Vypočítajte matematické očakávanie náhodnej premennej x. Náhodné premenné. Diskrétna náhodná premenná Matematické očakávanie. Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej

Náhodná premenná Premenná sa nazýva premenná, ktorá v dôsledku každého testu nadobúda jednu predtým neznámu hodnotu v závislosti od náhodných dôvodov. Náhodné premenné sa označujú veľkými latinskými písmenami: $X,\ Y,\ Z,\ \bodky $ Náhodné premenné môžu byť podľa typu diskrétne A nepretržitý.

Diskrétna náhodná premenná- ide o náhodnú premennú, ktorej hodnoty môžu byť maximálne spočítateľné, to znamená buď konečné alebo spočítateľné. Počítateľným rozumieme, že hodnoty náhodná premenná môžu byť očíslované.

Príklad 1 . Tu sú príklady diskrétnych náhodných premenných:

a) počet zásahov do terča $n$ výstrelmi, tu sú možné hodnoty $0,\ 1,\ \bodky,\ n$.

b) počet vypadnutých emblémov pri hode mincou, tu sú možné hodnoty $0,\1,\\bodky,\n$.

c) počet lodí prichádzajúcich na palubu (počítateľný súbor hodnôt).

d) počet hovorov prichádzajúcich do PBX (počítateľný súbor hodnôt).

1. Zákon rozdelenia pravdepodobnosti diskrétnej náhodnej premennej.

Diskrétna náhodná premenná $X$ môže nadobúdať hodnoty $x_1,\bodky,\ x_n$ s pravdepodobnosťou $p\left(x_1\right),\\dots ,\p\left(x_n\right)$. Korešpondencia medzi týmito hodnotami a ich pravdepodobnosťami sa nazýva zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej. Táto korešpondencia je spravidla špecifikovaná pomocou tabuľky, ktorej prvý riadok označuje hodnoty $x_1,\bodky,\ x_n$ a druhý riadok obsahuje pravdepodobnosti $p_1,\bodky,\ p_n$ zodpovedajúce tieto hodnoty.

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(pole)$

Príklad 2 . Nech náhodná premenná $X$ je počet bodov hodených pri hode kockou. Takáto náhodná premenná $X$ môže nadobúdať nasledujúce hodnoty: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Pravdepodobnosti všetkých týchto hodnôt sa rovnajú $ 1/6 $. Potom zákon rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej $X$:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(pole)$

Komentujte. Keďže v distribučnom zákone diskrétnej náhodnej premennej $X$ tvoria udalosti $1,\ 2,\ \bodky ,\ 6$ kompletnú skupinu udalostí, potom sa súčet pravdepodobností musí rovnať jednej, teda $ \sum(p_i)=1$.

2. Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej.

Očakávaná hodnota náhodná premenná určuje jeho „centrálny“ význam. Pre diskrétnu náhodnú premennú sa matematické očakávanie vypočíta ako súčet súčinov hodnôt $x_1,\bodky,\x_n$ a pravdepodobností $p_1,\bodky,\p_n$ zodpovedajúcich týmto hodnotám, tj. : $M\vľavo(X\vpravo)=\súčet ^n_(i=1)(p_ix_i)$. V anglickojazyčnej literatúre sa používa iný zápis $E\left(X\right)$.

Vlastnosti matematického očakávania$M\vľavo(X\vpravo)$:

1. $M\left(X\right)$ sa nachádza medzi najmenším a najvyššie hodnoty náhodná premenná $X$.
2. Matematické očakávanie konštanty sa rovná samotnej konštante, t.j. $M\vľavo(C\vpravo)=C$.
3. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka matematického očakávania: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Matematické očakávanie súčinu nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní: $M\vľavo(XY\vpravo)=M\vľavo(X\vpravo)M\vľavo(Y\vpravo)$.

Príklad 3 . Nájdime matematické očakávanie náhodnej premennej $X$ z príkladu $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\nad (6))+4\cdot ((1)\nad (6))+5\cdot ((1)\nad (6))+6\cdot ((1) )\nad (6))=3,5.$$

Môžeme si všimnúť, že $M\left(X\right)$ leží medzi najmenšou ($1$) a najväčšou ($6$) hodnotou náhodnej premennej $X$.

