Calculați așteptarea matematică a variabilei aleatoare x. Variabile aleatoare. Variabilă aleatoare discretă.Așteptări matematice. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete

Variabilă aleatorie O variabilă se numește o variabilă care, în urma fiecărui test, ia o valoare necunoscută anterior, în funcție de motive aleatorii. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule latine: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ După tipul lor, variabilele aleatoare pot fi discretȘi continuu.

Variabilă aleatorie discretă- aceasta este o variabilă aleatoare ale cărei valori nu pot fi mai mult decât numărabile, adică fie finite, fie numărabile. Prin numărabil înțelegem că valorile variabilă aleatorie pot fi numerotate.

Exemplul 1 . Iată exemple de variabile aleatoare discrete:

a) numărul de lovituri pe țintă cu $n$ lovituri, aici valorile posibile sunt $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) numărul de embleme scăpat la aruncarea unei monede, aici valorile posibile sunt $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) numărul de nave care sosesc la bord (un set numărabil de valori).

d) numărul de apeluri care sosesc la PBX (set numărabil de valori).

1. Legea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete.

O variabilă aleatoare discretă $X$ poate lua valori $x_1,\dots ,\ x_n$ cu probabilități $p\left(x_1\right),\\dots ,\p\left(x_n\right)$. Corespondența dintre aceste valori și probabilitățile lor se numește legea distribuției unei variabile aleatoare discrete. De regulă, această corespondență este specificată folosind un tabel, a cărui primă linie indică valorile $x_1,\dots ,\ x_n$, iar a doua linie conține probabilitățile $p_1,\dots ,\ p_n$ corespunzătoare aceste valori.

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(matrice)$

Exemplul 2 . Fie variabila aleatoare $X$ numărul de puncte aruncate la aruncarea unui zar. O astfel de variabilă aleatorie $X$ poate lua următoarele valori: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Probabilitățile tuturor acestor valori sunt egale cu $1/6$. Atunci legea distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare $X$:

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(matrice)$

cometariu. Deoarece în legea distribuției unei variabile aleatoare discrete $X$ evenimentele $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ formează un grup complet de evenimente, atunci suma probabilităților trebuie să fie egală cu unu, adică $ \sum(p_i)=1$.

2. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete.

Valorea estimata variabilă aleatorieîși stabilește sensul „central”. Pentru o variabilă aleatorie discretă, așteptarea matematică se calculează ca suma produselor valorilor $x_1,\dots ,\ x_n$ și a probabilităților $p_1,\dots ,\p_n$ corespunzătoare acestor valori, adică : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. În literatura de limba engleză, este folosită o altă notație $E\left(X\right)$.

Proprietățile așteptărilor matematice$M\stânga(X\dreapta)$:

1. $M\left(X\right)$ este cuprins între cel mai mic și cele mai mari valori variabilă aleatoare $X$.
2. Așteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta în sine, adică. $M\left(C\right)=C$.
3. Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării matematice: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Exemplul 3 . Să găsim așteptările matematice ale variabilei aleatoare $X$ din exemplul $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\peste (6))+2\cdot ((1)\peste (6) )+3\cdot ((1)\peste (6))+4\cdot ((1)\peste (6))+5\cdot ((1)\peste (6))+6\cdot ((1 )\peste (6))=3.5.$$

Putem observa că $M\left(X\right)$ se află între cea mai mică ($1$) și cea mai mare ($6$) valori ale variabilei aleatoare $X$.

Exemplul 4 . Se știe că așteptarea matematică a variabilei aleatoare $X$ este egală cu $M\left(X\right)=2$. Găsiți așteptările matematice ale variabilei aleatoare $3X+5$.

Folosind proprietățile de mai sus, obținem $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=$11.

Exemplul 5 . Se știe că așteptarea matematică a variabilei aleatoare $X$ este egală cu $M\left(X\right)=4$. Găsiți așteptările matematice ale variabilei aleatoare $2X-9$.

Folosind proprietățile de mai sus, obținem $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Dispersia unei variabile aleatoare discrete.

