Riešenie aplikovaných úloh sa redukuje na výpočet integrálu, ale nie vždy je možné to urobiť presne. Niekedy je potrebné poznať hodnotu určitého integrálu s určitým stupňom presnosti, napríklad na tisícinu.

Sú úlohy, kedy by bolo potrebné nájsť približnú hodnotu určitého integrálu s požadovanou presnosťou, potom sa používa numerická integrácia ako Simposnova metóda, lichobežníky, obdĺžniky. Nie všetky prípady nám umožňujú vypočítať ho s určitou presnosťou.

Tento článok sa zaoberá aplikáciou Newtonovho-Leibnizovho vzorca. To je potrebné pre presný výpočet určitého integrálu. Uvedieme podrobné príklady, zvážime zmenu premennej v určitom integráli a nájdeme hodnoty určitého integrálu pri integrácii po častiach.

Newtonov-Leibnizov vzorec

Keď je funkcia y = y (x) spojitá zo segmentu [ a ; b ] a F (x) je potom jedným z primitívnych derivátov funkcie tohto segmentu Newtonov-Leibnizov vzorec považované za spravodlivé. Napíšme to takto ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Tento vzorec zvážiť základný vzorec integrálneho počtu.

Na preukázanie tohto vzorca je potrebné použiť koncept integrálu s dostupným horným limitom premennej.

Keď je funkcia y = f (x) spojitá zo segmentu [ a ; b ] , potom hodnotu argumentu x ∈ a ; b , a integrál má tvar ∫ a x f (t) d t a považuje sa za funkciu hornej hranice. Je potrebné akceptovať, že zápis funkcie bude mať tvar ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , je spojitý a nerovnosť tvaru ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = platí preň f (x).

Zafixujeme, že prírastok funkcie Φ (x) zodpovedá prírastku argumentu ∆ x , je potrebné použiť piatu hlavnú vlastnosť určitého integrálu a získať

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x

kde hodnota c ∈ x ; x + ∆x .

Rovnosť zafixujeme v tvare Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Definíciou derivácie funkcie je potrebné prejsť do limity ako ∆ x → 0, potom dostaneme vzorec v tvare umiestnenom na [ a ; b ] V opačnom prípade možno výraz zapísať

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , kde hodnota C je konštantná.

Vypočítajme F (a) pomocou prvej vlastnosti určitého integrálu. Potom to dostaneme

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, teda C = F (a) . Výsledok je použiteľný pri výpočte F (b) a dostaneme:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) , inými slovami, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . Rovnosť dokazuje Newtonov-Leibnizov vzorec ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Prírastok funkcie sa berie ako F x a b = F (b) - F (a) . Pomocou notácie sa z Newtonovho-Leibnizovho vzorca stane ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Pre aplikáciu vzorca je potrebné poznať jednu z primitív y = F (x) integrandu y = f (x) zo segmentu [ a ; b ] , vypočítajte prírastok primitívneho derivátu z tohto segmentu. Zvážte niekoľko príkladov výpočtov pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca.

Príklad 1

Vypočítajte určitý integrál ∫ 1 3 x 2 d x pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca.

Riešenie

Uvažujme, že integrand tvaru y = x 2 je spojitý z intervalu [ 1 ; 3 ] , potom a je integrovateľný na tento segment. Podľa tabuľky neurčitých integrálov vidíme, že funkcia y \u003d x 2 má množinu primitívnych derivátov pre všetky reálne hodnoty x, čo znamená, že x ∈ 1; 3 sa zapíše ako F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Je potrebné vziať antiderivát s C \u003d 0, potom dostaneme F (x) \u003d x 3 3.

Použime Newtonov-Leibnizov vzorec a získame, že výpočet určitého integrálu bude mať tvar ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .

odpoveď:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Príklad 2

Vypočítajte určitý integrál ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x pomocou Newton-Leibnizovho vzorca.

Riešenie

Daná funkcia je spojitá od segmentu [-1; 2 ], čo znamená, že je naň integrovateľný. Je potrebné nájsť hodnotu neurčitého integrálu ∫ x e x 2 + 1 d x metódou sčítania pod diferenciálnym znamienkom, potom dostaneme ∫ x e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1 ) = 12 e x 2 + 1 + C.

Máme teda množinu primitív funkcie y = x · e x 2 + 1 , ktoré platia pre všetky x , x ∈ - 1 ; 2.

