Care este așteptarea matematică a unei variabile aleatoare. Așteptările matematice (Media populației) este. Dependența de numărul de experimente

Legea distribuției caracterizează pe deplin variabila aleatoare. Cu toate acestea, de multe ori legea distribuției este necunoscută și trebuie să te limitezi la mai puține informații. Uneori este și mai profitabil să folosiți numere care descriu o variabilă aleatorie în total; astfel de numere sunt numite caracteristici numerice variabilă aleatorie. Una dintre caracteristicile numerice importante este așteptarea matematică.

Așteptările matematice, așa cum se va arăta mai jos, este aproximativ egală cu valoarea medie a variabilei aleatoare. Pentru a rezolva multe probleme, este suficient să cunoașteți așteptările matematice. De exemplu, dacă se știe că așteptarea matematică a numărului de puncte marcate de primul trăgător este mai mare decât cea a celui de-al doilea, atunci primul trăgător, în medie, obține mai multe puncte decât al doilea și, prin urmare, trage mai bine. decât al doilea.

Definiție 4.1: Așteptări matematice O variabilă aleatorie discretă este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestora.

Fie variabila aleatoare X poate lua doar valori x 1, x 2, … x n, ale căror probabilități sunt, respectiv, egale p 1, p 2, … p n. Apoi așteptarea matematică M(X) variabilă aleatorie X este determinat de egalitate

M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n .

Dacă o variabilă aleatoare discretă X ia un set numărabil de valori posibile, atunci

,

Mai mult, așteptarea matematică există dacă seria din partea dreaptă a egalității converge absolut.

Exemplu. Găsiți așteptarea matematică a numărului de apariții ale unui eveniment Aîntr-o singură încercare, dacă probabilitatea evenimentului A egal cu p.

Soluţie: Valoare aleatoare X– numărul de apariții ale evenimentului A are o distribuție Bernoulli, deci

Prin urmare, așteptarea matematică a numărului de apariții ale unui eveniment într-o încercare este egală cu probabilitatea acestui eveniment.

Sensul probabilistic al așteptărilor matematice

Lasă-l să fie produs n teste în care variabila aleatoare X admis m 1 ori valoarea x 1, m 2 ori valoarea x 2 ,…, m k ori valoarea x k, și m 1 + m 2 + …+ m k = n. Apoi suma tuturor valorilor luate X, este egal x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .

Media aritmetică a tuturor valorilor luate de variabila aleatoare va fi

Atitudine m i/n- frecventa relativa W i valorile x i aproximativ egală cu probabilitatea producerii evenimentului p i, Unde , De aceea

Sensul probabilistic al rezultatului obținut este următorul: așteptările matematice sunt aproximativ egale(cu cât este mai precis, cu atât este mai mare numărul de teste) media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatorii.

Proprietățile așteptărilor matematice

Proprietatea 1:Așteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta în sine

Proprietatea 2:Factorul constant poate fi luat dincolo de semnul așteptării matematice

Definiție 4.2: Două variabile aleatorii sunt numite independent, dacă legea de distribuție a unuia dintre ele nu depinde de ce valori posibile a luat cealaltă cantitate. In caz contrar variabilele aleatoare sunt dependente.

Definiție 4.3: Mai multe variabile aleatorii numit independent reciproc, dacă legile de distribuție a oricărui număr dintre ele nu depind de ce valori posibile au luat celelalte cantități.

Proprietatea 3:Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice.

Consecinţă:Așteptările matematice ale produsului mai multor variabile aleatoare independente reciproc este egală cu produsul așteptărilor lor matematice.

Proprietatea 4:Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice.

Consecinţă:Așteptările matematice ale sumei mai multor variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice.

Exemplu. Să calculăm așteptarea matematică a unei variabile aleatoare binomiale X - data producerii evenimentului A V n experimente.

Soluţie: Numărul total X aparițiile evenimentului Aîn aceste încercări este suma numărului de apariții ale evenimentului în probe individuale. Să introducem variabile aleatoare X i– numărul de apariții ale evenimentului în i testul, care sunt variabile aleatoare Bernoulli cu așteptări matematice, unde . Prin proprietatea așteptării matematice avem

Prin urmare, valorea estimata distribuție binomială cu parametrii n și p este egal cu produsul np.