Valorile posibile ale variabilelor aleatoare cu așteptări matematice egale se pot dispersa diferit în jurul valorilor lor medii. De exemplu, în două grupe de studenți, scorul mediu la examen la teoria probabilității s-a dovedit a fi 4, dar într-un grup toți s-au dovedit a fi elevi buni, iar în celălalt grup au fost doar studenți C și studenți excelenți. Prin urmare, este nevoie de o caracteristică numerică a unei variabile aleatoare care să arate răspândirea valorilor variabilei aleatoare în jurul așteptărilor sale matematice. Această caracteristică este dispersia.

Varianta unei variabile aleatoare discrete$X$ este egal cu:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\dreapta)\right))^2).\ $$

În literatura engleză este folosită notația $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Foarte des, varianța $D\left(X\right)$ este calculată folosind formula $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) stânga(X \dreapta)\dreapta))^2$.

Proprietăți de dispersie$D\stânga(X\dreapta)$:

1. Varianta este întotdeauna mai mare sau egală cu zero, adică. $D\stanga(X\dreapta)\ge 0$.
2. Varianta constantei este zero, i.e. $D\stanga(C\dreapta)=0$.
3. Factorul constant poate fi scos din semnul dispersiei cu condiția ca acesta să fie pătrat, adică $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\dreapta)$.
4. Varianța sumei variabilelor aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestora, i.e. $D\left(X+Y\right)=D\stanga(X\dreapta)+D\stanga(Y\dreapta)$.
5. Varianta diferenței dintre variabilele aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestora, adică. $D\left(X-Y\right)=D\stanga(X\dreapta)+D\stanga(Y\dreapta)$.

Exemplul 6 . Să calculăm varianța variabilei aleatoare $X$ din exemplul $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\dreapta)\right))^2)=((1)\peste (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\peste (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\peste (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\peste (12))\aproximativ 2,92.$$

Exemplul 7 . Se știe că varianța variabilei aleatoare $X$ este egală cu $D\left(X\right)=2$. Găsiți varianța variabilei aleatoare $4X+1$.

Folosind proprietățile de mai sus, găsim $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ stânga(X\dreapta)=16\cdot 2=32$.

Exemplul 8 . Se știe că varianța variabilei aleatoare $X$ este egală cu $D\left(X\right)=3$. Găsiți varianța variabilei aleatoare $3-2X$.

Folosind proprietățile de mai sus, găsim $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ stânga(X\dreapta)=4\cdot 3=12$.

4. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete.

Metoda de reprezentare a unei variabile aleatoare discrete sub forma unei serii de distribuție nu este singura și, cel mai important, nu este universală, deoarece o variabilă aleatoare continuă nu poate fi specificată folosind o serie de distribuție. Există o altă modalitate de a reprezenta o variabilă aleatoare - funcția de distribuție.

Funcția de distribuție variabila aleatoare $X$ se numește o funcție $F\left(x\right)$, care determină probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia o valoare mai mică decât o valoare fixă ​​$x$, adică $F\ stânga(x\right )=P\left(X< x\right)$

Proprietățile funcției de distribuție:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia valori din intervalul $\left(\alpha ;\\beta \right)$ este egală cu diferența dintre valorile funcției de distribuție la sfârșitul acestei interval: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - nedescrescătoare.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \dreapta)=1\ )$.

Exemplul 9 . Să găsim funcția de distribuție $F\left(x\right)$ pentru legea de distribuție a variabilei aleatoare discrete $X$ din exemplul $2$.

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(matrice)$

Dacă $x\le 1$, atunci, evident, $F\left(x\right)=0$ (inclusiv pentru $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).

Dacă 1 USD< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Dacă 2 dolari< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Dacă 3 dolari< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Dacă 4 dolari< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Dacă 5 dolari< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Dacă $x > 6$, atunci $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\stanga(X=4\dreapta)+P\stanga(X=5\dreapta)+P\stanga(X=6\dreapta)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Deci $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ la\ x\le 1,\\
1/6, la\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ la\ 2< x\le 3,\\
1/2, la\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ la\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ la\ 4< x\le 5,\\
1,\ pentru\ x > 6.
\end(matrice)\dreapta.$

Fiecare valoare individuală este complet determinată de funcția sa de distribuție. De asemenea, pentru a rezolva probleme practice, este suficient să cunoașteți mai multe caracteristici numerice, datorită cărora devine posibilă prezentarea principalelor caracteristici ale unei variabile aleatorii într-o formă scurtă.