Je potrebné zobrať primitívny prvok pri C = 0 a použiť Newtonov-Leibnizov vzorec. Potom dostaneme vyjadrenie formy

∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 – 1)

odpoveď:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Príklad 3

Vypočítajte integrály ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x a ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Riešenie

Segment - 4; - 1 2 hovorí, že funkcia pod znakom integrálu je spojitá, čo znamená, že je integrovateľná. Odtiaľto nájdeme množinu primitívnych funkcií funkcie y = 4 x 3 + 2 x 2 . Chápeme to

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Je potrebné vziať antideriváciu F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x, potom pomocou vzorca Newton-Leibniz získame integrál, ktorý vypočítame:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Prejdeme k výpočtu druhého integrálu.

Zo segmentu [-1; 1 ] máme, že integrand sa považuje za neohraničený, pretože lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , potom z toho vyplýva, že nevyhnutná podmienka integrovateľnosť zo segmentu. Potom F (x) = 2 x 2 - 2 x nie je primitívna derivácia pre y = 4 x 3 + 2 x 2 z intervalu [ - 1 ; 1 ] , keďže bod O patrí do segmentu, ale nie je zahrnutý v doméne definície. To znamená, že existuje určitý Riemannov a Newton-Leibnizov integrál pre funkciu y = 4 x 3 + 2 x 2 z intervalu [ - 1 ; 1].

Odpoveď: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28, existuje určitý integrál Riemanna a Newtona-Leibniza pre funkciu y = 4 x 3 + 2 x 2 z intervalu [ - 1 ; 1].

Pred použitím Newtonovho-Leibnizovho vzorca musíte presne vedieť o existencii určitého integrálu.

Zmena premennej v určitom integráli

Keď je funkcia y = f (x) definovaná a spojitá zo segmentu [ a ; b ] , potom existujúca množina [ a ; b ] sa považuje rozsah funkcie x = g (z) definovaný na intervale α ; β s existujúcou spojitou deriváciou, kde g (α) = a a g β = b , teda dostaneme, že ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g “ (z) d z .

Tento vzorec sa používa, keď je potrebné vypočítať integrál ∫ a b f (x) d x , kde neurčitý integrál má tvar ∫ f (x) d x , vypočítame substitučnou metódou.

Príklad 4

Vypočítajte určitý integrál v tvare ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Riešenie

Integrand sa považuje za spojitý na integračnom intervale, čo znamená, že určitý integrál existuje. Uveďme zápis, že 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Hodnota x \u003d 9 znamená, že z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3 a pre x \u003d 18 dostaneme, že z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 α 3, potom g . u003d g (3) \u003d 9, g β = g 3 3 = 18. Dosadením získaných hodnôt do vzorca ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z dostaneme, že

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = ∫ 3 3 + 3 2 z 2 9 d z

Podľa tabuľky neurčitých integrálov máme, že jedna z primitív funkcie 2 z 2 + 9 nadobúda hodnotu 2 3 a r c t g z 3 . Potom získame pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 D z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a rc t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 3 π 3 - π 4 = π 1 8

Zistenie by sa dalo urobiť bez použitia vzorca ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .

Ak náhradná metóda používa integrál v tvare ∫ 1 x 2 x - 9 d x , potom môžeme dospieť k výsledku ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Odtiaľto vykonáme výpočty pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca a vypočítame určitý integrál. Chápeme to

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c r c t 3 - a 4 \u003d π 18

Výsledky sa zhodovali.

Odpoveď: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Integrácia po častiach pri výpočte určitého integrálu

Ak je na segmente [ a ; b ] funkcie u (x) a v (x) sú definované a spojité, potom ich derivácie prvého rádu v " (x) u (x) sú integrovateľné, teda z tohto intervalu pre integrovateľnú funkciu u " (x) v ( x) platí rovnosť ∫ a b v " (x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x.

Potom je možné použiť vzorec, je potrebné vypočítať integrál ∫ a b f (x) d x a ∫ f (x) d x ho bolo potrebné nájsť integráciou po častiach.

Príklad 5

Vypočítajte určitý integrál ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Riešenie

Funkcia x sin x 3 + π 6 je integrovateľná na segmente - π 2; 3 π 2 , teda je spojitá.

Nech u (x) \u003d x, potom d (v (x)) \u003d v "(x) d x \u003d sin x 3 + π 6 d x a d (u (x)) \u003d u "(x) d x \u003d d x a v (x) = - 3 cos π3 + π6. Zo vzorca ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x dostaneme, že

∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + \ π 6 d x \u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 2 - 3 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Riešenie príkladu je možné vykonať aj iným spôsobom.

