Dlaždica

Možné prípady umiestnenia priamky a roviny. Vzájomná poloha priamky a roviny. Metódy na definovanie roviny

Vzdialený prvok.

vzdialený prvok.

a) nemajú žiadne spoločné body;

Veta.

Označenie strihov

GOST 2.305-2008 stanovuje nasledujúce požiadavky na označenie sekcie:

1. Poloha roviny rezu je na výkrese vyznačená čiarou rezu.

2. Pre úsekovú čiaru by sa mala použiť otvorená čiara (hrúbka od S do 1,5S, dĺžka čiary 8-20 mm).

3. V prípade zložitého rezu sa ťahy robia aj v priesečníku rovín rezu medzi sebou.

4. Šípky by mali byť umiestnené na počiatočný a konečný ťah označujúci smer pohľadu, šípky by mali byť umiestnené vo vzdialenosti 2-3 mm od vonkajšieho konca ťahu.

5. Rozmery šípok musia zodpovedať rozmerom uvedeným na obrázku 14.

6. Začiatočný a koncový ťah by nemali pretínať obrys príslušného obrázku.

7. Na začiatok a koniec čiary rezu a v prípade potreby na priesečník rovín rezu umiestnite rovnaké veľké písmeno ruskej abecedy. Písmená sú umiestnené v blízkosti šípok označujúcich smer pohľadu a v priesečníkoch zo strany vonkajší roh(Obrázok 24).

Obrázok 24 - Príklady označenia sekcie

8. Strih musí byť označený nápisom ako „AA“ (vždy dve písmená oddelené pomlčkou).

9. Keď sa sečná rovina zhoduje s rovinou symetrie objektu ako celku a príslušné obrázky sú umiestnené na rovnakom hárku v priamom projekčnom spojení a nie sú oddelené žiadnymi inými obrázkami, pre horizontálne, čelné a profilové rezy poloha sečnej roviny nie je zaznamenaná a rez nie je doplnený nápisom.

10. Predné a profilové rezy majú spravidla polohu zodpovedajúcu akceptovanej polohe tohto predmetu na hlavnom obrázku výkresu.

11. Horizontálne, čelné a profilové časti môžu byť umiestnené na mieste zodpovedajúcich hlavných pohľadov.

12. Je povolené umiestniť sekciu kdekoľvek v poli kreslenia, ako aj s otočením s pridaním konvenčného grafického označenia - ikony „Otočené“ (obrázok 25).

Obrázok 25 - Grafický symbol – ikona „Otočená“.

Označenie sekcií je podobné označenie rezov a pozostáva zo stôp sečnej roviny a šípky označujúcej smer pohľadu, ako aj písmena umiestneného s vonkušípky (obrázok 1c, obrázok 3). Odsadený úsek nie je označený a rovina rezu nie je znázornená, ak sa čiara rezu zhoduje s osou symetrie rezu a samotný rez je umiestnený na pokračovaní stopy roviny rezu alebo v medzere medzi časťami rezu. výhľad. Pre symetricky navrstvený rez nie je znázornená ani rovina rezu. Ak je rez asymetrický a nachádza sa v medzere alebo je prekrytý (obrázok 2 b), čiara rezu je nakreslená šípkami, ale nie je označená písmenami.

Sekcia môže byť umiestnená s otočením, pričom nápis nad sekciou bude obsahovať slovo „otočené“. Pre niekoľko rovnakých rezov súvisiacich s jedným objektom sú čiary rezu označené rovnakým písmenom a jeden rez je nakreslený. V prípadoch, keď sa ukáže, že časť pozostáva z oddelených častí, mali by sa použiť rezy.

Rovno všeobecné postavenie

Priamka vo všeobecnej polohe (obr. 2.2) je priamka, ktorá nie je rovnobežná so žiadnou z daných premietacích rovín. Akýkoľvek segment takejto priamky sa v danej sústave projekčných rovín premieta skreslene. Skreslene sa premietajú aj uhly sklonu tejto priamky k projekčným rovinám.

Ryža. 2.2.

Priame súkromné ustanovenia
Čiary určitej polohy zahŕňajú čiary rovnobežné s jednou alebo dvoma projekčnými rovinami.
Akákoľvek čiara (priama alebo krivka) rovnobežná s rovinou premietania sa nazýva úrovňová čiara. V inžinierskej grafike existujú tri hlavné čiary úrovne: horizontálne, čelné a profilové čiary.

Ryža. 2.3-a

Horizontálna je akákoľvek priamka rovnobežná s horizontálnou rovinou priemetov (obr. 2.3-a). Čelná projekcia horizontály je vždy kolmá na komunikačné čiary. Akýkoľvek horizontálny segment na horizontálnej projekčnej rovine sa premietne na svoju skutočnú veľkosť. Na túto rovinu sa premietne skutočná veľkosť a uhol sklonu horizontály (priamka) k čelnej rovine priemetov. Ako príklad ukazuje Obr. 2.3-a vizuálny obraz a komplexný horizontálny nákres h, naklonený k rovine P 2 pod uhlom b .
Ryža. 2,3-b

Frontálna je priamka rovnobežná s čelnou rovinou projekcií (obr. 2.3-b). Horizontálny priemet čela je vždy kolmý na komunikačné línie. Akýkoľvek segment frontálu na prednú rovinu projekcií sa premietne do svojej skutočnej veľkosti. Na túto rovinu sa premietne skutočná veľkosť a uhol sklonu čela (priama čiara) k horizontálnej rovine priemetov (uhol a).
Ryža. 2,3-v

Profilová čiara je čiara rovnobežná s profilovou rovinou výstupkov (obr. 2.3-c). Horizontálne a čelné projekcie profilovej čiary sú rovnobežné so spojovacími čiarami týchto výstupkov. Akýkoľvek segment profilovej čiary (priamka) sa premietne do roviny profilu na svoju skutočnú veľkosť. Uhly sklonu profilovej priamky k projekčným rovinám sa premietajú do rovnakej roviny v skutočnej veľkosti. P 1 a P 2. Pri zadávaní profilovej čiary v zložitom výkrese musíte určiť dva body tejto čiary.

Úrovne rovnobežné s dvoma projekčnými rovinami budú kolmé na tretiu projekčnú rovinu. Takéto čiary sa nazývajú vyčnievajúce čiary. Existujú tri hlavné projekčné čiary: horizontálne, čelné a profilové projekčné čiary.
Ryža. 2,3 g Ryža. 2,3-d Ryža. 2.3

Vodorovne vyčnievajúca priamka (obr. 2.3-d) je priamka kolmá na rovinu P 1. Akýkoľvek segment tejto priamky sa premietne do roviny P P 1 - k veci.

Čelne vyčnievajúca priamka (obr. 2.H-e) sa nazýva priamka kolmá na rovinu P 2. Akýkoľvek segment tejto priamky sa premietne do roviny P 1 bez skreslenia, ale v rovine P 2 - k veci.

Profil vyčnievajúci priamka (obr. 2.3-f) je priamka kolmá na rovinu P 3, t.j. priamka rovnobežná s projekčnými rovinami P 1 a P 2. Akýkoľvek segment tejto priamky sa premietne do roviny P 1 a P 2 bez skreslenia, ale v rovine P 3 - k veci.

Hlavné čiary v rovine

Medzi priamkami patriacimi do roviny zaujímajú osobitné miesto priame čiary, ktoré zaujímajú konkrétnu polohu v priestore:

1. Horizontály h - priamky ležiace v danej rovine a rovnobežné s horizontálnou rovinou priemetov (h//P1) (obr. 6.4).

Obrázok 6.4 Horizontálne

2. Čelá f - priame čiary, umiestnené v rovine a rovnobežné s čelnou rovinou projekcií (f//P2) (obr. 6.5).

