Aké je matematické očakávanie náhodnej premennej. Matematické očakávanie (priemer populácie) je. Závislosť od počtu pokusov

Distribučný zákon plne charakterizuje náhodnú premennú. Zákon o distribúcii je však často neznámy a človek sa musí obmedziť na menej informácií. Niekedy je ešte výhodnejšie použiť čísla, ktoré celkom opisujú náhodnú premennú, takéto čísla sa nazývajú číselné charakteristiky náhodná premenná. Matematické očakávanie je jednou z dôležitých číselných charakteristík.

Matematické očakávanie, ako bude uvedené nižšie, sa približne rovná priemernej hodnote náhodnej premennej. Na vyriešenie mnohých problémov stačí poznať matematické očakávanie. Napríklad, ak je známe, že matematické očakávanie počtu bodov dosiahnutého prvým strelcom je väčšie ako u druhého strelca, potom prvý strelec v priemere vyradí viac bodov ako druhý, a preto strieľa lepšie ako druhy.

Definícia 4.1: matematické očakávanie Diskrétna náhodná premenná sa nazýva súčet súčinov všetkých jej možných hodnôt a ich pravdepodobností.

Nech náhodná premenná X môže nadobudnúť iba hodnoty x 1, x 2, … x n, ktorých pravdepodobnosti sú v tomto poradí rovné p 1, p 2, … p n . Potom matematické očakávania M(X) náhodná premenná X je definovaná rovnosťou

M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + ...+ x n pn.

Ak ide o diskrétnu náhodnú premennú X nadobudne spočítateľnú množinu možných hodnôt

,

navyše, matematické očakávanie existuje, ak rad na pravej strane rovnosti absolútne konverguje.

Príklad. Nájdite matematické očakávanie počtu výskytov udalosti A v jednom pokuse, ak je pravdepodobnosť udalosti A rovná sa p.

Riešenie: Náhodná hodnota X– počet výskytov udalosti A má Bernoulliho distribúciu, takže

teda matematické očakávanie počtu výskytov udalosti v jednom pokuse sa rovná pravdepodobnosti tejto udalosti.

Pravdepodobný význam matematického očakávania

Nechajte vyrobiť n testy, v ktorých náhodná premenná X prijatý m 1 krát hodnotu x 1, m2 krát hodnotu x2 ,…, m k krát hodnotu x k, a m1 + m2 + …+ m k = n. Potom súčet všetkých prijatých hodnôt X, rovná sa x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .

Aritmetický priemer všetkých hodnôt získaných náhodnou premennou bude

Postoj m i / n- relatívna frekvencia Wi hodnoty x i približne rovná pravdepodobnosti výskytu udalosti pi, Kde , Preto

Pravdepodobný význam získaného výsledku je nasledujúci: matematické očakávanie sa približne rovná(čím presnejšie, tým väčší počet pokusov) aritmetický priemer pozorovaných hodnôt náhodnej premennej.

Vlastnosti očakávania

Vlastnosť 1:Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná samotnej konštante

Vlastnosť 2:Konštantný faktor možno vyňať zo znamenia očakávania

Definícia 4.2: Dve náhodné premenné volal nezávislý, ak distribučný zákon jedného z nich nezávisí od toho, aké možné hodnoty nadobudla druhá hodnota. Inak náhodné premenné sú závislé.

Definícia 4.3: Niekoľko náhodných premenných volal vzájomne nezávislé ak distribučné zákony ľubovoľného počtu z nich nezávisia od toho, aké možné hodnoty nadobudli ostatné veličiny.

Vlastnosť 3:Matematické očakávanie súčinu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní.

Dôsledok:Matematické očakávanie súčinu niekoľkých vzájomne nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní.

Vlastnosť 4:Matematické očakávanie súčtu dvoch náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní.

Dôsledok:Matematické očakávanie súčtu niekoľkých náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní.

Príklad. Vypočítajte matematické očakávanie binomickej náhodnej premennej X- dátum vzniku udalosti A V n experimenty.

Riešenie: Celkový počet X výskytov udalostí A v týchto pokusoch je súčet počtu výskytov udalosti v jednotlivých pokusoch. Zavádzame náhodné premenné X i je počet výskytov udalosti v i test, čo sú Bernoulliho náhodné premenné s matematickým očakávaním, kde . Vlastnosťou matematického očakávania máme

teda očakávaná hodnota binomické rozdelenie s parametrami n a p sa rovná súčinu np.