Aceste cantități includ în primul rând valorea estimataȘi dispersie .

Valorea estimata— valoarea medie a unei variabile aleatoare în teoria probabilității. Notat ca .

Cel mai într-un mod simplu așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X(w), afla cum integralăLebesgueîn raport cu măsura probabilităţii R original spațiu de probabilitate

De asemenea, puteți găsi așteptarea matematică a unei valori ca integrala Lebesgue din X prin distribuție de probabilitate R X cantități X:

unde este setul tuturor valorilor posibile X.

Așteptări matematice ale funcțiilor dintr-o variabilă aleatoare X găsit prin distribuție R X. De exemplu, Dacă X- o variabilă aleatorie cu valori în și f(x)- lipsit de ambiguitate a lui Borelfuncţie X , Acea:

Dacă F(x)- functia de distributie X, atunci așteptarea matematică este reprezentabilă integralăLebesgue - Stieltjes (sau Riemann - Stieltjes):

în acest caz integrabilitatea XÎn ceea ce privește ( * ) corespunde finiturii integralei

În cazuri specifice, dacă X are o distribuție discretă cu valori probabile x k, k=1, 2, . , și probabilități, atunci

Dacă X are o distribuție absolut continuă cu densitate de probabilitate p(x), Acea

în acest caz, existența unei așteptări matematice este echivalentă cu convergența absolută a seriei sau integralei corespunzătoare.

Proprietăți ale așteptării matematice a unei variabile aleatoare.

• Așteptarea matematică a unei valori constante este egală cu această valoare:

C- constant;

• M=C.M[X]

• Așteptările matematice ale sumei valorilor luate aleatoriu este egală cu suma așteptărilor lor matematice:

• Așteptările matematice ale produsului variabilelor independente luate aleatoriu = produsul așteptărilor lor matematice:

L=M[X]+L[Y]

Dacă XȘi Y independent.

dacă seria converge:

Algoritm pentru calcularea așteptărilor matematice.

Proprietăți ale variabilelor aleatoare discrete: toate valorile lor pot fi renumerotate prin numere naturale; atribuiți fiecărei valori o probabilitate diferită de zero.

1. Înmulțiți perechile una câte una: x i pe p i.

2. Adăugați produsul fiecărei perechi x i p i.

De exemplu, Pentru n = 4 :

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete treptat, crește brusc în acele puncte ale căror probabilități au semn pozitiv.

Exemplu: Găsiți așteptările matematice folosind formula.

Capitolul 6.

Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare

Așteptările matematice și proprietățile sale

Pentru a rezolva multe probleme practice, nu este întotdeauna necesară cunoașterea tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare și a probabilităților acestora. Mai mult, uneori legea de distribuție a variabilei aleatoare studiate este pur și simplu necunoscută. Cu toate acestea, este necesar să evidențiem unele trăsături ale acestei variabile aleatoare, cu alte cuvinte, caracteristicile numerice.

Caracteristici numerice- acestea sunt câteva numere care caracterizează anumite proprietăți, Caracteristici variabilă aleatorie.

De exemplu, valoarea medie a unei variabile aleatoare, răspândirea medie a tuturor valorilor unei variabile aleatoare în jurul mediei sale etc. Principalul scop al caracteristicilor numerice este de a exprima într-o formă concisă cele mai importante trăsături ale distribuției variabilei aleatoare studiate. Caracteristicile numerice joacă un rol important în teoria probabilității. Ele ajută la rezolvarea, chiar și fără cunoașterea legilor distribuției, a multor probleme practice importante.

Dintre toate caracteristicile numerice, evidențiem mai întâi caracteristicile poziției. Acestea sunt caracteristici care fixează poziția unei variabile aleatoare pe axa numerică, adică. o anumită valoare medie în jurul căreia sunt grupate valorile rămase ale variabilei aleatoare.