Obrázok 6.5 Predná strana

3. Profilové priamky p - priamky, ktoré sú v danej rovine a rovnobežné s profilovou rovinou projekcií (p//P3) (obr. 6.6). Treba poznamenať, že k hlavným líniám možno pripísať aj stopy lietadla. Horizontálna stopa je horizontála roviny, frontálna je frontálna a profil je profilová čiara roviny.

Obrázok 6.6 Profil rovný

4. Priamka najväčšieho sklonu a jej horizontálny priemet zviera lineárny uhol j, ktorý meria dihedrálny uhol tvorený touto rovinou a horizontálnou rovinou priemetov (obr. 6.7). Je zrejmé, že ak priamka nemá dva spoločné body s rovinou, potom je buď rovnobežná s rovinou, alebo ju pretína.

Obrázok 6.7 Čiara najväčšieho sklonu

Kinematická metóda tvorby povrchu. Určenie povrchu vo výkrese.

V inžinierskej grafike sa povrch považuje za súbor po sebe nasledujúcich polôh čiary pohybujúcej sa v priestore podľa určitého zákona. Počas tvorby povrchu môže čiara 1 zostať nezmenená alebo zmeniť svoj tvar.
Pre prehľadnosť obrazu povrchu v zložitej kresbe je vhodné graficky špecifikovať zákon pohybu vo forme rodiny čiar (a, b, c). Zákon pohybu linky 1 môže byť špecifikovaný dvoma (a a b) alebo jedným (a) riadkom a ďalšími podmienkami, ktoré objasňujú zákon pohybu 1.
Pohyblivá čiara 1 sa nazýva tvoriaca čiara, pevné čiary a, b, c sa nazývajú vodidlá.
Uvažujme proces tvorby povrchu pomocou príkladu znázorneného na obr. 3.1.
Tu sa ako tvoriaca čiara berie priamka 1. Zákon pohybu tvoriacej čiary je daný vodítkom a a priamkou b. To znamená, že tvoriaca čiara 1 sa posúva pozdĺž vodidla a, pričom zostáva rovnobežná s priamkou b po celý čas.
Tento spôsob tvorby povrchu sa nazýva kinematický. S jeho pomocou môžete tvarovať a nastavovať vo výkrese rôzne povrchy. Najmä obr. 3.1 znázorňuje najvšeobecnejší prípad valcovej plochy.

Ryža. 3.1.

Ďalším spôsobom, ako vytvoriť povrch a zobraziť ho na výkrese, je špecifikovať povrch pomocou súboru bodov alebo čiar, ktoré k nemu patria. Body a čiary sú v tomto prípade volené tak, aby umožňovali s dostatočnou presnosťou určiť tvar povrchu a riešiť na ňom rôzne problémy.
Súbor bodov alebo čiar, ktoré definujú povrch, sa nazýva jeho rám.
Podľa toho, či je plošný rámec definovaný bodmi alebo čiarami, sa rámce delia na bodové a lineárne.
Obrázok 3.2 znázorňuje plošný rámec pozostávajúci z dvoch ortogonálne umiestnených rodín čiar a1, a2, a3, ..., an a b1, b2, b3, ..., bn.

Ryža. 3.2.

Kužeľové rezy.

KUŽEĽOVÉ SEKCIE, ploché krivky, ktoré získame pretínaním pravého kruhového kužeľa s rovinou, ktorá neprechádza jeho vrcholom (obr. 1). Z hľadiska analytickej geometrie je kužeľosečka miestom bodov, ktoré spĺňajú rovnicu druhého rádu. S výnimkou degenerovaných prípadov diskutovaných v poslednej časti sú kužeľosečky elipsy, hyperboly alebo paraboly.

Kužeľové rezy sa často nachádzajú v prírode a technike. Napríklad obežné dráhy planét obiehajúcich okolo Slnka majú tvar elipsy. Kruh je špeciálny prípad elipsy, v ktorej sa hlavná os rovná vedľajšej. Parabolické zrkadlo má tú vlastnosť, že všetky dopadajúce lúče rovnobežné s jeho osou sa zbiehajú v jednom bode (ohnisku). Používa sa vo väčšine odrazových ďalekohľadov, ktoré používajú parabolické zrkadlá, ako aj v radarových anténach a špeciálnych mikrofónoch s parabolickými reflektormi. Lúč paralelných lúčov vychádza zo zdroja svetla umiestneného v ohnisku parabolického reflektora. Preto sa parabolické zrkadlá používajú vo vysokovýkonných reflektoroch a svetlometoch automobilov. Hyperbola je graf mnohých dôležitých fyzikálnych vzťahov, ako je Boyleov zákon (vzťahujúci sa na tlak a objem ideálneho plynu) a Ohmov zákon, ktorý definuje elektrický prúd ako funkciu odporu pri konštantnom napätí.

RANÁ HISTÓRIA

Za objaviteľa kužeľosečiek je údajne považovaný Menaechmus (4. storočie pred n. l.), žiak Platóna a učiteľ Alexandra Veľkého. Menaechmus použil parabolu a rovnostrannú hyperbolu na vyriešenie problému zdvojnásobenia kocky.

Pojednania o kužeľosečkách napísané Aristaeom a Euklidom na konci 4. storočia. pred Kr., boli stratené, ale materiály z nich boli zaradené do známych kužeľových sekcií Apollonia z Pergy (asi 260 – 170 pred Kr.), ktoré sa zachovali dodnes. Apollonius upustil od požiadavky, aby rovina sečnice tvoriacej priamky kužeľa bola kolmá, a zmenou uhla jej sklonu získal všetky kužeľosečky z jedného kruhového kužeľa, rovného alebo nakloneného. Apolloniovi vďačíme aj za moderné názvy kriviek – elipsa, parabola a hyperbola.

Apollonius vo svojich konštrukciách použil dvojlistový kruhový kužeľ (ako na obr. 1), takže sa po prvý raz ukázalo, že hyperbola je krivka s dvoma vetvami. Od čias Apollonia sa kužeľosečky delia na tri typy v závislosti od sklonu roviny rezu k tvoriacej priamke kužeľa. Elipsa (obr. 1a) vzniká vtedy, keď rovina rezu pretína všetky tvoriace priamky kužeľa v bodoch jednej z jeho dutín; parabola (obr. 1,b) - keď je rovina rezu rovnobežná s jednou z dotyčnicových rovín kužeľa; hyperbola (obr. 1, c) - keď rovina rezu pretína obe dutiny kužeľa.

KONŠTRUKCIA KUŽEĽOVSKÝCH SEKCIÍ

Starí grécki matematici, ktorí študovali kužeľosečky ako priesečníky rovín a kužeľov, ich považovali aj za trajektórie bodov v rovine. Zistilo sa, že elipsu možno definovať ako ťažisko bodov, pričom súčet vzdialeností, od ktorých k dvom daným bodom je konštantný; parabola - ako miesto bodov rovnako vzdialených od daného bodu a danej priamky; hyperbola - ako ťažisko bodov je rozdiel vzdialeností od ktorých k dvom daným bodom konštantný.

Tieto definície kužeľosečiek ako rovinných kriviek tiež naznačujú spôsob ich konštrukcie pomocou natiahnutej struny.

Elipsa.

Ak sú konce nite danej dĺžky fixované v bodoch F1 a F2 (obr. 2), potom krivka opísaná hrotom ceruzky kĺzajúcim po tesne napnutej nite má tvar elipsy. Body F1 a F2 sa nazývajú ohniská elipsy a segmenty V1V2 a v1v2 medzi priesečníkmi elipsy so súradnicovými osami sú hlavné a vedľajšie osi. Ak sa body F1 a F2 zhodujú, potom sa elipsa zmení na kruh.

ryža. 2 Elipsy

Hyperbola.