Príklad. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa pri streľbe z pištole p = 0,6. Nájdite matematický odhad celkového počtu zásahov, ak padne 10 výstrelov.

Riešenie: Zásah pri každom výstrele nezávisí od výsledkov iných výstrelov, takže zvažované udalosti sú nezávislé a následne požadované matematické očakávania

- počet chlapcov medzi 10 novorodencami.

Je celkom jasné, že toto číslo nie je vopred známe a v nasledujúcich desiatich narodených deťoch môžu byť:

Alebo chlapci - jeden a len jeden z uvedených možností.

A aby ste sa udržali vo forme, trochu telesnej výchovy:

- vzdialenosť skoku do diaľky (v niektorých jednotkách).

Ani majster športu to nevie odhadnúť :)

Aké sú však vaše hypotézy?

2) Spojitá náhodná veličina – berie Všetkyčíselné hodnoty z nejakého konečného alebo nekonečného rozsahu.

Poznámka : skratky DSV a NSV sú populárne v náučnej literatúre

Najprv analyzujme diskrétnu náhodnú premennú, potom - nepretržitý.

Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej

- Toto korešpondencia medzi možnými hodnotami tejto veličiny a ich pravdepodobnosťou. Zákon je najčastejšie napísaný v tabuľke:

Termín je celkom bežný riadok distribúcia, no v niektorých situáciách to vyznieva dvojzmyselne, a preto sa budem držať "zákona".

A teraz Veľmi dôležitý bod : od náhodnej premennej Nevyhnutne prijme jedna z hodnôt, potom sa vytvoria zodpovedajúce udalosti celá skupina a súčet pravdepodobností ich výskytu sa rovná jednej:

alebo ak je napísané zložené:

Napríklad zákon rozdelenia pravdepodobnosti bodov na kocke má nasledujúci tvar:

Bez komentára.

Môžete mať dojem, že diskrétna náhodná premenná môže nadobudnúť iba „dobré“ celočíselné hodnoty. Poďme rozptýliť ilúziu - môžu to byť čokoľvek:

Príklad 1

Niektoré hry majú nasledujúci zákon o distribúcii výplat:

...asi o takýchto úlohách snívaš už dlho :) Prezradím ti tajomstvo - ja tiež. Najmä po ukončení prác na teória poľa.

Riešenie: keďže náhodná premenná môže nadobudnúť iba jednu z troch hodnôt, tvoria sa zodpovedajúce udalosti celá skupina, čo znamená, že súčet ich pravdepodobností sa rovná jednej:

Odhaľujeme „partizána“:

– teda pravdepodobnosť výhry konvenčných jednotiek je 0,4.

Kontrola: čo sa musíte uistiť.

Odpoveď:

Nie je nezvyčajné, keď zákon o rozdeľovaní treba zostaviť samostatne. Na toto použitie klasická definícia pravdepodobnosti, násobiace / sčítacie teorémy pre pravdepodobnosti udalostí a iné čipy tervera:

Príklad 2

V krabici je 50 lotériových lístkov, z ktorých 12 je výherných a 2 z nich vyhrávajú každý po 1000 rubľov a zvyšok - každý po 100 rubľov. Zostavte zákon rozdelenia náhodnej premennej - veľkosť výhry, ak sa náhodne vyžrebuje jeden tiket z krabice.

Riešenie: ako ste si všimli, je zvykom umiestňovať hodnoty náhodnej premennej vzostupné poradie. Preto začíname s najmenšími výhrami, a to rubľmi.

Celkovo je takýchto lístkov 50 - 12 = 38 a podľa klasická definícia:
je pravdepodobnosť, že náhodne vyžrebovaný tiket nevyhrá.

Ostatné prípady sú jednoduché. Pravdepodobnosť výhry rubľov je:

Kontrola: - a to je obzvlášť príjemný moment takýchto úloh!

Odpoveď: požadovaný zákon o rozdeľovaní výplat:

Nasledujúca úloha pre nezávislé rozhodnutie:

Príklad 3

Pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ, je . Vytvorte distribučný zákon pre náhodnú premennú - počet zásahov po 2 výstreloch.

... vedel som, že ti chýbal :) Spomíname vety o násobení a sčítaní. Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Zákon o rozdelení úplne popisuje náhodnú premennú, ale v praxi je užitočné (a niekedy užitočnejšie) poznať len niektoré z nich. číselné charakteristiky .

