovina a na ní neležící bod a pouze jedna (viz též článek rovnice roviny procházející přímkou a bodem);
Dvěma protínajícími se přímkami prochází pouze jedna rovina (doporučujeme si přečíst materiál v článku: rovnice roviny procházející dvěma protínajícími se přímkami).

Čtvrtý způsob, jak definovat rovinu v prostoru, je založen na definování rovnoběžných čar. Připomeňme, že dvě přímky v prostoru se nazývají rovnoběžné, pokud leží ve stejné rovině a neprotínají se. Naznačením dvou rovnoběžných přímek v prostoru tedy určíme jedinou rovinu, ve které tyto přímky leží.

Pokud je rovina dána naznačeným způsobem v trojrozměrném prostoru vzhledem k pravoúhlému souřadnému systému, pak můžeme vytvořit rovnici pro rovinu procházející dvěma rovnoběžnými přímkami.

V hodinách geometrie na střední škole se dokazuje následující věta: pevným bodem v prostoru prochází jedna rovina kolmá k dané přímce. Můžeme tedy definovat rovinu, pokud zadáme bod, kterým prochází, a přímku na ni kolmou.

Pokud je pravoúhlý souřadnicový systém fixován v trojrozměrném prostoru a rovina je specifikována naznačeným způsobem, pak je možné sestavit rovnici pro rovinu procházející daným bodem kolmou k dané přímce.

Místo přímky kolmé k rovině můžete určit jeden z normálových vektorů této roviny. V tomto případě je možné psát

Přímá plechovka patří do letadla, buď jí paralelní nebo přejít letadlo. Přímka patří k rovině, pokud dva body patřící k přímce a rovině mají stejnou výšku. Důsledek, který vyplývá z toho, co bylo řečeno: bod patří do roviny, pokud patří k přímce ležící v této rovině.

Přímka je rovnoběžná s rovinou, pokud je rovnoběžná s přímkou ležící v této rovině.

Přímka protínající rovinu. Pro nalezení průsečíku přímky s rovinou je nutné (obr. 3.28):

1) nakreslete pomocnou rovinu danou přímkou m T;

2) postavit linku n průsečík dané roviny Σ s pomocnou rovinou T;

3) označte průsečík R, daná přímka m s průsečíkem n.

Uvažujme úlohu (obr. 3.29) Přímka m je na půdorysu definována bodem A 6 a úhel sklonu 35°. Prostřednictvím této čáry je nakreslena pomocná vertikální rovina T, která protíná rovinu Σ podél přímky n (B 2 C 3). Člověk se tak přesune z relativní polohy přímky a roviny do vzájemné polohy dvou přímek ležících ve stejné vertikální rovině. Tento problém je vyřešen konstrukcí profilů těchto přímek. Průsečík čar m A n na profilu určuje požadovaný bod R. Bodová nadmořská výška R určeno vertikálním měřítkem.

Přímka kolmá k rovině. Přímka je kolmá k rovině, pokud je kolmá k libovolným dvěma protínajícím se přímkám této roviny. Obrázek 3.30 ukazuje přímku m, kolmé k rovině Σ a protínající ji v bodě A. Na půdorysu je průmět přímky m a vodorovné roviny jsou vzájemně kolmé (pravý úhel, jehož jedna strana je rovnoběžná s promítací rovinou, se promítá bez zkreslení. Obě přímky leží ve stejné svislé rovině, proto jsou polohy takových přímek vzájemně inverzní. : l m = l/l u Ale l uΣ = lΣ tedy l m = l/lΣ, to znamená, že poloha přímky m je nepřímo úměrná poloze roviny. Pády přímky a roviny směřují různými směry.

3.4. Projekce s číselnými značkami. Povrchy

3.4.1. Mnohostěny a zakřivené plochy. Topografický povrch

V přírodě má mnoho látek krystalickou strukturu ve formě mnohostěnů. Mnohostěn je soubor plochých mnohoúhelníků, které neleží ve stejné rovině, kde každá strana jednoho z nich je zároveň stranou toho druhého. Při zobrazování mnohostěnu stačí označit průměty jeho vrcholů a spojovat je v určitém pořadí s přímkami - průměty hran. V tomto případě je nutné na výkresu označit viditelné a neviditelné hrany. Na Obr. Obrázek 3.31 ukazuje hranol a jehlan a také nalezení značek bodů patřících k těmto plochám.

Speciální skupina konvexních mnohoúhelníků je skupina pravidelných mnohoúhelníků, ve kterých jsou všechny plochy stejné jako pravidelné mnohoúhelníky a všechny polygonální úhly jsou stejné. Existuje pět typů pravidelných mnohoúhelníků.