Príklad 4 . Je známe, že matematické očakávanie náhodnej premennej $X$ sa rovná $M\left(X\right)=2$. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej $3X+5$.

Použitím vyššie uvedených vlastností dostaneme $M\vľavo(3X+5\vpravo)=M\vľavo(3X\vpravo)+M\vľavo(5\vpravo)=3M\vľavo(X\vpravo)+5=3\ cdot 2 +5 = 11 $.

Príklad 5 . Je známe, že matematické očakávanie náhodnej premennej $X$ sa rovná $M\left(X\right)=4$. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej $2X-9$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností dostaneme $M\vľavo(2X-9\vpravo)=M\vľavo(2X\vpravo)-M\vľavo(9\vpravo)=2M\vľavo(X\vpravo)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Disperzia diskrétnej náhodnej premennej.

Možné hodnoty náhodných premenných s rovnakými matematickými očakávaniami sa môžu okolo ich priemerných hodnôt rozptýliť rôzne. Napríklad v dvoch skupinách študentov bolo priemerné skóre na skúške z teórie pravdepodobnosti 4, ale v jednej skupine boli všetci dobrí študenti a v druhej skupine boli iba študenti C a vynikajúci študenti. Preto je potrebná numerická charakteristika náhodnej premennej, ktorá by ukazovala rozptyl hodnôt náhodnej premennej okolo jej matematického očakávania. Táto vlastnosť je disperzia.

Rozptyl diskrétnej náhodnej premennej$X$ sa rovná:

$$D\vľavo(X\vpravo)=\súčet^n_(i=1)(p_i(\vľavo(x_i-M\vľavo(X\vpravo)\vpravo))^2).\ $$

V anglickej literatúre sa používa označenie $V\left(X\right),\Var\left(X\right)$. Veľmi často sa rozptyl $D\left(X\right)$ počíta pomocou vzorca $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ vľavo(X \vpravo)\vpravo))^2$.

Disperzné vlastnosti$D\vľavo(X\vpravo)$:

1. Rozptyl je vždy väčší alebo rovný nule, t.j. $D\vľavo(X\vpravo)\ge 0$.
2. Rozptyl konštanty je nulový, t.j. $D\vľavo(C\vpravo)=0$.
3. Konštantný faktor možno odobrať zo znamienka disperzie za predpokladu, že je na druhú, t.j. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Rozptyl súčtu nezávislých náhodných veličín sa rovná súčtu ich rozptylov, t.j. $D\vľavo(X+Y\vpravo)=D\vľavo(X\vpravo)+D\vľavo(Y\vpravo)$.
5. Rozptyl rozdielu medzi nezávislými náhodnými premennými sa rovná súčtu ich rozptylov, t.j. $D\vľavo(X-Y\vpravo)=D\vľavo(X\vpravo)+D\vľavo(Y\vpravo)$.

Príklad 6 . Vypočítajme rozptyl náhodnej premennej $X$ z príkladu $2$.

$$D\vľavo(X\vpravo)=\súčet^n_(i=1)(p_i(\vľavo(x_i-M\vľavo(X\vpravo)\vpravo))^2)=((1)\nad (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\viac ako (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\viac ako (12))\približne 2,92,$$

Príklad 7 . Je známe, že rozptyl náhodnej premennej $X$ sa rovná $D\left(X\right)=2$. Nájdite rozptyl náhodnej premennej $4X+1$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností nájdeme $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ vľavo(X\vpravo)=16\cdot 2=32$.

Príklad 8 . Je známe, že rozptyl náhodnej premennej $X$ sa rovná $D\left(X\right)=3$. Nájdite rozptyl náhodnej premennej $3-2X$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností nájdeme $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ vľavo(X\vpravo)=4\cdot 3=12$.

4. Distribučná funkcia diskrétnej náhodnej premennej.

Spôsob reprezentácie diskrétnej náhodnej premennej vo forme distribučného radu nie je jediný, a čo je najdôležitejšie, nie je univerzálny, pretože spojitú náhodnú premennú nie je možné špecifikovať pomocou distribučného radu. Existuje ďalší spôsob, ako reprezentovať náhodnú premennú - distribučnú funkciu.