Dintre caracteristicile unei poziții, cel mai mare rol în teoria probabilității îl joacă așteptarea matematică.

Valorea estimata numită uneori pur și simplu media unei variabile aleatoare. Este un fel de centru de distribuție.

Așteptarea unei variabile aleatoare discrete

Să luăm mai întâi în considerare conceptul de așteptare matematică pentru o variabilă aleatorie discretă.

Înainte de a introduce o definiție formală, să rezolvăm următoarea problemă simplă.

Exemplu 6.1. Lasă un anumit trăgător să tragă 100 de focuri la o țintă. Ca urmare, s-a obținut următoarea poză: 50 de lovituri - lovirea de „opt”, 20 de lovituri - lovirea de „nouă” și 30 - lovirea de „zece”. Care este scorul mediu pentru o singură lovitură?

Soluţie Această problemă este evidentă și se rezumă la găsirea valorii medii a 100 de numere, și anume puncte.

Transformăm fracția împărțind numărătorul la numitorul termen cu termen și prezentăm valoarea medie sub forma următoarei formule:

Să presupunem acum că numărul de puncte dintr-o singură lovitură sunt valorile unei variabile aleatoare discrete X. Din enunțul problemei reiese clar că X 1 =8; X 2 =9; X 3 =10. Sunt cunoscute frecvențele relative de apariție a acestor valori, care, după cum se știe, cu un număr mare de teste sunt aproximativ egale cu probabilitățile valorilor corespunzătoare, adică. R 1 ≈0,5;R 2 ≈0,2; R 3 ≈0,3. Asa de, . Valoarea din partea dreaptă este așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete.

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete X este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestor valori.

Fie variabila aleatoare discreta X este dat de seria sa de distribuție:

Apoi așteptarea matematică M(X) a unei variabile aleatoare discrete este determinată de următoarea formulă:

Dacă o variabilă aleatorie discretă ia un set infinit de valori numărabile, atunci așteptarea matematică este exprimată prin formula:

,

Mai mult, așteptarea matematică există dacă seria din partea dreaptă a egalității converge absolut.

Exemplu 6.2 . Găsiți așteptările matematice de a câștiga Xîn condiţiile exemplului 5.1.

Soluţie . Amintiți-vă că seria de distribuție X are următoarea formă:

Primim M(X)=0∙0,7+10∙0,2+50∙0,1=7. Evident, 7 ruble este un preț corect pentru un bilet la această loterie, fără costuri diferite, de exemplu, asociate cu distribuția sau producția de bilete. ■

Exemplu 6.3 . Fie variabila aleatoare X este numărul de apariții ale unui eveniment Aîntr-un singur test. Probabilitatea acestui eveniment este R. Găsi M(X).

Soluţie. Evident, valorile posibile ale variabilei aleatoare sunt: X 1 =0 – eveniment A nu a apărut și X 2 =1 – eveniment A a apărut. Seria de distribuție arată astfel:

Apoi M(X) = 0∙(1−R)+1∙R= R. ■

Deci, așteptarea matematică a numărului de apariții ale unui eveniment într-o încercare este egală cu probabilitatea acestui eveniment.

La începutul paragrafului a fost dată o problemă specifică, unde a fost indicată legătura dintre așteptarea matematică și valoarea medie a unei variabile aleatoare. Să explicăm acest lucru în termeni generali.

Lasă-l să fie produs k teste în care variabila aleatoare X admis k 1 valoare de timp X 1 ; k de 2 ori valoarea X 2, etc. și, în sfârșit k n ori valoarea xn. Este evident că k 1 +k 2 +…+k n = k. Să găsim media aritmetică a tuturor acestor valori, avem

Rețineți că o fracție este frecvența relativă de apariție a unei valori x i V k teste. Cu un număr mare de teste, frecvența relativă este aproximativ egală cu probabilitatea, adică. . Rezultă că

.

Astfel, așteptarea matematică este aproximativ egală cu media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare și cu cât este mai precisă, cu atât este mai mare numărul de teste - acesta este sens probabilistic al așteptărilor matematice.