Čtyřstěn- pravidelný čtyřúhelník, ohraničený rovnostrannými trojúhelníky, má 4 vrcholy a 6 hran (obr. 3.32 a).

Hexaedron- pravidelný šestiúhelník (krychle) - 8 vrcholů, 12 hran (obr. 3.32b).

Osmistěn- pravidelný osmistěn, ohraničený osmi rovnostrannými trojúhelníky - 6 vrcholů, 12 hran (obr. 3.32c).

dvanáctistěn- pravidelný dvanáctistěn, ohraničený dvanácti pravidelnými pětiúhelníky, spojenými třemi v blízkosti každého vrcholu.

Má 20 vrcholů a 30 hran (obr. 3.32 d).

Ikosahedr- pravidelný dvacetistranný trojúhelník, ohraničený dvaceti rovnostrannými trojúhelníky, spojenými pěti v blízkosti každého vrcholu, 12 vrcholy a 30 hranami (obr. 3.32 d).

Při konstrukci bodu ležícího na líci mnohostěnu je nutné nakreslit přímku patřící tomuto líci a vyznačit průmět bodu na jeho průmětnu.

Kuželové plochy jsou tvořeny pohybem přímočaré tvořící čáry po zakřiveném vedení tak, že ve všech polohách tvořící čára prochází pevným bodem - vrcholem plochy. Kuželové plochy obecný pohled na plánu jsou znázorněny jako vodicí horizontála a vrchol. Na Obr. Obrázek 3.33 ukazuje umístění bodové značky na povrchu kuželové plochy.

Přímý kruhový kužel je reprezentován řadou soustředných kružnic nakreslených ve stejných intervalech (obr. 3.34a). Eliptický kužel s kruhovou základnou - řada excentrických kruhů (obr. 3.34 b)

Kulové plochy. Kulová plocha je klasifikována jako rotační plocha. Vzniká otáčením kruhu kolem jeho průměru. Na půdorysu je kulová plocha definována středem NA a průmět jedné z jejích vodorovných čar (rovník koule) (obr. 3.35).

Topografický povrch. Topografický povrch je klasifikován jako geometricky nepravidelný povrch, protože nemá geometrický zákon vzniku. Pro charakterizaci povrchu určete polohu jeho charakteristických bodů vzhledem k promítací rovině. Na Obr. 3.3 b a je uveden příklad řezu topografickým povrchem, který ukazuje průměty jeho jednotlivých bodů. Ačkoli takový plán umožňuje získat představu o tvaru zobrazeného povrchu, není příliš jasný. Pro větší přehlednost kresby a tím snazší čtení jsou průměty bodů se shodnými značkami spojeny hladkými zakřivenými čarami, které se nazývají horizontály (izolinie) (obr. 3.36 b).

Vodorovné čáry topografické plochy jsou někdy definovány jako průsečíky této plochy s vodorovnými rovinami vzdálenými od sebe ve stejné vzdálenosti (obr. 3.37). Rozdíl ve výškách mezi dvěma sousedními vodorovnými čarami se nazývá výška sekce.

Čím menší je rozdíl ve výškách mezi dvěma sousedními vodorovnými čarami, tím přesnější je obraz topografického povrchu. Na plánech jsou vrstevnice uzavřeny uvnitř výkresu nebo mimo něj. Na strmějších svazích se k sobě plošné průměty vrstevnic přibližují, na plochých se jejich průměty rozcházejí.

Nejkratší vzdálenost mezi průměty dvou sousedních vodorovných čar na plánu se nazývá položení. Na Obr. 3,38 přes bod A na topografickém povrchu je nakresleno několik segmentů přímky A VY A INZERÁT. Všechny mají různé úhly dopadu. Segment má největší úhel dopadu AC, jejíž umístění má minimální význam. Půjde tedy o průmět čáry dopadu povrchu v daném místě.

Na Obr. 3.39 ukazuje příklad sestrojení průmětu linie dopadu daným bodem A. Z bodu A 100, jakoby od středu, nakreslete oblouk kruhu, který se v bodě dotýká nejbližší vodorovné čáry V 90. Tečka v 90, horizontální h 90, bude patřit do podzimní linie. Z bodu V 90 nakreslete arkus tečnu k další vodorovné čáře v bodě Od 80, atd. Z nákresu je zřejmé, že čára dopadu topografické plochy je lomená čára, jejíž každý článek je kolmý k horizontále, procházející spodním koncem spojnice, která má nižší nárys.