Pri konštrukcii hyperboly je bod P, hrot ceruzky, upevnený na závite, ktorý sa voľne posúva po kolíkoch inštalovaných v bodoch F1 a F2, ako je znázornené na obr. 3, a. Vzdialenosti sú zvolené tak, aby segment PF2 bol dlhší ako segment PF1 o pevnú hodnotu menšiu ako vzdialenosť F1F2. V tomto prípade jeden koniec závitu prechádza pod kolík F1 a oba konce závitu prechádzajú cez kolík F2. (Hrot ceruzky by nemal kĺzať po nite, preto ho treba zaistiť tak, že na nite urobíme malú slučku a hrot cez ňu prevlečieme.) Nakreslíme jednu vetvu hyperboly (PV1Q), pričom dbáme na to, aby niť zostáva stále napnutá a ťahaním oboch koncov nite dole za bod F2, a keď je bod P pod segmentom F1F2, držte niť na oboch koncoch a opatrne ju vyleptajte (t.j. uvoľnite). Nakreslíme druhú vetvu hyperboly (PўV2Qў), pričom sme predtým vymenili úlohy kolíkov F1 a F2.

ryža. 3 hyperbola

Vetvy hyperboly sa približujú k dvom priamym čiaram, ktoré sa pretínajú medzi vetvami. Tieto čiary, nazývané asymptoty hyperboly, sú konštruované tak, ako je znázornené na obr. 3, b. Uhlové koeficienty týchto čiar sa rovnajú ± (v1v2)/(V1V2), kde v1v2 je segment osy uhla medzi asymptotami, kolmý na segment F1F2; segment v1v2 sa nazýva konjugovaná os hyperboly a segment V1V2 je jeho priečna os. Asymptoty sú teda uhlopriečky obdĺžnika so stranami prechádzajúcich štyrmi bodmi v1, v2, V1, V2 rovnobežnými s osami. Ak chcete vytvoriť tento obdĺžnik, musíte určiť umiestnenie bodov v1 a v2. Sú v rovnakej vzdialenosti, rovní

od priesečníka osí O. Tento vzorec predpokladá konštrukciu pravouhlého trojuholníka s nohami Ov1 a V2O a preponu F2O.

Ak sú asymptoty hyperboly navzájom kolmé, potom sa hyperbola nazýva rovnostranná. Dve hyperboly, ktoré majú spoločné asymptoty, ale s preskupenými priečnymi a konjugovanými osami, sa nazývajú vzájomne konjugované.

Parabola.

Ohniská elipsy a hyperboly poznal Apollonius, no ohnisko paraboly zrejme prvýkrát stanovil Pappus (2. polovica 3. storočia), ktorý túto krivku definoval ako lokus bodov rovnako vzdialených od daného bodu (ohniska). a daná priamka, ktorá sa nazýva riaditeľ. Konštrukciu paraboly pomocou natiahnutej nite na základe definície Pappus navrhol Izidor z Milétu (6. storočie). Umiestnime pravítko tak, aby sa jeho hrana zhodovala s priamkou LLў (obr. 4) a na túto hranu pripevníme rameno AC rysovacieho trojuholníka ABC. Upevnime jeden koniec vlákna dĺžky AB vo vrchole B trojuholníka a druhý v ohnisku paraboly F. Po potiahnutí vlákna špičkou ceruzky pritlačte hrot v premennom bode P k voľná noha AB rysovacieho trojuholníka. Keď sa trojuholník pohybuje pozdĺž pravítka, bod P bude opisovať oblúk paraboly s ohniskom F a priamou čiarou LLў, keďže celková dĺžka vlákna sa rovná AB, kus vlákna susedí s voľnou vetvou trojuholníka, a preto sa zostávajúci kus závitu PF musí rovnať zvyšným častiam nohy AB, t.j. PA. Priesečník V paraboly s osou sa nazýva vrchol paraboly, priamka prechádzajúca cez F a V je osou paraboly. Ak je cez ohnisko nakreslená priamka kolmá na os, potom sa segment tejto priamky odrezaný parabolou nazýva ohniskový parameter. Pre elipsu a hyperbolu sa ohniskový parameter určuje podobne.

ODPOVEDE NA LÍSTKY: č. 1 (nie úplne), 2 (nie úplne), 3 (nie úplne), 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 (nie úplne), 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 26,

Vzdialený prvok.

Pri vytváraní výkresov je v niektorých prípadoch potrebné vytvoriť dodatočný samostatný obraz akejkoľvek časti objektu, ktorý vyžaduje vysvetlenie týkajúce sa tvaru, veľkosti alebo iných údajov. Tento obrázok sa nazýva vzdialený prvok. Zvyčajne sa vykonáva zväčšená. Detail môže byť rozvrhnutý ako pohľad alebo ako rez.

Pri konštrukcii prvku popisku je príslušné miesto hlavného obrázka označené uzavretou plnou tenkou čiarou, zvyčajne oválom alebo kruhom, a je označené veľkým písmenom ruskej abecedy na polici vodiacej čiary. Pre vzdialený prvok sa vykoná záznam typu A (5:1). Na obr. 191 ukazuje príklad implementácie vzdialeného prvku. Umiestňuje sa čo najbližšie k zodpovedajúcemu miestu na obrázku objektu.

1. Metóda pravouhlého (ortogonálneho) premietania. Základné invariantné vlastnosti pravouhlého premietania. Epure Monge.

Ortogonálne (pravouhlé) premietanie je špeciálny prípad paralelného premietania, kedy sú všetky premietajúce lúče kolmé na premietaciu rovinu. Ortogonálne premietania majú všetky vlastnosti rovnobežných premietaní, ale pri pravouhlom premietaní je priemet úsečky, ak nie je rovnobežná s rovinou premietania, vždy menší ako úsečka samotná (obr. 58). Vysvetľuje to skutočnosť, že samotný segment v priestore je prepona pravouhlého trojuholníka a jeho priemet je noha: А "В" = ABcos a.

Pri pravouhlej projekcii sa pravý uhol premieta v plnej veľkosti, keď sú obe jeho strany rovnobežné s rovinou premietania a keď len jedna z jeho strán je rovnobežná s rovinou premietania a druhá strana nie je kolmá na túto rovinu premietania.

Vzájomná poloha priamky a roviny.

Priamka a rovina v priestore môžu:

a) nemajú žiadne spoločné body;
b) majú práve jeden spoločný bod;
c) majú aspoň dva spoločné body.

Na obr. 30 znázorňuje všetky tieto možnosti.

V prípade a) priamka b je rovnobežná s rovinou: b || .

V prípade b) priamka l pretína rovinu v jednom bode O; l = O.

V prípade c) priamka a patrí do roviny: a alebo a.

Veta. Ak je priamka b rovnobežná s aspoň jednou priamkou a patriacou do roviny, potom je priamka rovnobežná s rovinou.

Predpokladajme, že priamka m pretína rovinu v bode Q. Ak je m kolmá na každú priamku roviny prechádzajúcej bodom Q, potom sa o priamke m hovorí, že je kolmá na rovinu.

Električkové koľajnice ilustrujú, že priame čiary patria k rovine zeme. Elektrické vedenia sú rovnobežné s rovinou zeme a kmene stromov sú príkladmi priamych čiar pretínajúcich zemský povrch, niektoré sú kolmé na rovinu zeme, iné nie sú kolmé (šikmé).

VSTUPENKA 16.

Vlastnosti pyramídy, ktorej uhly sú rovnaké.

A) Ak bočné steny pyramídy s jej základňou zvierajú rovnaké uhly, potom sú všetky výšky bočných stien pyramídy rovnaké (pre pravidelnú pyramídu sú to apotémy) a vrchol pyramídy sa premieta do stred kruhu vpísaného do základného mnohouholníka.

B) Pyramída môže mať v základni rovnaké dihedrálne uhly, keď do mnohouholníka základne možno vpísať kružnicu.

Hranol. Definícia. Prvky. Typy hranolov.

Hranol- je mnohosten, ktorého dve plochy sú rovnaké polygóny umiestnené v rovnobežných rovinách a zvyšné plochy sú rovnobežníky.