Valoarea așteptată este uneori numită centru distribuția unei variabile aleatoare, deoarece este evident că valorile posibile ale variabilei aleatoare sunt situate pe axa numerică la stânga și la dreapta așteptării sale matematice.

Să trecem acum la conceptul de așteptare matematică pentru o variabilă aleatoare continuă.

Caracteristicile numerice de bază ale variabilelor aleatoare discrete și continue: așteptarea matematică, dispersia și abaterea standard. Proprietățile și exemplele lor.

Legea distribuției (funcția de distribuție și seria de distribuție sau densitatea de probabilitate) descrie complet comportamentul unei variabile aleatoare. Dar într-o serie de probleme este suficient să cunoaștem unele caracteristici numerice ale valorii studiate (de exemplu, valoarea medie și posibila abatere de la el) pentru a răspunde la întrebarea pusă. Să luăm în considerare principalele caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare discrete.

Definiție 7.1.Așteptări matematice O variabilă aleatorie discretă este suma produselor valorilor sale posibile și probabilitățile lor corespunzătoare:

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p p p.(7.1)

Dacă numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare este infinit, atunci dacă seria rezultată converge absolut.

Nota 1. Uneori se numește așteptarea matematică medie ponderată, deoarece este aproximativ egală cu media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare pe un număr mare de experimente.

Nota 2. Din definiția așteptării matematice rezultă că valoarea acesteia nu este mai mică decât cea mai mică valoare posibilă a unei variabile aleatoare și nu mai mult decât cea mai mare.

Nota 3. Aşteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete este Nu la nimereală(constant. Vom vedea mai târziu că același lucru este valabil și pentru variabile aleatoare continue.

Exemplul 1. Găsiți așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X- numarul de piese standard dintre trei selectate dintr-un lot de 10 piese, inclusiv 2 defecte. Să creăm o serie de distribuție pentru X. Din condiţiile problemei rezultă că X poate lua valori 1, 2, 3. Apoi

Exemplul 2. Determinați așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X- numărul de aruncări de monede înainte de prima apariție a stemei. Această cantitate poate lua un număr infinit de valori (mulțimea de valori posibile este mulțimea numerelor naturale). Seria sa de distribuție are forma:

+ (la calcul, formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare a fost folosită de două ori: , de unde ).

Proprietățile așteptărilor matematice.

1) Așteptările matematice ale unei constante este egală cu constanta însăși:

M(CU) = CU.(7.2)

Dovada. Dacă luăm în considerare CU ca o variabilă aleatoare discretă luând o singură valoare CU cu probabilitate R= 1, atunci M(CU) = CU?1 = CU.

2) Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării matematice:

M(CX) = CM(X). (7.3)

Dovada. Dacă variabila aleatoare X dat de seria de distribuţie

Apoi M(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p p = CU(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = CM(X).

Definiție 7.2. Sunt numite două variabile aleatoare independent, dacă legea de distribuție a unuia dintre ele nu depinde de ce valori a luat celălalt. Altfel variabilele aleatoare dependent.

Definiție 7.3. Hai sa sunăm produsul variabilelor aleatoare independente XȘi Y variabilă aleatorie X Y, ale căror valori posibile sunt egale cu produsele tuturor valorilor posibile X pentru toate valorile posibile Y, iar probabilitățile corespunzătoare sunt egale cu produsele probabilităților factorilor.

3) Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice:

M(X Y) = M(X)M(Y). (7.4)

Dovada. Pentru a simplifica calculele, ne limităm la cazul în care XȘi Y luați doar două valori posibile:

Prin urmare, M(X Y) = X 1 y 1 ?p 1 g 1 + X 2 y 1 ?p 2 g 1 + X 1 y 2 ?p 1 g 2 + X 2 y 2 ?p 2 g 2 = y 1 g 1 (X 1 p 1 + X 2 p 2) + + y 2 g 2 (X 1 p 1 + X 2 p 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (X 1 p 1 + X 2 p 2) = M(X)?M(Y).