Distribučná funkcia náhodná premenná $X$ sa nazýva funkcia $F\left(x\right)$, ktorá určuje pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ bude mať hodnotu menšiu ako nejaká pevná hodnota $x$, teda $F\ vľavo(x\vpravo)=P\vľavo(X< x\right)$

Vlastnosti distribučnej funkcie:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ bude nadobúdať hodnoty z intervalu $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, sa rovná rozdielu medzi hodnotami distribučnej funkcie na koncoch tohto interval: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - neklesá.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \vpravo)=1\ )$.

Príklad 9 . Nájdite distribučnú funkciu $F\left(x\right)$ pre distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej $X$ z príkladu $2$.

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(pole)$

Ak $x\le 1$, potom, samozrejme, $F\left(x\right)=0$ (vrátane pre $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Ak 1 dolár< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Ak 2 doláre< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Ak 3 doláre< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Ak 4 doláre< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Ak 5 dolárov< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Ak $x > 6$, potom $F\vľavo(x\vpravo)=P\vľavo(X=1\vpravo)+P\vľavo(X=2\vpravo)+P\vľavo(X=3\vpravo) +P\vľavo(X=4\vpravo)+P\vľavo(X=5\vpravo)+P\vľavo(X=6\vpravo)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6 + 1/6 = 1 $.

Takže $F(x)=\vľavo\(\začiatok(matica)
0,\ v\ x\le 1,\\
6. 1. o 1< x\le 2,\\
1/3,\ na\ 2< x\le 3,\\
1/2, o\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ o\ 4< x\le 5,\\
6.5., o 4< x\le 5,\\
1,\ pre\ x > 6.
\end(matica)\right.$

Každá jednotlivá hodnota je úplne určená jej distribučnou funkciou. Na riešenie praktických problémov tiež stačí poznať niekoľko numerických charakteristík, vďaka ktorým je možné prezentovať hlavné znaky náhodnej premennej v krátkej forme.

Tieto množstvá zahŕňajú predovšetkým očakávaná hodnota A disperzia .

Očakávaná hodnota— priemerná hodnota náhodnej premennej v teórii pravdepodobnosti. Označené ako .

Najviac jednoduchým spôsobom matematické očakávanie náhodnej premennej X(w), zistite ako integrálneLebesgue vo vzťahu k pravdepodobnosti R originálny pravdepodobnostný priestor

Môžete tiež nájsť matematické očakávanie hodnoty ako Lebesgueov integrál od X podľa rozdelenia pravdepodobnosti R X množstvá X:

kde je množina všetkých možných hodnôt X.

Matematické očakávanie funkcií od náhodnej premennej X nájdené prostredníctvom distribúcie R X. Napríklad, Ak X- náhodná premenná s hodnotami v a f(x)- jednoznačný Borelovafunkciu X , To:

Ak F(x)- distribučná funkcia X, potom je matematické očakávanie reprezentovateľné integrálneLebesgue - Stieltjes (alebo Riemann - Stieltjes):

v tomto prípade integrovateľnosť X V zmysle ( * ) zodpovedá konečnosti integrálu

V konkrétnych prípadoch, ak X má diskrétne rozdelenie s pravdepodobnými hodnotami x k, k = 1, 2, . , a potom pravdepodobnosti

Ak X má absolútne spojité rozdelenie s hustotou pravdepodobnosti p(x), To

v tomto prípade je existencia matematického očakávania ekvivalentná absolútnej konvergencii zodpovedajúceho radu alebo integrálu.

Vlastnosti matematického očakávania náhodnej premennej.

• Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná tejto hodnote:

C- konštantný;

• M=C.M[X]

• Matematické očakávanie súčtu náhodne získaných hodnôt sa rovná súčtu ich matematických očakávaní:

• Matematické očakávanie súčinu nezávislých náhodne vybraných premenných = súčin ich matematických očakávaní:

M=M[X]+M[Y]

Ak X A Y nezávislý.

ak rad konverguje:

Algoritmus na výpočet matematického očakávania.

Vlastnosti diskrétnych náhodných premenných: všetky ich hodnoty možno prečíslovať prirodzenými číslami; každej hodnote priraďte nenulovú pravdepodobnosť.