Tváre, ktoré sú v rovnobežných rovinách, sa nazývajú dôvodov hranoly a zvyšné tváre - bočné steny hranoly.

V závislosti od základne hranola existujú:

1) trojuholníkový

2) štvoruholníkový

3) šesťuholníkový

Hranol s bočnými hranami kolmými na jeho základne sa nazýva rovný hranol.

Pravý hranol sa nazýva pravidelný, ak jeho základňami sú pravidelné mnohouholníky.

VSTUPENKA 17.

Vlastnosť uhlopriečok pravouhlého rovnobežnostena.

Všetky štyri diagonály sa pretínajú v jednom bode a tam sa pretínajú.

V pravouhlom rovnobežnostene sú všetky uhlopriečky rovnaké.

V pravouhlom rovnobežnostene sa štvorec akejkoľvek uhlopriečky rovná súčtu štvorcov jej troch rozmerov.

Nakreslením uhlopriečky základne AC získame trojuholníky AC 1 C a ACB. Obidva sú pravouhlé: prvý preto, že rovnobežnosten je rovný, a preto je hrana CC1 kolmá na základňu; druhá preto, že rovnobežnosten je pravouhlý, a preto na jeho základni leží obdĺžnik. Z týchto trojuholníkov nájdeme:

AC 1 2 = AC 2 + CC 1 2 a AC 2 = AB 2 + BC 2

Preto AC 1 2 = AB 2 + BC 2 + CC 1 2 = AB 2 + AD 2 + AA 1 2.

Prípady vzájomného usporiadania dvoch rovín.

NEHNUTEĽNOSŤ 1:

Priamky priesečníka dvoch rovnobežných rovín s treťou rovinou sú rovnobežné.

NEHNUTEĽNOSŤ 2:

Segmenty rovnobežných čiar uzavreté medzi dvoma rovnobežnými rovinami majú rovnakú dĺžku.

NEHNUTEĽNOSŤ 3

Cez každý bod v priestore, ktorý neleží v danej rovine, je možné nakresliť rovinu rovnobežnú s touto rovinou, a to iba jednu.

VSTUPENKA 18.

Vlastnosť protiľahlých plôch rovnobežnostena.

Protiľahlé strany rovnobežnostena sú rovnobežné a rovnaké.

Napríklad , roviny rovnobežníkov AA 1 B 1 B a DD 1 C 1 C sú rovnobežné, pretože priesečníky AB a AA 1 roviny AA 1 B 1 sú rovnobežné s dvomi pretínajúcimi sa priamkami DC a DD 1 roviny DD 1 C 1. Rovnobežníky AA 1 B 1 B a DD 1 C 1 C sú rovnaké (to znamená, že ich možno kombinovať prekrývaním), pretože strany AB a DC, AA 1 a DD 1 sú rovnaké a uhly A 1 AB a D 1 DC sú rovnaké.

Plochy povrchu hranola, pyramídy, pravidelného ihlana.

Správna pyramída: Plná. = 3SASB+Sbas.

Článok hovorí o koncepte priamky v rovine. Pozrime sa na základné pojmy a ich označenia. Pracujme s relatívnou polohou priamky a bodu a dvoch priamok v rovine. Hovorme o axiómach. Nakoniec si rozoberieme metódy a metódy na definovanie priamky v rovine.

Priama čiara na rovine - koncept

Najprv musíte jasne pochopiť, čo je lietadlo. Akýkoľvek povrch niečoho možno klasifikovať ako rovinu, len sa od predmetov líši svojou bezhraničnosťou. Ak si predstavíme, že lietadlo je stôl, tak v našom prípade nebude mať hranice, ale bude nekonečne obrovské.

Ak sa dotknete stola ceruzkou, zostane značka, ktorú možno nazvať „bodka“. Takto získame predstavu o bode v rovine.

Uvažujme o koncepte priamky v rovine. Ak na hárok nakreslíte priamku, zobrazí sa na ňom s obmedzenou dĺžkou. Nedostali sme celú priamku, ale iba jej časť, keďže v skutočnosti nemá koniec, rovnako ako lietadlo. Preto je zobrazenie línií a rovín v zápisníku formálne.

Máme axiómu:

Definícia 1

Body môžu byť označené na každej priamke a v každej rovine.

Body sú označené veľkými aj malými latinskými písmenami. Napríklad A a D alebo a a d.

Pre bod a priamku sú známe len dve možné polohy: bod na priamke, inými slovami, že ňou priamka prechádza, alebo bod, ktorý nie je na priamke, to znamená, že cez ňu priamka neprechádza.

Na označenie, či bod patrí do roviny alebo bod do priamky, použite znak „∈“. Ak je daná podmienka, že bod A leží na priamke a, potom má nasledujúci tvar zápisu A ∈ a. V prípade, že bod A nepatrí, potom ďalší záznam A ∉ a.

Spravodlivý úsudok:

Definícia 2

Cez ľubovoľné dva body umiestnené v ľubovoľnej rovine prechádza jedna priamka.

Toto vyhlásenie sa považuje za akizómu, a preto nevyžaduje dôkaz. Ak to zvážite sami, môžete vidieť, že pri dvoch existujúcich bodoch existuje len jedna možnosť ich spojenia. Ak máme dva dané body A a B, potom čiaru, ktorá cez ne prechádza, môžeme nazvať týmito písmenami, napríklad čiaru A B. Uvažujme o obrázku nižšie.

Priamka umiestnená na rovine má veľký počet bodov. Odtiaľ pochádza axióma:

Definícia 3

Ak dva body priamky ležia v rovine, potom všetky ostatné body tejto priamky patria do roviny.

Množina bodov nachádzajúcich sa medzi dvoma danými bodmi sa nazýva rovný segment. Má to začiatok a koniec. Zaviedlo sa dvojpísmenové označenie.

Ak je uvedené, že body A a P sú koncami úsečky, potom jej označenie bude mať tvar P A alebo A P. Keďže označenia úsečky a čiary sa zhodujú, odporúča sa doplniť alebo doplniť slová „úsek“. ", "priamka".

Skrátený zápis členstva zahŕňa použitie znakov ∈ a ∉. Ak chcete opraviť umiestnenie segmentu vzhľadom na danú čiaru, použite ⊂. Ak podmienka hovorí, že segment A P patrí do priamky b, potom bude záznam vyzerať takto: A P ⊂ b.

Nastáva prípad, keď tri body súčasne patria do jednej priamky. To platí, keď jeden bod leží medzi dvoma ďalšími. Toto tvrdenie sa považuje za axiómu. Ak sú dané body A, B, C, ktoré patria do tej istej priamky a bod B leží medzi A a C, z toho vyplýva, že všetky dané body ležia na tej istej priamke, keďže ležia na oboch stranách bodu B.

Bod rozdeľuje priamku na dve časti nazývané lúče. Máme axiómu:

Definícia 4

Ľubovoľný bod O umiestnený na priamke ho rozdeľuje na dva lúče, pričom ľubovoľné dva body jedného lúča ležia na jednej strane lúča vzhľadom na bod O a ostatné na druhej strane lúča.

Usporiadanie priamych čiar v rovine môže mať podobu dvoch stavov.

Definícia 5

zhodovať sa.

Táto príležitosť nastane, keď priame čiary majú spoločné body. Na základe vyššie napísanej axiómy máme, že priamka prechádza dvoma bodmi a iba jedným. To znamená, že keď cez dané 2 body prechádzajú 2 priame čiary, zhodujú sa.

Definícia 6

Dve rovné čiary na rovine môžu kríž.

Tento prípad ukazuje, že existuje jeden spoločný bod, ktorý sa nazýva priesečník čiar. Križovatka je označená značkou ∩. Ak existuje zápis v tvare a ∩ b = M, potom z toho vyplýva, že dané priamky a a b sa pretínajú v bode M.