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej

rozprávanie jednoduchý jazyk, Toto priemerná očakávaná hodnota s opakovaným testovaním. Nech náhodná premenná nadobúda hodnoty s pravdepodobnosťou resp. Potom sa matematické očakávanie tejto náhodnej premennej rovná súčet produktov všetky jeho hodnoty podľa zodpovedajúcich pravdepodobností:

alebo v zloženom tvare:

Vypočítajme napríklad matematické očakávanie náhodnej premennej - počtu bodov, ktoré padne na kocke:

Teraz si pripomeňme našu hypotetickú hru:

Vynára sa otázka: je vôbec výhodné hrať túto hru? ... kto má nejaké dojmy? Takže nemôžete povedať „offhand“! Ale na túto otázku možno ľahko odpovedať výpočtom matematického očakávania, v podstate - Vážený priemer pravdepodobnosť výhry:

Teda matematické očakávania tejto hry stratiť.

Neverte dojmom – dôverujte číslam!

Áno, tu môžete vyhrať 10 alebo dokonca 20-30 krát za sebou, ale z dlhodobého hľadiska nás to nevyhnutne zruinuje. A také hry by som ti neradil :) No možno len pre zábavu.

Zo všetkého vyššie uvedeného vyplýva, že matematické očakávanie NIE JE NÁHODNÁ hodnota.

Kreatívna úloha pre nezávislý výskum:

Príklad 4

Pán X hrá európsku ruletu podľa nasledujúceho systému: neustále vsádza 100 rubľov na červenú. Zostavte zákon rozdelenia náhodnej veličiny – jej výplatu. Vypočítajte matematické očakávania výhier a zaokrúhlite ich na kopejky. Koľko priemer prehráva hráč za každú stovku vsadených?

Odkaz : Európska ruleta obsahuje 18 červených, 18 čiernych a 1 zelený sektor („nula“). V prípade vypadnutia „červenej“ je hráčovi vyplatená dvojnásobná stávka, inak ide do príjmu kasína

Existuje mnoho ďalších ruletových systémov, pre ktoré si môžete vytvoriť vlastné pravdepodobnostné tabuľky. Ale to je prípad, keď nepotrebujeme žiadne distribučné zákony a tabuľky, pretože je isté, že matematické očakávania hráča budú úplne rovnaké. Iba zmeny od systému k systému

Každá jednotlivá hodnota je úplne určená jej distribučnou funkciou. Na riešenie praktických problémov tiež stačí poznať niekoľko číselných charakteristík, vďaka ktorým je možné prezentovať hlavné črty náhodnej premennej v stručnej forme.

Tieto množstvá sú primárne očakávaná hodnota A disperzia .

Očakávaná hodnota- priemerná hodnota náhodnej veličiny v teórii pravdepodobnosti. Označené ako .

najviac jednoduchým spôsobom matematické očakávanie náhodnej premennej X(w), sa nachádzajú ako integrálneLebesgue vzhľadom na mieru pravdepodobnosti R originálny pravdepodobnostný priestor

Môžete tiež nájsť matematické očakávanie hodnoty ako Lebesgueov integrál od X podľa rozdelenia pravdepodobnosti R X množstvá X:

kde je množina všetkých možných hodnôt X.

Matematické očakávanie funkcií od náhodnej premennej X je prostredníctvom distribúcie R X. Napríklad, Ak X- náhodná premenná s hodnotami v a f(x)- jednoznačný Borelfunkciu X , To:

Ak F(x)- distribučná funkcia X, potom je matematické očakávanie reprezentovateľné integrálneLebesgue - Stieltjes (alebo Riemann - Stieltjes):

zatiaľ čo integrovateľnosť X V zmysle ( * ) zodpovedá konečnosti integrálu

V konkrétnych prípadoch, ak X má diskrétne rozdelenie s pravdepodobnými hodnotami x k, k = 1, 2, . , a potom pravdepodobnosti

Ak X má absolútne spojité rozdelenie s hustotou pravdepodobnosti p(x), To

v tomto prípade je existencia matematického očakávania ekvivalentná absolútnej konvergencii zodpovedajúceho radu alebo integrálu.

Vlastnosti matematického očakávania náhodnej premennej.

• Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná tejto hodnote:

C- konštantný;

• M=C.M[X]

• Matematické očakávanie súčtu náhodne získaných hodnôt sa rovná súčtu ich matematických očakávaní:

• Matematické očakávanie súčinu nezávislých náhodných premenných = súčin ich matematických očakávaní:

M=M[X]+M[Y]

Ak X A Y nezávislý.

ak rad konverguje:

Algoritmus na výpočet matematického očakávania.

Vlastnosti diskrétnych náhodných premenných: všetky ich hodnoty možno prečíslovať prirodzenými číslami; prirovnať každú hodnotu s nenulovou pravdepodobnosťou.

1. Postupne vynásobte dvojice: x i na pi.

2. Pridajte súčin každého páru x i p i.

Napríklad, Pre n = 4 :

Distribučná funkcia diskrétnej náhodnej premennej postupne sa prudko zvyšuje v tých bodoch, ktorých pravdepodobnosti majú kladné znamienko.

Príklad: Nájdite matematické očakávanie podľa vzorca.

Najkompletnejšou charakteristikou náhodnej premennej je jej distribučný zákon. Nie vždy sa to však vie a v týchto prípadoch sa človek musí uspokojiť s menším množstvom informácií. Takéto informácie môžu zahŕňať: rozsah variácie náhodnej premennej, jej najväčšiu (najmenšiu) hodnotu, niektoré ďalšie charakteristiky, ktoré nejakým súhrnným spôsobom opisujú náhodnú premennú. Všetky tieto veličiny sú tzv číselné charakteristiky náhodná premenná. Zvyčajne sú to niektoré nenáhodnéčísla, ktoré nejakým spôsobom charakterizujú náhodnú premennú. Hlavným účelom číselných charakteristík je stručnou formou vyjadriť najvýznamnejšie znaky konkrétneho rozdelenia.

Najjednoduchšia číselná charakteristika náhodnej premennej X zavolal jej očakávaná hodnota:

M (X) \u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n. (1.3.1)

Tu x 1, x 2, …, x n sú možné hodnoty náhodnej premennej X, A p 1, p 2, …, p n sú ich pravdepodobnosti.

Príklad 1 Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej, ak je známy jej distribučný zákon:

Riešenie. M(X) = 2 x 0,3 + 3 x 0,1 + 5 x 0,6 = 3,9.

Príklad 2. Nájdite matematické očakávanie počtu výskytov udalosti A v jednom pokuse, ak je pravdepodobnosť tejto udalosti R.

Riešenie. Ak X– počet výskytov udalosti A v jednom procese, potom samozrejme distribučný zákon X vyzerá ako:

Potom М(Х)=0×(1–р)+1×р=р.

Takže: matematické očakávanie počtu výskytov udalosti v jednom pokuse sa rovná jej pravdepodobnosti.

Pravdepodobný význam matematického očakávania

Nechajte vyrobiť n testy, v ktorých náhodná premenná X prijatý m 1 krát hodnotu x 1, m2 krát hodnotu x 2, …, m k krát hodnotu x k. Potom súčet všetkých hodnôt v n testy sa rovnajú:

x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k.

Nájdite aritmetický priemer všetkých hodnôt náhodnej premennej:

Hodnoty - relatívne frekvencie výskytu hodnôt x i (i=1, …, k). Ak n Dostatočne veľké (n®¥), potom sa tieto frekvencie približne rovnajú pravdepodobnostiam: . Ale potom

=xip1+x2p2 +...+xkpk=M(X).

Matematické očakávanie sa teda približne rovná (čím presnejšie, tým väčší počet pokusov) aritmetickému priemeru pozorovaných hodnôt náhodnej premennej. Toto je pravdepodobnostný význam matematického očakávania.

Vlastnosti očakávania

1. Matematické očakávanie konštanty sa rovná samotnej konštante.

M(S)=Sxl=S.

2. Zo znamenia očakávania možno vyňať konštantný faktor

M(CX)=S×M(X).

Dôkaz. Nech zákon o rozdeľovaní X dané tabuľkou:

Potom náhodná premenná CX nadobúda hodnoty Dx 1, CX 2, …, Сх n s rovnakými pravdepodobnosťami, t.j. distribučný zákon CX vyzerá ako:

М(СХ)=Сх 1 ×р 1 +Сх 2 ×р 2 +…+Сх n ×p n =

\u003d C (x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n) \u003d CM (X).