Nájdite množinu primitívnych derivátov funkcie x sin x 3 + π 6 pomocou integrácie po častiach pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca:

∫ x sin x x 3 + π 6 d x = u = x, d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Odpoveď: ∫ x sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Deriváty vyšších rádov

V tejto lekcii sa naučíme, ako nájsť deriváty vyšších rádov, ako aj písať všeobecný vzorec"n" derivát. Okrem toho sa zváži Leibnizov vzorec pre takýto derivát a na základe všeobecného dopytu sa zvážia deriváty vyššieho rádu implicitná funkcia. Navrhujem, aby ste si okamžite urobili mini-test:

Tu je funkcia: a tu je jeho prvý derivát:

V prípade, že máte nejaké ťažkosti/nedorozumenia týkajúce sa tohto príkladu, začnite prosím dvoma základnými článkami môjho kurzu: Ako nájsť derivát? A Derivácia zloženej funkcie. Po zvládnutí elementárnych derivátov vám odporúčam prečítať si lekciu Najjednoduchšie problémy s derivátom, ktorým sme sa venovali najmä druhá derivácia.

Nie je ťažké uhádnuť, že druhá derivácia je deriváciou prvej derivácie:

V zásade sa druhá derivácia už považuje za deriváciu vyššieho rádu.

Podobne: tretia derivácia je deriváciou druhej derivácie:

Štvrtá derivácia je deriváciou tretej derivácie:

Piaty derivát: a je zrejmé, že všetky deriváty vyšších rádov sa budú rovnať nule:

Okrem rímskeho číslovania sa v praxi často používajú tieto označenia:
, pričom derivát „n-tého“ rádu sa označuje . V tomto prípade musí byť index horného indexu uzavretý v zátvorkách.- odlíšiť deriváciu od "y" v stupni.

Niekedy sa vyskytne takýto záznam: - tretí, štvrtý, piaty, ..., "n-tý" derivát, resp.

Vpred bez strachu a pochybností:

Príklad 1

Daná funkcia. Nájsť .

Riešenie: čo poviete ... - vpred pre štvrtý derivát :)

Už nie je zvykom dávať štyri ťahy, takže prejdeme k číselným indexom:

Odpoveď:

Dobre, teraz sa zamyslime nad touto otázkou: čo robiť, ak sa podľa podmienky vyžaduje nájsť nie 4., ale napríklad 20. derivát? Ak pre derivát 3-4-5 (maximálne 6.-7.) poriadku, riešenie je vypracované pomerne rýchlo, potom sa „dostaneme“ k derivátom vyšších rádov, ach, ako nie. Nepíšte v skutočnosti 20 riadkov! IN podobná situácia musíte analyzovať niekoľko nájdených derivátov, pozrieť si vzor a zostaviť vzorec pre „n-tý“ derivát. Takže v príklade č. 1 je ľahké pochopiť, že pri každej ďalšej diferenciácii pred exponentom „vyskočí“ ďalšia „trojka“ a v ktoromkoľvek kroku sa stupeň „trojky“ rovná počtu derivát teda:

Kde je ľubovoľné prirodzené číslo.

A skutočne, ak , potom sa získa presne 1. derivácia: , ak - tak 2.: atď. Dvadsiata derivácia je teda určená okamžite: - a žiadne "kilometrové listy"!

Vlastné zahrievanie:

Príklad 2

Nájdite funkcie. Napíšte deriváciu objednávky

Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Po povzbudzujúcej rozcvičke sa pozrime na ďalšie komplexné príklady, v ktorom vypracujeme vyššie uvedený algoritmus riešenia. Pre tých, ktorí čítali lekciu Limit sekvencie, bude to trochu jednoduchšie:

Príklad 3

Nájsť pre funkciu .

Riešenie: na objasnenie situácie nájdeme niekoľko derivátov:

S násobením výsledných čísel sa neponáhľame! ;-)


Možno dosť. ... Aj trochu prehnané.

V ďalšom kroku je najlepšie napísať vzorec pre „n-tú“ deriváciu (akonáhle to podmienka nevyžaduje, môžete si vystačiť s návrhom). Aby sme to dosiahli, pozrieme sa na získané výsledky a identifikujeme vzory, s ktorými sa získa každá ďalšia derivácia.