Keď sa priamky pretínajú, zaoberáme sa výsledným uhlom. Úsek priesečníka priamych čiar v rovine s uhlom 90 stupňov je predmetom samostatného posudzovania, tj. pravý uhol. Potom sa priamky nazývajú kolmé Forma zápisu dvoch kolmých čiar je nasledovná: a ⊥ b, čo znamená, že čiara a je kolmá na čiaru b.

Definícia 7

Dve rovné čiary na rovine môžu byť paralelný.

Iba ak dve dané čiary nemajú spoločné priesečníky, a teda ani body, sú rovnobežné. Používa sa zápis, ktorý možno zapísať pre danú rovnobežnosť priamok a a b: a ∥ b.

Priamka v rovine sa uvažuje spolu s vektormi. Osobitný význam sa pripisuje nulovým vektorom, ktoré ležia na danej priamke alebo na niektorej z rovnobežných čiar, nazývajú sa smerové vektory priamky. Zvážte obrázok nižšie.

Nenulové vektory umiestnené na čiarach kolmých na danú čiaru sa inak nazývajú normálne čiarové vektory. V článku je podrobný popis normálového vektora priamky v rovine. Zvážte obrázok nižšie.

Ak sú v rovine 3 čiary, ich umiestnenie môže byť veľmi odlišné. Existuje niekoľko možností ich umiestnenia: priesečník všetkých, rovnobežnosť alebo prítomnosť rôznych priesečníkov. Obrázok ukazuje kolmý priesečník dvoch čiar vzhľadom na jednu.

Na tento účel uvádzame potrebné faktory, ktoré dokazujú ich relatívnu polohu:

ak sú dve čiary rovnobežné s treťou, potom sú všetky rovnobežné;
ak sú dve čiary kolmé na tretiu, potom sú tieto dve čiary rovnobežné;
Ak v rovine priamka pretína jednu rovnobežnú priamku, pretína aj druhú.

Pozrime sa na to na obrázkoch.

Priamka na rovine môže byť špecifikovaná niekoľkými spôsobmi. Všetko závisí od podmienok problému a od toho, na čom bude založené jeho riešenie. Tieto znalosti môžu pomôcť pri praktickom usporiadaní priamych čiar.

Definícia 8

Priamka je definovaná pomocou určených dvoch bodov umiestnených v rovine.

Z uvažovanej axiómy vyplýva, že cez dva body je možné nakresliť priamku a navyše len jednu jedinú. Keď pravouhlý súradnicový systém špecifikuje súradnice dvoch divergentných bodov, potom je možné stanoviť rovnicu priamky prechádzajúcej cez dva dané body. Zoberme si kresbu, kde máme priamku prechádzajúcu dvoma bodmi.

Definícia 9

Priamka môže byť definovaná cez bod a priamku, s ktorou je rovnobežná.

Táto metóda existuje, pretože cez bod je možné nakresliť priamku rovnobežnú s daným bodom a iba jednu. Dôkaz je známy už zo školského kurzu geometrie.

Ak je daná priamka vzhľadom na kartézsky súradnicový systém, potom je možné zostrojiť rovnicu pre priamku prechádzajúcu daným bodom rovnobežne s danou priamkou. Uvažujme o princípe definovania priamky na rovine.

Definícia 10

Priamka je špecifikovaná cez zadaný bod a smerový vektor.

Keď je v pravouhlom súradnicovom systéme zadaná priamka, je možné v rovine skladať kanonické a parametrické rovnice. Uvažujme na obrázku umiestnenie priamky v prítomnosti smerového vektora.

Štvrtý bod pri zadávaní priamky má zmysel, keď je vyznačený bod, cez ktorý má byť nakreslená, a priamka na ňu kolmá. Z axiómy máme:

Definícia 11

Cez daný bod ležiaci na rovine prejde len jedna priamka, kolmá na danú.

A posledný bod súvisiaci so špecifikovaním priamky v rovine je daný určeným bodom, cez ktorý priamka prechádza, a za prítomnosti normálneho vektora priamky. Vzhľadom na známe súradnice bodu umiestneného na danej priamke a súradnice normálového vektora je možné zapísať všeobecnú rovnicu priamky.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

V planimetrii je rovina jednou z hlavných postáv, preto je veľmi dôležité jej jasne rozumieť. Tento článok bol vytvorený na pokrytie tejto témy. Najprv je uvedený pojem roviny, jej grafické znázornenie a sú znázornené označenia rovín. Ďalej sa rovina uvažuje spolu s bodom, priamkou alebo inou rovinou a možnosti vyplývajú z ich relatívnych polôh v priestore. V druhom, treťom a štvrtom odseku článku sú analyzované všetky možnosti vzájomnej polohy dvoch rovín, priamky a roviny, ako aj bodov a rovín, sú uvedené základné axiómy a grafické znázornenia. Na záver sú uvedené hlavné metódy definovania roviny v priestore.

Navigácia na stránke.

Rovina - základné pojmy, symboly a obrázky.

Najjednoduchšie a najzákladnejšie geometrické tvary v trojrozmernom priestore je bod, priamka a rovina. Už máme predstavu o bode a priamke v rovine. Ak umiestnime rovinu, na ktorej sú zobrazené body a čiary v trojrozmernom priestore, dostaneme body a čiary v priestore. Myšlienka roviny v priestore nám umožňuje získať napríklad povrch stola alebo steny. Stôl alebo stena má však konečné rozmery a rovina siaha za jej hranice do nekonečna.

Body a čiary v priestore sú označené rovnakým spôsobom ako v rovine - veľkými a malými latinskými písmenami. Napríklad body A a Q, priamky a a d. Ak sú dané dva body ležiace na priamke, potom môže byť priamka označená dvoma písmenami zodpovedajúcimi týmto bodom. Napríklad priamka AB alebo BA prechádza bodmi A a B. Roviny sa zvyčajne označujú malými gréckymi písmenami, napríklad lietadlá, príp.

Pri riešení problémov je potrebné znázorniť roviny na výkrese. Rovina je zvyčajne znázornená ako rovnobežník alebo ľubovoľná jednoduchá uzavretá oblasť.

Rovina sa zvyčajne uvažuje spolu s bodmi, priamkami alebo inými rovinami a vznikajú problémy. rôzne možnosti ich relatívnu polohu. Prejdime k ich popisu.

Vzájomná poloha roviny a bodu.

Začnime s axiómou: v každej rovine sú body. Z toho vyplýva prvá možnosť pre vzájomnú polohu roviny a bodu - bod môže patriť do roviny. Inými slovami, rovina môže prechádzať bodom. Na označenie, že bod patrí do roviny, sa používa symbol „“. Napríklad, ak rovina prechádza bodom A, môžete krátko napísať .

Malo by byť zrejmé, že na danej rovine v priestore je nekonečne veľa bodov.

Nasledujúca axióma ukazuje, koľko bodov v priestore treba označiť, aby definovali konkrétnu rovinu: cez tri body, ktoré neležia na tej istej priamke, prechádza rovina a len jedna. Ak sú známe tri body ležiace v rovine, potom rovinu môžeme označiť tromi písmenami zodpovedajúcimi týmto bodom. Napríklad, ak rovina prechádza bodmi A, B a C, potom môže byť označená ako ABC.

Sformulujme ďalšiu axiómu, ktorá dáva druhú verziu relatívnej polohy roviny a bodu: sú najmenej štyri body, ktoré neležia v tej istej rovine. Takže bod vo vesmíre nemusí patriť do roviny. V skutočnosti, na základe predchádzajúcej axiómy, rovina prechádza tromi bodmi v priestore a štvrtý bod môže, ale nemusí ležať na tejto rovine. Pri krátkom písaní použite symbol „“, ktorý je ekvivalentom frázy „nepatrí“.

Napríklad, ak bod A neleží v rovine, potom použite krátky zápis.