Nota 1. Puteți demonstra în mod similar această proprietate pentru un număr mai mare de valori posibile ale factorilor.

Nota 2. Proprietatea 3 este adevărată pentru produsul oricărui număr de variabile aleatoare independente, care este dovedit prin inducție matematică.

Definiție 7.4. Să definim suma variabilelor aleatoare XȘi Y ca variabilă aleatoare X+Y, ale căror valori posibile sunt egale cu sumele fiecărei valori posibile X cu toate valorile posibile Y; probabilitățile unor astfel de sume sunt egale cu produsele probabilităților termenilor (pentru variabile aleatoare dependente - produsele probabilității unui termen prin probabilitatea condiționată a celui de-al doilea).

4) Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare (dependente sau independente) este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor:

M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)

Dovada.

Să luăm din nou în considerare variabilele aleatoare definite de seria de distribuție dată în demonstrația proprietății 3. Apoi valorile posibile X+Y sunt X 1 + la 1 , X 1 + la 2 , X 2 + la 1 , X 2 + la 2. Să notăm probabilitățile lor, respectiv ca R 11 , R 12 , R 21 și R 22. Vom găsi M(X+Y) = (X 1 + y 1)p 11 + (X 1 + y 2)p 12 + (X 2 + y 1)p 21 + (X 2 + y 2)p 22 =

= X 1 (p 11 + p 12) + X 2 (p 21 + p 22) + y 1 (p 11 + p 21) + y 2 (p 12 + p 22).

Să demonstrăm asta R 11 + R 22 = R 1 . Într-adevăr, evenimentul care X+Y va lua valori X 1 + la 1 sau X 1 + la 2 și a cărui probabilitate este R 11 + R 22 coincide cu evenimentul care X = X 1 (probabilitatea sa este R 1). Se demonstrează în mod similar că p 21 + p 22 = R 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2. Mijloace,

M(X+Y) = X 1 p 1 + X 2 p 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).

cometariu. Din proprietatea 4 rezultă că suma oricărui număr de variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor.

Exemplu. Aflați așteptarea matematică a sumei numărului de puncte obținute la aruncarea a cinci zaruri.

Să aflăm așteptările matematice ale numărului de puncte aruncate la aruncarea unui zar:

M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Același număr este egal cu așteptarea matematică a numărului de puncte aruncate pe orice zar. Prin urmare, prin proprietatea 4 M(X)=

Dispersia.

Pentru a avea o idee despre comportamentul unei variabile aleatoare, nu este suficient să cunoaștem doar așteptările ei matematice. Luați în considerare două variabile aleatorii: XȘi Y, specificat prin seria de distribuție a formularului

Vom găsi M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) = 0?0.5 + 100?0.5 = 50. După cum puteți vedea, așteptările matematice ale ambelor mărimi sunt egale, dar dacă pentru HM(X) descrie bine comportamentul unei variabile aleatoare, fiind valoarea ei cea mai probabilă posibilă (iar valorile rămase nu diferă mult de 50), apoi valorile Y eliminat semnificativ din M(Y). Prin urmare, împreună cu așteptările matematice, este de dorit să se știe cât de mult se abate valorile unei variabile aleatoare de la aceasta. Pentru a caracteriza acest indicator, se utilizează dispersia.

Definiție 7.5.Dispersare (împrăștiere) a unei variabile aleatoare este așteptarea matematică a pătratului abaterii sale de la așteptarea sa matematică:

D(X) = M (X-M(X))². (7,6)

Să găsim varianța variabilei aleatoare X(numărul de părți standard dintre cele selectate) în exemplul 1 al acestei prelegeri. Să calculăm abaterea pătrată a fiecărei valori posibile de la așteptările matematice:

(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Prin urmare,

Nota 1.În determinarea dispersiei, nu abaterea de la medie în sine este evaluată, ci pătratul acesteia. Acest lucru se face astfel încât abaterile diferitelor semne să nu se anuleze reciproc.

Nota 2. Din definiția dispersiei rezultă că această cantitate ia doar valori nenegative.