Najprv sa podpíšu. Prekladanie poskytuje "blikačka" a keďže 1. derivácia je kladná, do všeobecného vzorca vstúpi nasledujúci faktor: . Bude stačiť ekvivalentná možnosť, ale osobne ako optimista milujem znamienko plus =)

Po druhé, v čitateli "vetry" faktoriál a „zaostáva“ za číslom derivácie o jednu jednotku:

A po tretie, mocnosť „dvojky“ rastie v čitateli, ktorý sa rovná číslu derivácie. To isté možno povedať o stupni menovateľa. Nakoniec:

Na účely overenia nahraďme napríklad pár hodnôt „en“ a:

Skvelé, teraz urobiť chybu je len hriech:

Odpoveď:

Jednoduchšia funkcia pre riešenie „urob si sám“:

Príklad 4

Nájdite funkcie.

A zložitejší problém:

Príklad 5

Nájdite funkcie.

Zopakujme postup ešte raz:

1) Najprv nájdeme niekoľko derivátov. Na zachytenie vzorov zvyčajne stačia tri alebo štyri.

2) Potom dôrazne odporúčam zostaviť (aspoň na koncepte)"n-tý" derivát - zaručene chráni pred chybami. Ale zaobídete sa aj bez, t.j. mentálne odhadnúť a hneď zapísať napríklad dvadsiatu alebo ôsmu deriváciu. Navyše, niektorí ľudia sú vo všeobecnosti schopní riešiť zvažované problémy ústne. Malo by sa však pamätať na to, že „rýchle“ metódy sú plné a je lepšie hrať na istotu.

3) V záverečnej fáze skontrolujeme „n-tý“ derivát - vezmeme pár hodnôt „en“ (lepšie ako susedné) a vykonáme substitúciu. A ešte spoľahlivejšie je skontrolovať všetky skôr nájdené deriváty. Potom dosadíme v želanej hodnote napr. alebo a výsledok opatrne vyčešeme.

Stručné riešenie 4. a 5. príkladu na konci hodiny.

V niektorých úlohách, aby ste sa vyhli problémom, musíte s funkciou urobiť malú mágiu:

Príklad 6

Riešenie: Nechcem vôbec rozlišovať navrhovanú funkciu, pretože sa ukáže, že ide o „zlý“ zlomok, čo veľmi sťaží nájdenie následných derivátov.

V tomto ohľade je vhodné vykonať predbežné transformácie: používame rozdiel štvorcov vzorca A vlastnosť logaritmu :

Celkom iná záležitosť:

A starí priatelia:

Myslím si, že sa pozerá na všetko. Všimnite si, že 2. zlomok je podpísaný, ale 1. nie. Zostrojíme deriváciu objednávky:

ovládanie:

Pre krásu vyberáme faktoriál zo zátvoriek:

Odpoveď:

Zaujímavá úloha pre nezávislé riešenie:

Príklad 7

Napíšte vzorec derivácie objednávky pre funkciu

A teraz o neotrasiteľnej vzájomnej zodpovednosti, ktorú im bude závidieť aj talianska mafia:

Príklad 8

Daná funkcia. Nájsť

Osemnásta derivácia v bode . Len.

Riešenie: Najprv musíte samozrejme nájsť . Choď:

Začali od sínusu a prišli k sínusu. Je jasné, že s ďalšou diferenciáciou bude tento cyklus pokračovať do nekonečna a vyvstáva otázka: ako sa najlepšie „dostať“ k osemnástej derivácii?

„Amatérska“ metóda: rýchlo zapíšeme čísla nasledujúcich derivátov vpravo do stĺpca:

Takto:

Ale funguje to, ak poradie derivácie nie je príliš veľké. Ak potrebujete nájsť, povedzme, stý derivát, mali by ste použiť deliteľnosť 4. Sto je deliteľné 4 bezo zvyšku a je ľahké vidieť, že takéto čísla sa nachádzajú na spodnom riadku, preto: .

Mimochodom, 18. derivácia môže byť tiež určená z podobných úvah:
Druhý riadok obsahuje čísla, ktoré sú deliteľné 4 so zvyškom 2.

Ďalšia, akademickejšia metóda je založená na sínusová periodicita A redukčné vzorce. Používame hotový vzorec "n-tý" derivát sínusu , do ktorého sa jednoducho dosadí požadované číslo. Napríklad:
(redukčný vzorec ) ;
(redukčný vzorec )

V našom prípade:

(1) Keďže sínus je periodická funkcia s bodkou, potom sa dá argument bezbolestne „odskrutkovať“ 4 periódy (t.j.).