Priamka a rovina v priestore.

Po prvé, priamka môže ležať v rovine. V tomto prípade aspoň dva body tejto priamky ležia v rovine. Toto je stanovené axiómou: ak dva body priamky ležia v rovine, potom všetky body tejto priamky ležia v rovine. Na krátke zaznamenanie príslušnosti určitej čiary k danej rovine použite symbol „“. Napríklad zápis znamená, že priamka a leží v rovine.

Po druhé, priamka môže pretínať rovinu. V tomto prípade majú priamka a rovina jeden spoločný bod, ktorý sa nazýva priesečník priamky a roviny. Pri stručnom písaní označujem priesečník symbolom „“. Napríklad zápis znamená, že priamka a pretína rovinu v bode M. Keď rovina pretína určitú priamku, vzniká pojem uhla medzi priamkou a rovinou.

Samostatne stojí za to zamerať sa na priamku, ktorá pretína rovinu a je kolmá na akúkoľvek priamku ležiacu v tejto rovine. Takáto čiara sa nazýva kolmá na rovinu. Ak chcete krátko zaznamenať kolmosť, použite symbol „“. Pre hlbšiu štúdiu materiálu si môžete pozrieť článok kolmosť priamky a roviny.

Pri riešení úloh súvisiacich s rovinou má osobitný význam takzvaný normálový vektor roviny. Normálny vektor roviny je akýkoľvek nenulový vektor ležiaci na priamke kolmej na túto rovinu.

Po tretie, priamka môže byť rovnobežná s rovinou, to znamená, že v nej nemusí byť spoločné body. Pri krátkom písaní súbežnosti použite symbol „“. Napríklad, ak je priamka a rovnobežná s rovinou, potom môžeme písať . Odporúčame vám, aby ste si tento prípad preštudovali podrobnejšie s odkazom na článok rovnobežnosť priamky a roviny.

Treba povedať, že priamka ležiaca v rovine rozdeľuje túto rovinu na dve polroviny. Priamka sa v tomto prípade nazýva hranica polrovín. Akékoľvek dva body tej istej polroviny ležia na tej istej strane priamky a dva body rôznych polrovín ležia na opačných stranách hraničnej čiary.

Vzájomné usporiadanie rovín.

Dve roviny vo vesmíre sa môžu zhodovať. V tomto prípade majú aspoň tri spoločné body.

Dve roviny vo vesmíre sa môžu pretínať. Priesečník dvoch rovín je priamka, ktorú určuje axióma: ak majú dve roviny spoločný bod, potom majú spoločnú priamku, na ktorej ležia všetky spoločné body týchto rovín.

V tomto prípade vzniká pojem uhla medzi pretínajúcimi sa rovinami. Zvlášť zaujímavý je prípad, keď je uhol medzi rovinami deväťdesiat stupňov. Takéto roviny sa nazývajú kolmé. Hovorili sme o nich v článku kolmosť rovín.

Napokon dve roviny v priestore môžu byť rovnobežné, to znamená, že nemajú žiadne spoločné body. Odporúčame vám prečítať si článok rovnobežnosť rovín, aby ste úplne porozumeli tejto možnosti relatívneho usporiadania rovín.

Metódy na definovanie roviny.

Teraz si uvedieme hlavné spôsoby definovania konkrétnej roviny v priestore.

Po prvé, rovinu možno definovať upevnením troch bodov v priestore, ktoré neležia na rovnakej priamke. Táto metóda je založená na axióme: cez ľubovoľné tri body, ktoré neležia na tej istej priamke, existuje jedna rovina.

Ak je rovina pevná a špecifikovaná v trojrozmernom priestore uvedením súradníc jej troch rôznych bodov, ktoré neležia na rovnakej priamke, potom môžeme napísať rovnicu roviny prechádzajúcej cez tri dané body.

Nasledujúce dva spôsoby definovania roviny sú dôsledkom predchádzajúcej. Sú založené na dôsledkoch axiómy o rovine prechádzajúcej tromi bodmi:

rovinou prechádza priamkou a bodom, ktorý na nej neleží, a len jedna (pozri aj článkovú rovnicu roviny prechádzajúcej priamkou a bodom);
Cez dve pretínajúce sa priamky prechádza len jedna rovina (odporúčame si prečítať materiál v článku: rovnica roviny prechádzajúcej dvomi pretínajúcimi sa priamkami).

Štvrtý spôsob definovania roviny v priestore je založený na definovaní rovnobežných čiar. Pripomeňme, že dve priamky v priestore sa nazývajú rovnobežné, ak ležia v rovnakej rovine a nepretínajú sa. Naznačením dvoch rovnobežných priamok v priestore teda určíme jedinú rovinu, v ktorej tieto priamky ležia.

Ak je rovina daná naznačeným spôsobom v trojrozmernom priestore vzhľadom na pravouhlý súradnicový systém, potom môžeme vytvoriť rovnicu pre rovinu prechádzajúcu dvoma rovnobežnými priamkami.

Na hodinách geometrie na strednej škole je dokázaná teoréma: pevným bodom v priestore prechádza jedna rovina kolmá na danú priamku. Rovinu teda môžeme definovať, ak zadáme bod, ktorým prechádza a na ňu kolmú priamku.

Ak je pravouhlý súradnicový systém fixovaný v trojrozmernom priestore a rovina je špecifikovaná naznačeným spôsobom, potom je možné zostrojiť rovnicu pre rovinu prechádzajúcu daným bodom kolmo na danú priamku.

Namiesto priamky kolmej na rovinu môžete zadať jeden z normálových vektorov tejto roviny. V tomto prípade je možné písať

Priama plechovka patria do lietadla, buď ňou paralelný alebo kríž lietadlo. Čiara patrí k rovine, ak dva body patriace k priamke a rovine majú rovnaké prevýšenia. Dôsledok, ktorý vyplýva z toho, čo bolo povedané: bod patrí do roviny, ak patrí do priamky ležiacej v tejto rovine.

Priamka je rovnobežná s rovinou, ak je rovnobežná s priamkou ležiacou v tejto rovine.

Priamka pretínajúca rovinu. Na nájdenie priesečníka priamky s rovinou je potrebné (obr. 3.28):

1) nakreslite pomocnú rovinu cez danú priamku m T;

2) postaviť čiaru n priesečník danej roviny Σ s pomocnou rovinou T;

3) označte priesečník R, daná priama čiara m s priesečníkom n.

Uvažujme úlohu (obr. 3.29) Priamka m je na pôdoryse definovaná bodom A 6 a uhol sklonu 35°. Cez túto čiaru je nakreslená pomocná vertikálna rovina T, ktorý pretína rovinu Σ pozdĺž priamky n (B2C3). Takto sa posunieme z relatívnej polohy priamky a roviny do vzájomnej polohy dvoch priamok ležiacich v tej istej vertikálnej rovine. Tento problém je vyriešený konštrukciou profilov týchto priamok. Priesečník čiar m A n na profile určuje požadovaný bod R. Nadmorská výška bodu R určená vertikálnou stupnicou.

Priamka kolmá na rovinu. Priamka je kolmá na rovinu, ak je kolmá na akékoľvek dve pretínajúce sa priamky tejto roviny. Obrázok 3.30 znázorňuje priamku m, kolmá na rovinu Σ a pretínajúca ju v bode A. Na pôdoryse je priemet priamky m a horizontálne roviny sú navzájom kolmé (pravý uhol, ktorého jedna strana je rovnobežná s rovinou premietania, sa premieta bez skreslenia. Obe priamky ležia v rovnakej vertikálnej rovine, preto sú polohy takýchto priamok navzájom inverzné. : l m = l/l u. ale l uΣ = l Potom Σ l m = l/lΣ, to znamená, že poloha priamky m je nepriamo úmerná polohe roviny. Pády priamky a roviny smerujú rôznymi smermi.