Exemplu. Probabilitatea de a lovi ținta la tragerea cu arma p = 0,6. Găsiți așteptarea matematică a numărului total de lovituri dacă sunt trase 10 focuri.

Soluţie: Lovitura pentru fiecare lovitură nu depinde de rezultatele altor lovituri, prin urmare evenimentele luate în considerare sunt independente și, în consecință, așteptările matematice dorite

– numărul băieților din 10 nou-născuți.

Este absolut clar că acest număr nu este cunoscut în prealabil, iar următorii zece copii născuți pot include:

Sau baieti - unul si numai unul din opțiunile enumerate.

Și, pentru a fi în formă, puțină educație fizică:

- distanta de saritura in lungime (în unele unități).

Nici măcar un maestru al sportului nu o poate prezice :)

Totuși, ipotezele tale?

2) Variabilă aleatoare continuă – acceptă Toate valori numerice dintr-un interval finit sau infinit.

Notă : abrevierile DSV și NSV sunt populare în literatura educațională

Mai întâi, să analizăm variabila aleatoare discretă, apoi - continuu.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete

- Acest corespondenţăîntre valorile posibile ale acestei mărimi și probabilitățile acestora. Cel mai adesea, legea este scrisă într-un tabel:

Termenul apare destul de des rând distributie, dar în unele situații sună ambiguu, așa că voi rămâne la „lege”.

Si acum Foarte punct important : din moment ce variabila aleatoare Neapărat voi accepta una dintre valori, apoi se formează evenimentele corespunzătoare grup complet iar suma probabilităților apariției lor este egală cu unu:

sau, dacă este scris condensat:

Deci, de exemplu, legea distribuției probabilității a punctelor aruncate pe un zar are următoarea formă:

Fara comentarii.

Este posibil să aveți impresia că o variabilă aleatoare discretă poate lua numai valori întregi „bune”. Să risipim iluzia - pot fi orice:

Exemplul 1

Un joc are următoarea lege de distribuție câștigătoare:

...probabil că ai visat de mult timp la astfel de sarcini :) Îți spun un secret - și eu. Mai ales după terminarea lucrărilor teoria câmpului.

Soluţie: deoarece o variabilă aleatoare poate lua doar una din trei valori, se formează evenimentele corespunzătoare grup complet, ceea ce înseamnă că suma probabilităților lor este egală cu unu:

Demascarea „partizanului”:

– astfel, probabilitatea de a câștiga unități convenționale este de 0,4.

Control: de asta trebuia să ne asigurăm.

Răspuns:

Nu este neobișnuit când trebuie să întocmești singur o lege de distribuție. Pentru aceasta folosesc definiția clasică a probabilității, teoreme de înmulțire/adunare pentru probabilitățile de evenimenteși alte chips-uri tervera:

Exemplul 2

Cutia conține 50 de bilete de loterie, dintre care 12 sunt câștigătoare, iar 2 dintre ele câștigă câte 1000 de ruble fiecare, iar restul - câte 100 de ruble fiecare. Întocmește o lege pentru distribuirea unei variabile aleatoare - mărimea câștigurilor, dacă un bilet este extras la întâmplare din casetă.

Soluţie: după cum ați observat, valorile unei variabile aleatoare sunt de obicei plasate în în ordine crescătoare. Prin urmare, începem cu cele mai mici câștiguri, și anume ruble.

Sunt 50 de astfel de bilete în total - 12 = 38, și conform definiție clasică:
– probabilitatea ca un bilet extras aleatoriu să fie învins.

În alte cazuri, totul este simplu. Probabilitatea de a câștiga ruble este:

Verificați: – și acesta este un moment deosebit de plăcut al unor astfel de sarcini!

Răspuns: legea dorită de distribuire a câștigurilor:

Următoarea sarcină este pe care o puteți rezolva singur:

Exemplul 3

Probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta este de . Întocmește o lege de distribuție pentru o variabilă aleatorie - numărul de lovituri după 2 lovituri.