1. Vynásobte dvojice jeden po druhom: x i na p i.

2. Pridajte súčin každého páru x i p i.

Napríklad, Pre n = 4 :

Distribučná funkcia diskrétnej náhodnej premennej postupne sa prudko zvyšuje v tých bodoch, ktorých pravdepodobnosti majú kladné znamienko.

Príklad: Nájdite matematické očakávanie pomocou vzorca.

Kapitola 6.

Numerické charakteristiky náhodných premenných

Matematické očakávanie a jeho vlastnosti

Na riešenie mnohých praktických problémov nie je vždy potrebná znalosť všetkých možných hodnôt náhodnej premennej a ich pravdepodobnosti. Navyše, niekedy je zákon rozdelenia skúmanej náhodnej premennej jednoducho neznámy. Je však potrebné zdôrazniť niektoré vlastnosti tejto náhodnej premennej, inými slovami, číselné charakteristiky.

Číselné charakteristiky- to sú niektoré čísla, ktoré charakterizujú určité vlastnosti, Vlastnosti náhodná premenná.

Napríklad priemerná hodnota náhodnej premennej, priemerné rozšírenie všetkých hodnôt náhodnej premennej okolo jej priemeru atď. Hlavným účelom numerických charakteristík je stručnou formou vyjadriť najdôležitejšie znaky rozdelenia skúmanej náhodnej premennej. Číselné charakteristiky zohrávajú v teórii pravdepodobnosti obrovskú úlohu. Pomáhajú riešiť aj bez znalosti zákonitostí distribúcie mnohé dôležité praktické problémy.

Spomedzi všetkých číselných charakteristík najprv vyzdvihneme charakteristiky polohy. Ide o charakteristiky, ktoré fixujú polohu náhodnej veličiny na číselnej osi, t.j. určitú priemernú hodnotu, okolo ktorej sú zoskupené zostávajúce hodnoty náhodnej premennej.

Z charakteristík pozície hrá najväčšiu úlohu v teórii pravdepodobnosti matematické očakávanie.

Očakávaná hodnota niekedy nazývaný jednoducho priemer náhodnej premennej. Ide o akési distribučné centrum.

Očakávanie diskrétnej náhodnej premennej

Uvažujme najprv o koncepte matematického očakávania pre diskrétnu náhodnú premennú.

Pred zavedením formálnej definície vyriešme nasledujúci jednoduchý problém.

Príklad 6.1. Nechajte určitého strelca vystreliť 100 rán na cieľ. V dôsledku toho sa získal nasledujúci obrázok: 50 rán - zasiahnutie "osem", 20 rán - zasiahnutie "deväť" a 30 - zasiahnutie "desiatky". Aké je priemerné skóre za jeden výstrel?

Riešenie Tento problém je zrejmý a scvrkáva sa na nájdenie priemernej hodnoty 100 čísel, konkrétne bodov.

Zlomok transformujeme vydelením čitateľa menovateľom výrazom a priemernú hodnotu uvedieme vo forme nasledujúceho vzorca:

Predpokladajme teraz, že počet bodov v jednom zábere sú hodnoty nejakej diskrétnej náhodnej premennej X. Z vyjadrenia problému je zrejmé, že X 1 =8; X 2 =9; X 3 = 10. Sú známe relatívne frekvencie výskytu týchto hodnôt, ktoré sa, ako je známe, pri veľkom počte testov približne rovnajú pravdepodobnostiam zodpovedajúcich hodnôt, t.j. R 1 ≈0,5;R 2 ≈0,2; R 3 ≈ 0,3. Takže, . Hodnota na pravej strane je matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej.

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej X je súčet súčinov všetkých jeho možných hodnôt a pravdepodobnosti týchto hodnôt.

Nech je diskrétna náhodná premenná X je daný jeho distribučným radom:

Potom matematické očakávania M(X) diskrétnej náhodnej premennej sa určuje podľa tohto vzorca:

Ak diskrétna náhodná premenná nadobudne nekonečnú spočítateľnú množinu hodnôt, potom je matematické očakávanie vyjadrené vzorcom:

,

Navyše, matematické očakávanie existuje, ak rad na pravej strane rovnosti absolútne konverguje.