3.4. Projekcie s číselnými značkami. Povrchy

3.4.1. Mnohosteny a zakrivené plochy. Topografický povrch

V prírode má veľa látok kryštalickú štruktúru vo forme mnohostenov. Mnohosten je súbor plochých mnohouholníkov, ktoré neležia v rovnakej rovine, pričom každá strana jedného z nich je zároveň stranou toho druhého. Pri zobrazovaní mnohostenu stačí označiť projekcie jeho vrcholov a spojiť ich v určitom poradí s priamkami - projekciami hrán. V tomto prípade je potrebné na výkrese označiť viditeľné a neviditeľné okraje. Na obr. Obrázok 3.31 zobrazuje hranol a pyramídu, ako aj nájdenie značiek bodov patriacich týmto povrchom.

Špeciálna skupina konvexných mnohouholníkov je skupina pravidelných mnohouholníkov, v ktorých sú všetky plochy rovnaké ako pravidelné mnohouholníky a všetky uhly mnohouholníkov sú rovnaké. Existuje päť typov pravidelných mnohouholníkov.

Tetrahedron- pravidelný štvoruholník, ohraničený rovnostrannými trojuholníkmi, má 4 vrcholy a 6 hrán (obr. 3.32 a).

Hexahedron- pravidelný šesťuholník (kocka) - 8 vrcholov, 12 hrán (obr. 3.32b).

Octaedron- pravidelný osemsten, ohraničený ôsmimi rovnostrannými trojuholníkmi - 6 vrcholov, 12 hrán (obr. 3.32c).

Dodekaedrón- pravidelný dvanásťsten, ohraničený dvanástimi pravidelnými päťuholníkmi, spojenými tromi v blízkosti každého vrcholu.

Má 20 vrcholov a 30 hrán (obr. 3.32 d).

Ikosahedrón- pravidelný dvadsaťstranný trojuholník ohraničený dvadsiatimi rovnostrannými trojuholníkmi, spojenými piatimi v blízkosti každého vrcholu, 12 vrcholov a 30 hrán (obr. 3.32 d).

Pri konštrukcii bodu ležiaceho na ploche mnohostena je potrebné nakresliť priamku patriacu tejto ploche a vyznačiť priemet bodu na jej priemete.

Kužeľové plochy vznikajú pohybom priamočiarej tvoriacej čiary po zakrivenom vedení tak, že tvoriaca čiara vo všetkých polohách prechádza pevným bodom - vrcholom plochy. Kužeľové plochy všeobecný pohľad na pôdoryse sú znázornené ako vodiaca horizontála a vrchol. Na obr. Obrázok 3.33 znázorňuje umiestnenie bodovej značky na povrchu kužeľovej plochy.

Priamy kruhový kužeľ predstavuje séria sústredných kružníc nakreslených v rovnakých intervaloch (obr. 3.34a). Eliptický kužeľ s kruhovou základňou - séria excentrických kruhov (obr. 3.34 b)

Sférické plochy. Guľový povrch je klasifikovaný ako rotačný povrch. Vzniká otáčaním kruhu okolo jeho priemeru. Na pláne je sférická plocha definovaná stredom TO a priemet jednej z jej vodorovných čiar (rovníka gule) (obr. 3.35).

Topografický povrch. Topografický povrch je klasifikovaný ako geometricky nepravidelný povrch, pretože nemá geometrický zákon formovania. Na charakterizáciu povrchu určte polohu jeho charakteristických bodov vzhľadom na rovinu premietania. Na obr. 3.3 b a je uvedený príklad rezu topografickou plochou, ktorý znázorňuje priemety jej jednotlivých bodov. Hoci takýto plán umožňuje získať predstavu o tvare zobrazeného povrchu, nie je príliš jasný. Pre väčšiu prehľadnosť kresby a tým uľahčenie jej čítania sú projekcie bodov s rovnakými značkami spojené hladkými zakrivenými čiarami, ktoré sa nazývajú horizontály (izolínie) (obr. 3.36 b).

Vodorovné čiary topografického povrchu sú niekedy definované ako priesečníky tohto povrchu s horizontálnymi rovinami vzdialenými od seba v rovnakej vzdialenosti (obr. 3.37). Rozdiel vo výškach medzi dvoma susednými horizontálnymi čiarami sa nazýva výška sekcie.

Čím menší je rozdiel vo výškach medzi dvoma susednými horizontálnymi čiarami, tým presnejší je obraz topografického povrchu. Na plánoch sú obrysové čiary uzavreté v rámci výkresu alebo mimo neho. Na strmších svahoch sa plošné priemety vrstevníc k sebe približujú, na rovných sa ich priemety rozchádzajú.

Najkratšia vzdialenosť medzi priemetmi dvoch susedných vodorovných čiar na pláne sa nazýva položenie. Na obr. 3,38 cez bod A na topografickom povrchu je nakreslených niekoľko priamych úsečiek A VY A AD. Všetky majú rôzne uhly dopadu. Segment má najväčší uhol dopadu AC, ktorej umiestnenie má minimálny význam. Pôjde teda o projekciu línie dopadu povrchu v danom mieste.

Na obr. 3.39 je znázornený príklad zostrojenia priemetu čiary dopadu cez daný bod A. Z bodu A 100, akoby od stredu, nakreslite kruhový oblúk dotýkajúci sa najbližšej vodorovnej čiary v bode V 90. Bodka Vo veku 90 rokov horizontálne h 90, bude patriť do jesennej línie. Z bodu V 90 nakreslite oblúkovú dotyčnicu k ďalšej vodorovnej čiare v bode Od 80, atď. Z nákresu je zrejmé, že čiara dopadu topografickej plochy je prerušovaná čiara, ktorej každý článok je kolmý na horizontálu, prechádza cez spodný koniec spojnice, ktorá má nižšiu eleváciu.

3.4.2. Priesečník kužeľovej plochy s rovinou

Ak rovina rezu prechádza vrcholom kužeľovej plochy, potom ju pretína pozdĺž priamych čiar tvoriacich plochu. Vo všetkých ostatných prípadoch bude čiara rezu plochá krivka: kruh, elipsa atď. Uvažujme prípad kužeľovej plochy pretínajúcej rovinu.

Príklad 1. Zostrojte priemet priesečníka kruhového kužeľa Φ( h o , S 5) s rovinou Ω rovnobežnou s tvoriacou čiarou kužeľovej plochy.

Kužeľová plocha s daným rovinným umiestnením sa pretína pozdĺž paraboly. Po interpolácii tvoriacej čiary t staviame vodorovné čiary kruhového kužeľa - sústredné kružnice so stredom S 5. Potom určíme priesečníky tých istých horizontál roviny a kužeľa (obr. 3.40).

3.4.3. Priesečník topografickej plochy s rovinou a priamkou

S prípadom priesečníka topografickej plochy s rovinou sa najčastejšie stretávame pri riešení geologických úloh. Na obr. 3.41 uvádza príklad zostrojenia priesečníka topografickej plochy s rovinou Σ. Krivka, ktorú hľadám m sú určené priesečníkmi tých istých horizontálnych rovín a topografickým povrchom.

Na obr. 3.42 uvádza príklad zostrojenia verného zobrazenia topografického povrchu so zvislou rovinou Σ. Potrebná priamka m je určená bodmi A, B, C... priesečník horizontál topografickej plochy s rovinou rezu Σ. Na pláne sa projekcia krivky zvrhne na priamku, ktorá sa zhoduje s priemetom roviny: m≡ Σ. Profil krivky m je konštruovaný s prihliadnutím na umiestnenie priemetov jej bodov na pôdoryse, ako aj ich nadmorské výšky.