Nota 3. Există o formulă pentru calcularea varianței care este mai convenabilă pentru calcule, a cărei validitate este dovedită în următoarea teoremă:

Teorema 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Dovada.

Folosind ce M(X) este o valoare constantă, iar proprietățile așteptării matematice, transformăm formula (7.6) în forma:

D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), ceea ce trebuia dovedit.

Exemplu. Să calculăm varianțele variabilelor aleatoare XȘi Y discutat la începutul acestei secțiuni. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(Y) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Deci, varianța celei de-a doua variabile aleatoare este de câteva mii de ori mai mare decât varianța primei. Astfel, chiar și fără a cunoaște legile de distribuție a acestor mărimi, pe baza valorilor de dispersie cunoscute putem afirma că X se abate puțin de la așteptările sale matematice, în timp ce pentru Y această abatere este destul de semnificativă.

Proprietăți de dispersie.

1) Varianta unei valori constante CU egal cu zero:

D (C) = 0. (7.8)

Dovada. D(C) = M((CM(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.

2) Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul:

D(CX) = C² D(X). (7.9)

Dovada. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =

= C² D(X).

3) Varianța sumei a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor lor:

D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)

Dovada. D(X+Y) = M(X² + 2 X Y + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +

+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).

Corolarul 1. Varianța sumei mai multor variabile aleatoare reciproc independente este egală cu suma varianțelor acestora.

Corolarul 2. Varianța sumei unei constante și a unei variabile aleatoare este egală cu varianța variabilei aleatoare.

4) Varianta diferenței dintre două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestora:

D(X Y) = D(X) + D(Y). (7.11)

Dovada. D(X Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).

Varianta dă valoarea medie a abaterii pătrate a unei variabile aleatoare de la medie; Pentru a evalua abaterea în sine, se folosește o valoare numită abatere standard.

Definiție 7.6.Deviație standardσ variabilă aleatoare X se numește rădăcina pătrată a varianței:

Exemplu. În exemplul anterior, abaterile standard XȘi Y sunt, respectiv, egali

– numărul băieților din 10 nou-născuți.

Este absolut clar că acest număr nu este cunoscut în prealabil, iar următorii zece copii născuți pot include:

Sau baieti - unul si numai unul din opțiunile enumerate.

Și, pentru a fi în formă, puțină educație fizică:

- distanta de saritura in lungime (în unele unități).

Nici măcar un maestru al sportului nu o poate prezice :)

Totuși, ipotezele tale?

2) Variabilă aleatoare continuă – acceptă Toate valori numerice dintr-un interval finit sau infinit.

Notă : abrevierile DSV și NSV sunt populare în literatura educațională

Mai întâi, să analizăm variabila aleatoare discretă, apoi - continuu.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete

- Acest corespondenţăîntre valorile posibile ale acestei mărimi și probabilitățile acestora. Cel mai adesea, legea este scrisă într-un tabel:

Termenul apare destul de des rând distributie, dar în unele situații sună ambiguu, așa că voi rămâne la „lege”.

Si acum Foarte punct important : din moment ce variabila aleatoare Neapărat voi accepta una dintre valori, apoi se formează evenimentele corespunzătoare grup complet iar suma probabilităților apariției lor este egală cu unu:

sau, dacă este scris condensat:

Deci, de exemplu, legea distribuției probabilității a punctelor aruncate pe un zar are următoarea formă:

Fara comentarii.

Este posibil să aveți impresia că o variabilă aleatoare discretă poate lua numai valori întregi „bune”. Să risipim iluzia - pot fi orice:

Exemplul 1

Un joc are următoarea lege de distribuție câștigătoare:

...probabil că ai visat de mult timp la astfel de sarcini :) Îți spun un secret - și eu. Mai ales după terminarea lucrărilor teoria câmpului.

Soluţie: deoarece o variabilă aleatoare poate lua doar una din trei valori, se formează evenimentele corespunzătoare grup complet, ceea ce înseamnă că suma probabilităților lor este egală cu unu:

Demascarea „partizanului”:

– astfel, probabilitatea de a câștiga unități convenționale este de 0,4.

Control: de asta trebuia să ne asigurăm.