Deriváciu poriadku súčinu dvoch funkcií možno nájsť podľa vzorca:

Konkrétne:

Nemusíte si nič špeciálne pamätať, pretože čím viac vzorcov poznáte, tým menej rozumiete. Oveľa lepšie vedieť Newtonov binom, keďže Leibnizov vzorec je mu veľmi, veľmi podobný. No, tí šťastlivci, ktorí dostanú derivát 7. alebo vyšších rádov (čo je naozaj nepravdepodobné) bude k tomu nútený. Keď však príde čas kombinatorika- ešte musíš =)

Nájdite tretiu deriváciu funkcie . Používame Leibnizov vzorec:

V tomto prípade: . Na deriváty sa dá jednoducho kliknúť slovne:

Teraz opatrne a OPATRNE vykonáme nahradenie a zjednodušíme výsledok:

Odpoveď:

Podobná úloha pre nezávislé riešenie:

Príklad 11

Nájdite funkcie

Ak v predchádzajúcom príklade riešenie „na čelo“ ešte konkurovalo Leibnizovej formulke, tak tu to už bude naozaj nepríjemné. A ešte nepríjemnejšie - v prípade vyššieho rádu derivátu:

Príklad 12

Nájdite derivát zadaného poriadku

Riešenie: prvá a podstatná poznámka - takto sa rozhodnúť asi nie je potrebné =) =)

Zapíšme si funkcie a nájdime ich derivácie až do 5. rádu vrátane. Predpokladám, že deriváty pravého stĺpca sa pre vás stali ústnymi:

V ľavom stĺpci „živé“ deriváty rýchlo „skončili“ a to je veľmi dobré – v Leibnizovom vzorci sa tri výrazy vynulujú:

Opäť sa pozastavím nad dilemou, ktorá sa objavila v článku o komplexné deriváty: pre zjednodušenie výsledku? V zásade to môžete nechať tak - pre učiteľa to bude ešte jednoduchšie kontrolovať. Môže však vyžadovať, aby si rozhodnutie zapamätal. Na druhej strane, zjednodušenie z vlastnej iniciatívy je plné algebraických chýb. Máme však odpoveď získanú "primárnym" spôsobom =) (pozri link na začiatku) a dúfam, že je to správne:

Super, všetko sa podarilo.

Odpoveď:

Šťastná úloha na samoriešenie:

Príklad 13

Pre funkciu:
a) nájsť priamou diferenciáciou;
b) nájdite podľa Leibnizovho vzorca;
c) vypočítať.

Nie, vôbec nie som sadista - bod "a" je celkom jednoduchý =)

Ale vážne, „priame“ riešenie postupnou diferenciáciou má tiež „právo na život“ – v niektorých prípadoch je jeho zložitosť porovnateľná so zložitosťou aplikácie Leibnizovho vzorca. Použite, ako uznáte za vhodné – je nepravdepodobné, že by to bol dôvod na nezapočítanie úlohy.

Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Aby ste zvýšili posledný odsek, musíte byť schopní diferencovať implicitné funkcie:

Deriváty vyššieho rádu implicitných funkcií

Mnohí z nás strávili dlhé hodiny, dni a týždne svojho života štúdiom kruhy, parabola, hyperbola– a niekedy to dokonca vyzeralo ako skutočný trest. Poďme sa teda pomstiť a poriadne ich odlíšiť!

Začnime „školskou“ parabolou v jej kanonické postavenie:

Príklad 14

Je daná rovnica. Nájsť .

Riešenie: prvý krok je známy:

Skutočnosť, že funkcia a jej derivácia sú vyjadrené implicitne, nemení podstatu veci, druhá derivácia je deriváciou 1. derivácie:

Existujú však pravidlá hry: zvyčajne sa vyjadrujú deriváty 2. a vyššieho rádu len cez "x" a "y". Do výslednej 2. derivácie teda dosadíme:

Tretia derivácia je deriváciou 2. derivácie:

Podobne nahradíme:

Odpoveď:

Hyperbola „škola“ v kanonické postavenie- pre samostatnú prácu:

Príklad 15

Je daná rovnica. Nájsť .

Opakujem, že 2. derivácia a výsledok by mali byť vyjadrené iba cez "x" / "y"!

Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Po detských žartoch sa pozrime na nemeckú pornografiu @ fia, pozrime sa na príklady pre dospelých, z ktorých sa dozvieme ďalšie dôležité riešenie:

Príklad 16

Elipsa sám.