...știam că ți-a fost dor de el :) Să ne amintim teoreme de înmulțire și adunare. Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

Legea distribuției descrie complet o variabilă aleatoare, dar în practică poate fi util (și uneori mai util) să cunoști doar o parte din ea. caracteristici numerice .

Așteptarea unei variabile aleatoare discrete

Vorbitor într-un limbaj simplu, Acest valoarea medie aşteptată când testarea se repetă de mai multe ori. Lăsați variabila aleatoare să ia valori cu probabilități respectiv. Atunci așteptarea matematică a acestei variabile aleatoare este egală cu suma de produse toate valorile sale la probabilitățile corespunzătoare:

sau prăbușit:

Să calculăm, de exemplu, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare - numărul de puncte aruncate pe un zar:

Acum să ne amintim jocul nostru ipotetic:

Apare întrebarea: este profitabil să joci acest joc? ...cine are impresii? Așa că nu o poți spune „de la îndemână”! Dar la această întrebare se poate răspunde cu ușurință prin calcularea așteptărilor matematice, în esență - medie ponderată după probabilitatea de câștig:

Astfel, așteptările matematice ale acestui joc pierzând.

Nu ai încredere în impresiile tale - ai încredere în cifre!

Da, aici poți câștiga de 10 sau chiar de 20-30 de ori la rând, dar pe termen lung ne așteaptă o ruină inevitabilă. Și nu te-aș sfătui să joci astfel de jocuri :) Ei bine, poate doar pentru distractie.

Din toate cele de mai sus rezultă că așteptarea matematică nu mai este o valoare RANDOM.

Sarcina creativă pentru cercetare independentă:

Exemplul 4

Domnul X joacă la ruleta europeană folosind următorul sistem: pariază constant 100 de ruble pe „roșu”. Întocmește o lege de distribuție a unei variabile aleatoare - câștigurile acesteia. Calculați așteptările matematice ale câștigurilor și rotunjiți-o la copecul cel mai apropiat. Câți in medie Pierde jucătorul pentru fiecare sută pe care a pariat?

Referinţă : Ruleta europeană conține 18 sectoare roșii, 18 negre și 1 verde („zero”). Dacă apare un „roșu”, jucătorul este plătit dublu pariul, în caz contrar, acesta merge la venitul cazinoului

Există multe alte sisteme de ruletă pentru care vă puteți crea propriile tabele de probabilități. Dar acesta este cazul când nu avem nevoie de nicio lege sau tabele de distribuție, deoarece s-a stabilit cu siguranță că așteptările matematice ale jucătorului vor fi exact aceleași. Singurul lucru care se schimbă de la sistem la sistem este

Fiecare valoare individuală este complet determinată de funcția sa de distribuție. De asemenea, pentru a rezolva probleme practice, este suficient să cunoașteți mai multe caracteristici numerice, datorită cărora devine posibilă prezentarea principalelor caracteristici ale unei variabile aleatorii într-o formă scurtă.

Aceste cantități includ în primul rând valorea estimataȘi dispersie .

Valorea estimata— valoarea medie a unei variabile aleatoare în teoria probabilității. Notat ca .

Cel mai într-un mod simplu așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X(w), afla cum integralăLebesgueîn raport cu măsura probabilităţii R original spațiu de probabilitate

De asemenea, puteți găsi așteptarea matematică a unei valori ca integrala Lebesgue din X prin distribuție de probabilitate R X cantități X:

unde este setul tuturor valorilor posibile X.

Așteptări matematice ale funcțiilor dintr-o variabilă aleatoare X găsit prin distribuție R X. De exemplu, Dacă X- o variabilă aleatorie cu valori în și f(x)- lipsit de ambiguitate a lui Borelfuncţie X , Acea:

Dacă F(x)- functia de distributie X, atunci așteptarea matematică este reprezentabilă integralăLebesgue - Stieltjes (sau Riemann - Stieltjes):

în acest caz integrabilitatea XÎn ceea ce privește ( * ) corespunde finiturii integralei

În cazuri specifice, dacă X are o distribuție discretă cu valori probabile x k, k=1, 2, . , și probabilități, atunci

Dacă X are o distribuție absolut continuă cu densitate de probabilitate p(x), Acea

în acest caz, existența unei așteptări matematice este echivalentă cu convergența absolută a seriei sau integralei corespunzătoare.