Răspuns:

Nu este neobișnuit când trebuie să întocmești singur o lege de distribuție. Pentru aceasta folosesc definiția clasică a probabilității, teoreme de înmulțire/adunare pentru probabilitățile de evenimenteși alte chips-uri tervera:

Exemplul 2

Cutia conține 50 de bilete de loterie, dintre care 12 sunt câștigătoare, iar 2 dintre ele câștigă câte 1000 de ruble fiecare, iar restul - câte 100 de ruble fiecare. Întocmește o lege pentru distribuirea unei variabile aleatoare - mărimea câștigurilor, dacă un bilet este extras la întâmplare din casetă.

Soluţie: după cum ați observat, valorile unei variabile aleatoare sunt de obicei plasate în în ordine crescătoare. Prin urmare, începem cu cele mai mici câștiguri, și anume ruble.

Sunt 50 de astfel de bilete în total - 12 = 38, și conform definiție clasică:
– probabilitatea ca un bilet extras aleatoriu să fie învins.

În alte cazuri, totul este simplu. Probabilitatea de a câștiga ruble este:

Verificați: – și acesta este un moment deosebit de plăcut al unor astfel de sarcini!

Răspuns: legea dorită de distribuire a câștigurilor:

Următoarea sarcină este pe care o puteți rezolva singur:

Exemplul 3

Probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta este de . Întocmește o lege de distribuție pentru o variabilă aleatorie - numărul de lovituri după 2 lovituri.

...știam că ți-a fost dor de el :) Să ne amintim teoreme de înmulțire și adunare. Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

Legea distribuției descrie complet o variabilă aleatoare, dar în practică poate fi util (și uneori mai util) să cunoști doar o parte din ea. caracteristici numerice .

Așteptarea unei variabile aleatoare discrete

Vorbitor într-un limbaj simplu, Acest valoarea medie aşteptată când testarea se repetă de mai multe ori. Lăsați variabila aleatoare să ia valori cu probabilități respectiv. Atunci așteptarea matematică a acestei variabile aleatoare este egală cu suma de produse toate valorile sale la probabilitățile corespunzătoare:

sau prăbușit:

Să calculăm, de exemplu, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare - numărul de puncte aruncate pe un zar:

Acum să ne amintim jocul nostru ipotetic:

Apare întrebarea: este profitabil să joci acest joc? ...cine are impresii? Așa că nu o poți spune „de la îndemână”! Dar la această întrebare se poate răspunde cu ușurință prin calcularea așteptărilor matematice, în esență - medie ponderată după probabilitatea de câștig:

Astfel, așteptările matematice ale acestui joc pierzând.

Nu ai încredere în impresiile tale - ai încredere în cifre!

Da, aici poți câștiga de 10 sau chiar de 20-30 de ori la rând, dar pe termen lung ne așteaptă o ruină inevitabilă. Și nu te-aș sfătui să joci astfel de jocuri :) Ei bine, poate doar pentru distractie.

Din toate cele de mai sus rezultă că așteptarea matematică nu mai este o valoare RANDOM.

Sarcina creativă pentru cercetare independentă:

Exemplul 4

Domnul X joacă la ruleta europeană folosind următorul sistem: pariază constant 100 de ruble pe „roșu”. Întocmește o lege de distribuție a unei variabile aleatoare - câștigurile acesteia. Calculați așteptările matematice ale câștigurilor și rotunjiți-o la copecul cel mai apropiat. Câți in medie Pierde jucătorul pentru fiecare sută pe care a pariat?

Referinţă : Ruleta europeană conține 18 sectoare roșii, 18 negre și 1 verde („zero”). Dacă apare un „roșu”, jucătorul este plătit dublu pariul, în caz contrar, acesta merge la venitul cazinoului

Există multe alte sisteme de ruletă pentru care vă puteți crea propriile tabele de probabilități. Dar acesta este cazul când nu avem nevoie de nicio lege sau tabele de distribuție, deoarece s-a stabilit cu siguranță că așteptările matematice ale jucătorului vor fi exact aceleași. Singurul lucru care se schimbă de la sistem la sistem este