Riešenie: nájdite prvú deriváciu:

A teraz sa zastavme a rozoberme nasledujúci moment: teraz musíme zlomok rozlíšiť, čo nie je vôbec povzbudivé. V tomto prípade je to, samozrejme, jednoduché, ale v skutočných životných problémoch existuje len niekoľko takýchto darov. Existuje spôsob, ako sa vyhnúť nájdeniu ťažkopádneho derivátu? Existuje! Zoberieme rovnicu a použijeme rovnakú techniku ​​ako pri hľadaní 1. derivácie – ťahy „zavesíme“ na obe časti:

Druhá derivácia musí byť vyjadrená iba cez a , takže teraz (práve teraz) je vhodné zbaviť sa 1. derivácie. Za týmto účelom dosadíme do výslednej rovnice:

Aby sme sa vyhli zbytočným technickým ťažkostiam, vynásobíme obe časti:

A až v záverečnej fáze zostavíme zlomok:

Teraz sa pozrieme na pôvodnú rovnicu a všimneme si, že získaný výsledok možno zjednodušiť:

Odpoveď:

Ako v určitom bode nájsť hodnotu 2. derivácie (ktorá samozrejme patrí do elipsy), napríklad v bode ? Veľmi ľahké! S týmto motívom sme sa už stretli v lekcii o normálna rovnica: vo výraze 2. derivácie treba dosadiť :

Samozrejme, vo všetkých troch prípadoch môžete získať explicitne dané funkcie a rozlíšiť ich, ale potom sa mentálne pripravte na prácu s dvoma funkciami, ktoré obsahujú korene. Riešenie je podľa mňa pohodlnejšie realizovať „implicitne“.

Posledný príklad vlastného riešenia:

Príklad 17

Nájsť implicitnú funkciu

Leibnizov vzorec pre n-tý výpočet derivácia súčinu dvoch funkcií. Jeho dôkaz sa podáva dvoma spôsobmi. Uvažuje sa o príklade výpočtu derivácie n-tého rádu.

Pozri tiež: Derivácia súčinu dvoch funkcií

Leibnizov vzorec

Pomocou Leibnizovho vzorca môžete vypočítať n-tú deriváciu súčinu dvoch funkcií. Vyzerá to takto:
(1) ,
Kde
sú binomické koeficienty.

Binomické koeficienty sú koeficienty rozšírenia binomického celku v mocninách a :
.
Číslo je tiež počtom kombinácií od n do k .

Dôkaz Leibnizovho vzorca

Aplikujeme vzorec na deriváciu súčinu dvoch funkcií:
(2) .
Prepíšme vzorec (2) do nasledujúceho tvaru:
.
To znamená, že uvažujeme, že jedna funkcia závisí od premennej x a druhá závisí od premennej y. Na konci výpočtu predpokladáme . Potom môže byť predchádzajúci vzorec napísaný ako:
(3) .
Keďže derivácia sa rovná súčtu členov a každý člen je súčinom dvoch funkcií, na výpočet derivácií vyšších rádov môžete dôsledne aplikovať pravidlo (3).

Potom pre deriváciu n-tého rádu máme:

.
Vzhľadom na to a dostaneme Leibnizov vzorec:
(1) .

Dôkaz indukciou

Uvádzame dôkaz Leibnizovho vzorca metódou matematickej indukcie.

Prepíšme Leibnizov vzorec:
(4) .
Pre n = 1 máme:
.
Toto je vzorec pre deriváciu súčinu dvoch funkcií. Je spravodlivá.

Predpokladajme, že vzorec (4) platí pre deriváciu n-tého rádu. Dokážme, že platí pre deriváciu n + 1 - poradie.

Rozlíšiť (4):
;



.
Tak sme našli:
(5) .

Nahraďte v (5) a vezmite do úvahy, že:

.
To ukazuje, že vzorec (4) má rovnaký tvar pre deriváciu n + 1 - poradie.

Takže vzorec (4) platí pre n = 1 . Z predpokladu, že pre nejaké číslo platí n = m, vyplýva, že platí pre n = m + 1 .
Leibnizov vzorec je osvedčený.

Príklad

Vypočítajte n-tú deriváciu funkcie
.

Aplikujeme Leibnizov vzorec
(2) .
V našom prípade
;
.

Podľa tabuľky derivátov máme:
.
Aplikujeme vlastnosti goniometrických funkcií:
.
Potom
.
To ukazuje, že diferenciácia funkcie sínus vedie k jej posunu o . Potom
.

Nájdeme derivácie funkcie .
;
;
;
, .

Pretože pre , iba prvé tri členy v Leibnizovom vzorci sú nenulové. Hľadanie binomických koeficientov.
;
.

Podľa Leibnizovho vzorca máme:

.