Proprietăți ale așteptării matematice a unei variabile aleatoare.

• Așteptarea matematică a unei valori constante este egală cu această valoare:

C- constant;

• M=C.M[X]

• Așteptările matematice ale sumei valorilor luate aleatoriu este egală cu suma așteptărilor lor matematice:

• Așteptările matematice ale produsului variabilelor independente luate aleatoriu = produsul așteptărilor lor matematice:

L=M[X]+L[Y]

Dacă XȘi Y independent.

dacă seria converge:

Algoritm pentru calcularea așteptărilor matematice.

Proprietăți ale variabilelor aleatoare discrete: toate valorile lor pot fi renumerotate prin numere naturale; atribuiți fiecărei valori o probabilitate diferită de zero.

1. Înmulțiți perechile una câte una: x i pe p i.

2. Adăugați produsul fiecărei perechi x i p i.

De exemplu, Pentru n = 4 :

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete treptat, crește brusc în acele puncte ale căror probabilități au semn pozitiv.

Exemplu: Găsiți așteptările matematice folosind formula.

Cea mai completă caracteristică a unei variabile aleatoare este legea distribuției sale. Cu toate acestea, nu este întotdeauna cunoscut și în aceste cazuri trebuie să vă mulțumiți cu mai puține informații. Astfel de informații pot include: intervalul de modificare a unei variabile aleatoare, valoarea sa cea mai mare (cea mai mică), alte caracteristici care descriu variabila aleatoare într-un mod rezumat. Toate aceste cantități sunt numite caracteristici numerice variabilă aleatorie. De obicei acestea sunt unele Nu la nimereală numere care caracterizează cumva o variabilă aleatoare. Scopul principal al caracteristicilor numerice este de a exprima într-o formă concisă cele mai semnificative trăsături ale unei anumite distribuții.

Cea mai simplă caracteristică numerică a unei variabile aleatoare X a sunat-o valorea estimata:

M(X)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +...+x n p n. (1.3.1)

Aici x 1, x 2, …, x n– valorile posibile ale variabilei aleatoare X, A p 1, p 2, …, р n– probabilitățile lor.

Exemplul 1. Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare dacă legea ei de distribuție este cunoscută:

Soluţie. M(X)=2×0,3+3×0,1+5×0,6=3,9.

Exemplul 2. Găsiți așteptarea matematică a numărului de apariții ale unui eveniment Aîntr-o singură încercare, dacă probabilitatea acestui eveniment este egală R.

Soluţie. Dacă X– numărul de apariții ale evenimentului Aîntr-un singur test, apoi, evident, legea distribuţiei X are forma:

Apoi M(X)=0×(1–р)+1×р=р.

Deci: așteptarea matematică a numărului de apariții ale unui eveniment într-o încercare este egală cu probabilitatea acestuia.

Sensul probabilistic al așteptărilor matematice

Lasă-l să fie produs n teste în care variabila aleatoare X admis m 1 ori valoarea x 1, m 2 ori valoarea x 2, …, m k ori valoarea x k. Apoi suma tuturor valorilor din n teste este egal cu:

x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k.

Să găsim media aritmetică a tuturor valorilor luate de variabila aleatoare:

Valori – frecvențele relative de apariție a valorilor x i (i=1, …, k). Dacă n suficient de mare (n®¥), atunci aceste frecvențe sunt aproximativ egale cu probabilitățile: . Dar apoi

=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x k p k =M(X).

Astfel, așteptarea matematică este aproximativ egală (cu cât este mai precis, cu atât numărul de teste este mai mare) cu media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare. Acesta este sensul probabilistic al așteptărilor matematice.

Proprietățile așteptărilor matematice

1. Aşteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta însăşi.

M(C)=C×1=C.

2. Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării matematice

M(CX)=C×M(X).

Dovada. Să fie legea distribuției X dat de tabel:

Apoi variabila aleatoare CX ia valori Cx 1, Cx 2, …, Сх n cu aceleași probabilități, adică legea distributiei CX are forma:

M(СХ)=Сх 1 ×р 1 +Сх 2 ×р 2 +…+Сх n ×p n =

=C(x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n)=CM(X).

3. Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice:

M(XY)=M(X)×M(Y).

Această afirmație este dată fără dovezi (demonstrarea se bazează pe definiția așteptării matematice).

Consecinţă. Așteptările matematice ale produsului mai multor variabile aleatoare independente reciproc este egală cu produsul așteptărilor lor matematice.

În special, pentru trei variabile aleatoare independente

M(XYZ)=M(X)×M(Y)×M(Z).

Exemplu. Aflați așteptarea matematică a produsului dintre numărul de puncte care pot apărea la aruncarea a două zaruri.

Soluţie. Lăsa X i– numărul de puncte per i oasele. Ar putea fi numere 1 , 2 , …, 6 cu probabilităţi. Apoi

M(X i)=1× +2× +…+6× = (1+2+…+6)= × ×6= .

Lăsa X=X 1 ×X 2. Apoi

M(X)=M(X1)×M(X2)= =12,25.

4. Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare (independente sau dependente) este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Această proprietate este generalizată în cazul unui număr arbitrar de termeni.

Exemplu. Se trag 3 lovituri cu probabilitati de a lovi tinta egale cu p 1 = 0,4, p2 = 0,3Și p 3 = 0,6. Aflați așteptările matematice ale numărului total de rezultate.

Soluţie. Lăsa X i– numărul de accesări la i-a lovitură. Apoi

М(Х i)=1×p i +0×(1–p i)=p i.

Prin urmare,

M(X 1 +X 2 +X 3)= =0,4+0,3+0,6=1,3.

Așteptarea matematică (valoarea medie) a unei variabile aleatoare X dată pe un spațiu de probabilitate discret este numărul m =M[X]=∑x i p i dacă seria converge absolut.

Scopul serviciului. Utilizarea serviciului online se calculează așteptările matematice, varianța și abaterea standard(vezi exemplu). În plus, este reprezentat grafic un grafic al funcției de distribuție F(X).

Proprietăți ale așteptării matematice a unei variabile aleatoare

1. Așteptarea matematică a unei valori constante este egală cu sine: M[C]=C, C – constantă;
2. M=C M[X]
3. Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice: M=M[X]+M[Y]
4. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice: M=M[X] M[Y] , dacă X și Y sunt independenți.

Proprietăți de dispersie

1. Varianta unei valori constante este zero: D(c)=0.
2. Factorul constant poate fi scos de sub semnul de dispersie prin pătratul: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Dacă variabilele aleatoare X și Y sunt independente, atunci varianța sumei este egală cu suma varianțelor: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Dacă variabilele aleatoare X și Y sunt dependente: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Următoarea formulă de calcul este valabilă pentru dispersie:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Exemplu. Sunt cunoscute așteptările și variațiile matematice ale a două variabile aleatoare independente X și Y: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Aflați așteptările matematice și varianța variabilei aleatoare Z=9X-8Y+7.
Soluţie. Pe baza proprietăților așteptărilor matematice: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Pe baza proprietăților dispersiei: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Algoritm pentru calcularea așteptărilor matematice

1. Înmulțim perechile unul câte unul: x i cu p i .
2. Adăugați produsul fiecărei perechi x i p i .
   De exemplu, pentru n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Exemplul nr. 1.

Exemplul nr. 2. O variabilă aleatorie discretă are următoarea serie de distribuție:

Soluţie. Valoarea lui a se găsește din relația: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 sau 0,24=3 a , de unde a = 0,08

Exemplul nr. 3. Determinați legea distribuției unei variabile aleatoare discrete dacă varianța ei este cunoscută și x 1 x 1 =6; x 2 =9; x 3 =x; x 4 =15
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 = 0,3
d(x)=12,96

Soluţie.
Aici trebuie să creați o formulă pentru a găsi varianța d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
unde așteptarea m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Pentru datele noastre
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
sau -9/100 (x 2 -20x+96)=0
În consecință, trebuie să găsim rădăcinile ecuației și vor fi două dintre ele.
x 3 =8, x 3 =12
Alegeți-l pe cel care îndeplinește condiția x 1 x 3 =12

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 = 0,3