Príklad 6.2 . Nájdite matematické očakávania výhry X za podmienok príkladu 5.1.

Riešenie . Pripomeňme, že distribučná séria X má nasledujúci tvar:

Dostaneme M(X)=0∙0,7+10∙0,2+50∙0,1=7. Je zrejmé, že 7 rubľov je spravodlivá cena za tiket v tejto lotérii, bez rôznych nákladov, napríklad spojených s distribúciou alebo výrobou tiketov. ■

Príklad 6.3 . Nech náhodná premenná X je počet výskytov nejakej udalosti A v jednom teste. Pravdepodobnosť tejto udalosti je R. Nájsť M(X).

Riešenie. Je zrejmé, že možné hodnoty náhodnej premennej sú: X 1 = 0 – udalosť A sa neukázal a X 2 = 1 – udalosť A objavil. Distribučná séria vyzerá takto:

Potom M(X) = 0∙(1−R)+1∙R= R. ■

Takže matematické očakávanie počtu výskytov udalosti v jednom pokuse sa rovná pravdepodobnosti tejto udalosti.

Na začiatku odseku bol uvedený konkrétny problém, kde bola naznačená súvislosť medzi matematickým očakávaním a priemernou hodnotou náhodnej veličiny. Poďme si to vysvetliť všeobecne.

Nech sa vyrába k testy, v ktorých náhodná premenná X prijatý k 1 časová hodnota X 1 ; k 2-násobok hodnoty X 2 atď. a nakoniec k n krát hodnotu xn. To je zrejmé k 1 +k 2 +…+k n = k. Nájdime aritmetický priemer všetkých týchto hodnôt, ktoré máme

Všimnite si, že zlomok je relatívna frekvencia výskytu hodnoty x i V k testy. Pri veľkom počte testov sa relatívna frekvencia približne rovná pravdepodobnosti, t.j. . Z toho vyplýva

.

Matematické očakávanie sa teda približne rovná aritmetickému priemeru pozorovaných hodnôt náhodnej premennej a čím presnejšie, tým väčší je počet testov - to je pravdepodobnostný význam matematického očakávania.

Očakávaná hodnota je niekedy tzv stred rozdelenie náhodnej premennej, pretože je zrejmé, že možné hodnoty náhodnej premennej sa nachádzajú na číselnej osi vľavo a vpravo od jej matematického očakávania.

Prejdime teraz ku konceptu matematického očakávania pre spojitú náhodnú premennú.

Základné numerické charakteristiky diskrétnych a spojitých náhodných premenných: matematické očakávanie, rozptyl a smerodajná odchýlka. Ich vlastnosti a príklady.

Distribučný zákon (distribučná funkcia a distribučný rad alebo hustota pravdepodobnosti) úplne opisuje správanie náhodnej premennej. V mnohých problémoch však stačí poznať niektoré číselné charakteristiky skúmanej hodnoty (napríklad jej priemernú hodnotu a možná odchýlka od neho) odpovedať na položenú otázku. Uvažujme o hlavných numerických charakteristikách diskrétnych náhodných premenných.

Definícia 7.1.Matematické očakávanie Diskrétna náhodná premenná je súčet súčinov jej možných hodnôt a ich zodpovedajúcich pravdepodobností:

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p p p.(7.1)

Ak je počet možných hodnôt náhodnej premennej nekonečný, potom ak výsledná séria absolútne konverguje.

Poznámka 1. Matematické očakávanie sa niekedy nazýva Vážený priemer, pretože sa približne rovná aritmetickému priemeru pozorovaných hodnôt náhodnej premennej počas veľkého počtu experimentov.

Poznámka 2. Z definície matematického očakávania vyplýva, že jeho hodnota nie je menšia ako najmenšia možná hodnota náhodnej premennej a nie väčšia ako najväčšia.

Poznámka 3. Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je nenáhodné(konštantný. Neskôr uvidíme, že to isté platí pre spojité náhodné premenné.