3.4.2 Průsečík kuželové plochy s rovinou

Prochází-li řezná rovina vrcholem kuželové plochy, pak ji protíná podél přímek tvořících plochu. Ve všech ostatních případech bude čára řezu plochá křivka: kruh, elipsa atd. Uvažujme případ kuželové plochy protínající rovinu.

Příklad 1. Sestrojte průmět průsečíku kruhového kužele Φ( h o , S 5) s rovinou Ω rovnoběžnou s tvořící přímkou kuželové plochy.

Kuželová plocha s daným umístěním roviny se protíná podél paraboly. Po interpolaci tvořící přímky t stavíme vodorovné linie kruhového kužele - soustředné kružnice se středem S 5. Poté určíme průsečíky stejných horizontál roviny a kužele (obr. 3.40).

3.4.3. Průsečík topografické plochy s rovinou a přímkou

S případem průniku topografické plochy s rovinou se nejčastěji setkáváme při řešení geologických úloh. Na Obr. 3.41 uvádí příklad sestrojení průsečíku topografické plochy s rovinou Σ. Křivka, kterou hledám m jsou určeny průsečíky stejných vodorovných rovin a topografického povrchu.

Na Obr. 3.42 uvádí příklad sestrojení věrného zobrazení topografického povrchu se svislou rovinou Σ. Potřebná přímka m je určena body A, B, C... průsečík horizontál topografické plochy s řeznou rovinou Σ. Na půdorysu se průmět křivky zvrhne do přímky, která se shoduje s průmětem roviny: m≡ Σ. Profil křivky m je konstruován s přihlédnutím k umístění průmětů jejích bodů na půdorysu a také k jejich výškám.

3.4.4. Povrch se stejným sklonem

Plocha se stejným sklonem je rovinná plocha, jejíž všechny přímky svírají s vodorovnou rovinou konstantní úhel. Takový povrch lze získat posunutím přímého kruhového kužele s osou kolmou k rovině půdorysu tak, že jeho vrchol klouže po určitém vedení a osa zůstává svislá v libovolné poloze.

Na Obr. Obrázek 3.43 ukazuje povrch se stejným sklonem (i=1/2), jehož vodítkem je prostorová křivka ABECEDA.

Promoce letadla. Jako příklady uvažujme spádové roviny vozovky.

Příklad 1. Podélný sklon vozovky i=0, sklon násypu i n =1:1,5, (obr. 3.44a). Je nutné kreslit vodorovné čáry každých 1 m. Řešení spočívá v následujícím. Nakreslíme měřítko sklonu roviny kolmo k okraji vozovky, označíme body ve vzdálenosti rovnající se intervalu 1,5 m odebraného z lineárního měřítka a určíme značky 49, 48 a 47. Prostřednictvím získaných bodů nakreslete obrysy svahu rovnoběžně s okrajem vozovky.

Příklad 2. Podélný sklon vozovky i≠0, sklon násypu i n =1:1,5, (obr. 3.44b). Rovina vozovky je odstupňovaná. Sklon vozovky je odstupňován následovně. Do bodu s vrcholem 50,00 (nebo jiného bodu) umístíme vrchol kužele, opíšeme kružnici o poloměru rovném intervalu sklonu násypu (v našem příkladu l= 1,5 m). Výška této vodorovné čáry kužele bude o jednu menší než výška vrcholu, tzn. 49m. Nakreslíme řadu kružnic, dostaneme vodorovné značky 48, 47, tečnu, ke které z okrajových bodů se značkami 49, 48, 47 nakreslíme horizontály svahu náspu.

Odstupňování povrchů.

Příklad 3. Je-li podélný sklon vozovky i = 0 a sklon násypu i n = 1: 1,5, pak se vrstevnice svahů vedou body stupnice sklonu, jejichž interval je roven do intervalu svahů násypů (obr. 3.45a). Vzdálenost mezi dvěma průměty sousedních vodorovných čar ve směru obecné normy (měřítko sklonu) je všude stejná.

Příklad 4. Je-li podélný sklon vozovky i≠0, a sklon násypu i n =1:1,5, (obr. 3.45b), pak se vrstevnice konstruují stejným způsobem s tím rozdílem, že sklon obrysy se nekreslí v přímkách, ale v křivkách.

3.4.5. Stanovení hranice ražby

Protože většina zemin není schopna udržet svislé stěny, musí být vybudovány svahy (umělé konstrukce). Sklon způsobený svahem závisí na půdě.

Chcete-li dát části zemského povrchu vzhled roviny s určitým sklonem, musíte znát hranici limitů pro výkopové a výkopové práce. Tuto linii, omezující plánovanou plochu, představují čáry průniku svahů násypů a výkopů s daným topografickým povrchem.