3. Matematické očakávanie súčinu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní:

M(XY)=M(X)×M(Y).

Toto tvrdenie je uvedené bez dôkazu (dôkaz je založený na definícii očakávania).

Dôsledok. Matematické očakávanie súčinu niekoľkých vzájomne nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní.

Najmä pre tri nezávislé náhodné premenné

M(XYZ)=M(X)×M(Y)×M(Z).

Príklad. Nájdite matematické očakávanie súčinu počtu bodov, ktoré môžu padnúť pri hode dvoma kockami.

Riešenie. Nechaj Х i- počet bodov i kosti. Môžu to byť čísla 1 , 2 , …, 6 s pravdepodobnosťami. Potom

М(Х i)=1× +2× +…+6× = (1+2+…+6)= × ×6= .

Nechaj X \u003d X 1 × X 2. Potom

M (X) \u003d M (X 1) × M (X 2) \u003d \u003d 12,25.

4. Matematické očakávanie súčtu dvoch náhodných premenných (nezávislých alebo závislých) sa rovná súčtu matematických očakávaní pojmov:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Táto vlastnosť je zovšeobecnená na prípad ľubovoľného počtu výrazov.

Príklad. Vystrelia sa 3 výstrely s pravdepodobnosťou zasiahnutia cieľa rovnajúcou sa p 1 \u003d 0,4, p 2 \u003d 0,3 A p 3 \u003d 0,6. Nájdite matematické očakávanie celkového počtu zásahov.

Riešenie. Nechaj Х i- počet zásahov i-tý výstrel. Potom

М(Х i)=1×p i +0×(1–p i)=p i.

teda

M(X 1 + X 2 + X 3) \u003d \u003d 0,4 + 0,3 + 0,6 \u003d 1,3.

Matematické očakávanie (stredná hodnota) náhodnej premennej X , dané na diskrétnom pravdepodobnostnom priestore, je číslo m =M[X]=∑x i p i , ak rad absolútne konverguje.

Pridelenie služby. S online službou vypočítajú sa matematické očakávania, rozptyl a smerodajná odchýlka(pozri príklad). Okrem toho sa vykreslí graf distribučnej funkcie F(X).

Vlastnosti matematického očakávania náhodnej premennej

1. Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná sebe samej: M[C]=C , C je konštanta;
2. M=C M[X]
3. Matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní: M=M[X]+M[Y]
4. Matematické očakávanie súčinu nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní: M=M[X] M[Y], ak sú X a Y nezávislé.

Vlastnosti disperzie

1. Disperzia konštantnej hodnoty sa rovná nule: D(c)=0.
2. Konštantný faktor možno vybrať spod znamienka rozptylu jeho umocnením: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Ak sú náhodné premenné X a Y nezávislé, potom sa rozptyl súčtu rovná súčtu rozptylov: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Ak sú náhodné premenné X a Y závislé: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Pre rozptyl platí výpočtový vzorec:
   D(X)=M(X2)-(M(X)) 2

Príklad. Matematické očakávania a rozptyly dvoch nezávislých náhodných premenných X a Y sú známe: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Nájdite matematické očakávanie a rozptyl náhodnej premennej Z=9X-8Y+7 .
Riešenie. Na základe vlastností matematického očakávania: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Na základe disperzných vlastností: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Algoritmus na výpočet matematického očakávania

1. Vynásobte dvojice jeden po druhom: x i x p i .
2. Pripočítame súčin každej dvojice x i p i .
   Napríklad pre n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Príklad č. 1.

Príklad č. 2. Diskrétna náhodná premenná má nasledujúce distribučné rady:

Riešenie. Hodnota a sa zistí zo vzťahu: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 alebo 0,24 = 3 a , odkiaľ a = 0,08

Príklad č. 3. Určte distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej, ak je známy jej rozptyl a x 1 x 1 = 6; x2=9; x3=x; x4=15
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 \u003d 0,3
d(x) = 12,96

Riešenie.
Tu musíte vytvoriť vzorec na nájdenie rozptylu d (x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
kde očakávanie m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Pre naše údaje
m(x)=6*0,3+9*0,3+x3 *0,1+15*0,3=9+0,1x3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
alebo -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Preto je potrebné nájsť korene rovnice a budú dva.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Vyberieme ten, ktorý spĺňa podmienku x 1 x3=12

Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej
x 1 = 6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 \u003d 0,3