3.4.4. Povrch s rovnakým sklonom

Plocha s rovnakým sklonom je rovinná plocha, ktorej všetky priamky zvierajú s vodorovnou rovinou konštantný uhol. Takúto plochu je možné získať pohybom priameho kruhového kužeľa s osou kolmou na rovinu pôdorysu tak, že jeho horná časť sa posúva pozdĺž určitého vedenia a os zostáva zvislá v akejkoľvek polohe.

Na obr. Obrázok 3.43 zobrazuje plochu s rovnakým sklonom (i=1/2), ktorej vodidlom je priestorová krivka A B C D.

Odstupňovanie lietadla. Ako príklad zvážte spádové roviny vozovky.

Príklad 1. Pozdĺžny sklon vozovky i=0, sklon násypu i n =1:1,5, (obr. 3.44a). Je potrebné kresliť vodorovné čiary každých 1 m. Riešenie spočíva v nasledujúcom. Nakreslíme mierku sklonu roviny kolmo na okraj vozovky, označíme body vo vzdialenosti rovnajúcej sa intervalu 1,5 m prevzatého z lineárnej mierky a určíme značky 49, 48 a 47. Prostredníctvom získaných bodov nakreslite obrysy svahu rovnobežne s okrajom vozovky.

Príklad 2. Pozdĺžny sklon vozovky i≠0, sklon násypu i n =1:1,5, (obr. 3.44b). Rovina vozovky je odstupňovaná. Sklon vozovky je odstupňovaný nasledovne. Do bodu s vrcholom 50,00 (alebo iného bodu) umiestnime vrchol kužeľa, opíšeme kružnicu s polomerom rovným intervalu sklonu násypu (v našom príklade l= 1,5 m). Prevýšenie tejto horizontálnej čiary kužeľa bude o jednu menšie ako prevýšenie vrcholu, t.j. 49 m. Nakreslíme sériu kružníc, dostaneme vodorovné značky 48, 47, dotyčnice ku ktorým od okrajových bodov so značkami 49, 48, 47 nakreslíme horizontály svahu násypu.

Odstupňovanie povrchov.

Príklad 3. Ak je pozdĺžny sklon vozovky i = 0 a sklon násypu i n = 1: 1,5, potom sa vrstevnice svahov kreslia cez body stupnice sklonu, ktorých interval sa rovná do intervalu svahov násypov (obr. 3.45a). Vzdialenosť medzi dvoma priemetmi susedných vodorovných čiar v smere všeobecnej normy (mierka sklonu) je všade rovnaká.

Príklad 4. Ak je pozdĺžny sklon vozovky i≠0, a sklon násypu je i n =1:1,5, (obr. 3.45b), potom sa vrstevnice zostrojia rovnakým spôsobom s tým rozdielom, že sklon obrysy sa nekreslia v priamych čiarach, ale v krivkách.

3.4.5. Stanovenie hranice výrubu

Pretože väčšina pôd nie je schopná udržať zvislé steny, musia sa vybudovať svahy (umelé konštrukcie). Sklon spôsobený svahom závisí od pôdy.

Na to, aby časť zemského povrchu vyzerala ako rovina s určitým sklonom, potrebujete poznať hranicu pre výkopové a výkopové práce. Túto líniu, ohraničujúcu plánovanú plochu, predstavujú priesečníky svahov násypov a výkopov s daným topografickým povrchom.

Pretože každý povrch (vrátane plochých) je znázornený pomocou vrstevníc, priesečník plôch je konštruovaný ako množina priesečníkov vrstevníc s rovnakými značkami. Pozrime sa na príklady.

Príklad 1. Na obr. 3.46 znázorňuje hlinenú stavbu v tvare zrezaného štvorbokého ihlana, stojacu na rovine N. Horná základňa A B C D pyramída má značku 4 m a veľkosti strán 2×2,5 m. Bočné čelby (svahy násypov) majú sklon 2:1 a 1:1, ktorých smer je znázornený šípkami.

Je potrebné vytvoriť priesečník svahov konštrukcie s rovinou N a medzi sebou, ako aj vytvoriť pozdĺžny profil pozdĺž osi symetrie.

Najprv sa zostrojí diagram sklonov, intervalov a mierok ložísk a daných sklonov. Kolmo na každú stranu lokality sa v určených intervaloch nakreslia mierky svahov, po ktorých sú priemety vrstevníc s rovnakými značkami susedných plôch priesečníkmi svahov, ktoré sú priemetom bočných okrajov túto pyramídu.

Spodná základňa pyramídy sa zhoduje s nulovými horizontálnymi sklonmi. Ak túto zemnú konštrukciu pretína vertikálna rovina Q, v priereze dostanete prerušovanú čiaru - pozdĺžny profil konštrukcie.

Príklad 2. Zostrojte priesečník svahov jamy s plochým sklonom a navzájom. Dole ( A B C D) jama je obdĺžniková plocha s prevýšením 10 m a rozmermi 3x4 m. Os lokality zviera s čiarou juh-sever uhol 5°. Sklony výkopov majú rovnaké sklony 2:1 (obr. 3.47).

Línia nulových prác je stanovená podľa územného plánu. Je skonštruovaný v priesečníkoch rovnomenných priemetov vodorovných čiar uvažovaných plôch. V miestach priesečníka vrstevníc svahov a topografického povrchu s rovnakými značkami sa nachádza priesečník svahov, ktoré sú priemetmi bočných hrán danej jamy.

V tomto prípade bočné svahy výkopov susedia s dnom jamy. Linka a B C d– požadovaná priesečník. Aa, Bb, Cs, Dd– okraje jamy, čiary priesečníka svahov navzájom.

4. Otázky na sebaovládanie a úlohy na samostatnú prácu na tému „Obdĺžnikové projekcie“

Bodka

4.1.1. Podstata projekčnej metódy.

4.1.2. Čo je bodová projekcia?

4.1.3. Ako sa nazývajú a označujú projekčné roviny?

4.1.4. Čo sú spojovacie čiary projekcie na výkrese a ako sú umiestnené na výkrese vo vzťahu k osám premietania?

4.1.5. Ako zostrojiť tretí (profilový) priemet bodu?

4.1.6. Zostrojte tri priemetne bodov A, B, C na trojobrázkový výkres, zapíšte ich súradnice a vyplňte tabuľku.

4.1.7. Zostrojte chýbajúce osi premietania, x A =25, y A =20. Zostrojte projekciu profilu bodu A.

4.1.8. Zostrojte tri priemety bodov podľa ich súradníc: A(25,20,15), B(20,25,0) a C(35,0,10). Uveďte polohu bodov vo vzťahu k rovinám a osám priemetov. Ktorý bod je bližšie k rovine P3?

4.1.9. Hmotné body A a B začnú klesať súčasne. V akej polohe bude bod B, keď sa bod A dotkne zeme? Určte viditeľnosť bodov. Zakreslite body do novej polohy.

4.1.10. Zostrojte tri priemety bodu A, ak bod leží v rovine P 3 a vzdialenosť od neho k rovine P 1 je 20 mm, k rovine P 2 - 30 mm. Zapíšte si súradnice bodu.

Rovno

4.2.1. Ako možno na výkrese definovať priamku?

4.2.2. Ktorá čiara sa nazýva čiara vo všeobecnej polohe?

4.2.3. Akú polohu môže zaujať priamka vo vzťahu k projekčným rovinám?

4.2.4. V akom prípade sa priemet priamky zmení na bod?

4.2.5. Čo je charakteristické pre komplexnú priamu kresbu?

4.2.6. Určte vzájomnú polohu týchto čiar.

a...b a...b a...b

4.2.7. Zostrojte priemety úsečky AB s dĺžkou 20 mm rovnobežné s rovinami: a) P 2; b) P1; c) os ox. Označte uhly sklonu segmentu k projekčným rovinám.

4.2.8. Zostrojte projekcie segmentu AB pomocou súradníc jeho koncov: A(30,10,10), B(10,15,30). Zostrojte projekcie bodu C deliaceho úsečku v pomere AC:CB = 1:2.