Protože každý povrch (včetně plochých) je zobrazen pomocí vrstevnic, je čára průsečíku ploch konstruována jako množina průsečíků vrstevnic se stejnými značkami. Podívejme se na příklady.

Příklad 1. Na Obr. 3.46 znázorňuje hliněnou stavbu ve tvaru komolého čtyřbokého jehlanu, stojící na rovině N. Horní základna abeceda pyramida má značku 4m a velikosti stran 2×2,5m. Boční líce (svahy nábřeží) mají sklon 2:1 a 1:1, jejichž směr je znázorněn šipkami.

Je nutné sestrojit průsečík svahů konstrukce s rovinou N a mezi sebou, stejně jako vytvořit podélný profil podél osy symetrie.

Nejprve se sestrojí schéma sklonů, intervalů a měřítek ložisek a daných sklonů. Kolmo na každou stranu místa jsou měřítka svahů nakreslena v určených intervalech, po kterých jsou průměty vrstevnic se stejnými značkami sousedních ploch průsečíky svahů, což jsou průměty bočních okrajů tato pyramida.

Spodní základna pyramidy se shoduje s nulovými horizontálními sklony. Pokud tuto hliněnou konstrukci protíná svislá rovina Q, v příčném řezu získáte přerušovanou čáru - podélný profil konstrukce.

Příklad 2. Sestrojte průsečík svahů jámy s plochým sklonem a mezi sebou navzájem. Dno ( abeceda) jáma je obdélníková plocha s převýšením 10m a rozměry 3x4m. Osa lokality svírá s linií jih-sever úhel 5°. Sklony výkopů mají stejné sklony 2:1 (obr. 3.47).

Linie nultých prací je stanovena podle územního plánu. Je konstruován v průsečících stejnojmenných průmětů vodorovných čar uvažovaných ploch. V místech průsečíku vrstevnic svahů a topografického povrchu se stejnými značkami se nachází čára průsečíku svahů, což jsou průměty bočních okrajů dané jámy.

V tomto případě boční svahy výkopů přiléhají ke dnu jámy. Čára abeceda– požadovaná průsečíková čára. Aa, Bb, Cs, Dd– okraje jámy, čáry průniku svahů mezi sebou.

4. Otázky k sebeovládání a úkoly k samostatné práci na téma „Pravoúhlé promítání“

Tečka

4.1.1. Podstata projekční metody.

4.1.2. Co je bodová projekce?

4.1.3. Jak se nazývají a označují projekční roviny?

4.1.4. Co jsou spojovací čáry promítání ve výkresu a jak jsou umístěny ve výkresu ve vztahu k osám promítání?

4.1.5. Jak sestrojit třetí (profilový) průmět bodu?

4.1.6. Sestrojte tři průměty bodů A, B, C na tříobrázkový výkres, zapište jejich souřadnice a vyplňte tabulku.

4.1.7. Sestrojte chybějící promítací osy, x A =25, y A =20. Sestrojte profilový průmět bodu A.

4.1.8. Sestrojte tři průměty bodů podle jejich souřadnic: A(25,20,15), B(20,25,0) a C(35,0,10). Uveďte polohu bodů vzhledem k rovinám a osám průmětů. Který bod je blíže rovině P3?

4.1.9. Hmotné body A a B začnou padat současně. V jaké poloze bude bod B, když se bod A dotkne země? Určete viditelnost bodů. Vykreslete body na nové pozici.

4.1.10. Sestrojte tři průměty bodu A, pokud bod leží v rovině P 3 a vzdálenost od něj k rovině P 1 je 20 mm, k rovině P 2 - 30 mm. Zapište souřadnice bodu.

Rovný

4.2.1. Jak lze ve výkresu definovat přímku?

4.2.2. Která přímka se nazývá přímka v obecné poloze?

4.2.3. Jakou polohu může zaujímat přímka vzhledem k promítacím rovinám?

4.2.4. V jakém případě se průmět přímky stočí do bodu?

4.2.5. Co je charakteristické pro složitou přímočarou kresbu?

4.2.6. Určete vzájemnou polohu těchto čar.

a…b a…b a…b

4.2.7. Sestrojte průměty úsečky AB o délce 20 mm rovnoběžné s rovinami: a) P 2; b) P1; c) Osa ox. Uveďte úhly sklonu segmentu k promítacím rovinám.

4.2.8. Sestrojte projekce segmentu AB pomocí souřadnic jeho konců: A(30,10,10), B(10,15,30). Sestrojte průměty bodu C rozdělujícího úsečku v poměru AC:CB = 1:2.