Príklad 1. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej X- počet štandardných dielov spomedzi troch vybraných zo série 10 dielov vrátane 2 chybných. Vytvorme distribučnú sériu pre X. Z problémových podmienok vyplýva, že X môže nadobúdať hodnoty 1, 2, 3. Potom

Príklad 2. Určte matematické očakávanie náhodnej premennej X- počet hodov mincou pred prvým výskytom erbu. Toto množstvo môže nadobudnúť nekonečný počet hodnôt (množina možných hodnôt je množina prirodzených čísel). Jeho distribučná séria má tvar:

+ (pri výpočte bol dvakrát použitý vzorec pre súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti: , odkiaľ ).

Vlastnosti matematického očakávania.

1) Matematické očakávanie konštanty sa rovná samotnej konštante:

M(S) = S.(7.2)

Dôkaz. Ak uvažujeme S ako diskrétna náhodná premenná s iba jednou hodnotou S s pravdepodobnosťou R= 1 teda M(S) = S?1 = S.

2) Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka matematického očakávania:

M(CX) = CM(X). (7.3)

Dôkaz. Ak náhodná premenná X dané distribučnými sériami

Potom M(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p p = S(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = CM(X).

Definícia 7.2. Volajú sa dve náhodné premenné nezávislý, ak distribučný zákon jedného z nich nezávisí od toho, aké hodnoty nadobudol druhý. Inak náhodné premenné závislý.

Definícia 7.3. Zavolajme súčin nezávislých náhodných premenných X A Y náhodná premenná XY, ktorých možné hodnoty sa rovnajú súčinom všetkých možných hodnôt X pre všetky možné hodnoty Y a zodpovedajúce pravdepodobnosti sa rovnajú súčinom pravdepodobností faktorov.

3) Matematické očakávanie súčinu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní:

M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)

Dôkaz. Pre zjednodušenie výpočtov sa obmedzíme na prípad, kedy X A Y mať iba dve možné hodnoty:

teda M(XY) = X 1 r 1 ?p 1 g 1 + X 2 r 1 ?p 2 g 1 + X 1 r 2 ?p 1 g 2 + X 2 r 2 ?p 2 g 2 = r 1 g 1 (X 1 p 1 + X 2 p 2) + + r 2 g 2 (X 1 p 1 + X 2 p 2) = (r 1 g 1 + r 2 g 2) (X 1 p 1 + X 2 p 2) = M(X)?M(Y).

Poznámka 1. Túto vlastnosť môžete podobne dokázať pre väčší počet možných hodnôt faktorov.

Poznámka 2. Vlastnosť 3 platí pre súčin ľubovoľného počtu nezávislých náhodných premenných, čo je dokázané matematickou indukciou.

Definícia 7.4. Poďme definovať súčet náhodných premenných X A Y ako náhodná premenná X + Y, ktorých možné hodnoty sa rovnajú súčtom každej možnej hodnoty X so všetkými možnými hodnotami Y; pravdepodobnosti takýchto súčtov sa rovnajú súčinom pravdepodobností členov (pre závislé náhodné premenné - súčinom pravdepodobnosti jedného člena a podmienenej pravdepodobnosti druhého).

4) Matematické očakávanie súčtu dvoch náhodných premenných (závislých alebo nezávislých) sa rovná súčtu matematických očakávaní pojmov:

M (X + Y) = M (X) + M (Y). (7.5)

Dôkaz.

Uvažujme opäť náhodné premenné definované distribučným radom uvedeným v dôkaze vlastnosti 3. Potom možné hodnoty X + Y sú X 1 + pri 1 , X 1 + pri 2 , X 2 + pri 1 , X 2 + pri 2. Označme ich pravdepodobnosti resp R 11 , R 12 , R 21 a R 22. nájdeme M(X+Y) = (X 1 + r 1)p 11 + (X 1 + r 2)p 12 + (X 2 + r 1)p 21 + (X 2 + r 2)p 22 =

= X 1 (p 11 + p 12) + X 2 (p 21 + p 22) + r 1 (p 11 + p 21) + r 2 (p 12 + p 22).

Dokážme to R 11 + R 22 = R 1. Skutočne, udalosť, ktorá X + Y nadobudne hodnoty X 1 + pri 1 alebo X 1 + pri 2 a ktorej pravdepodobnosť je R 11 + R 22 sa zhoduje s udalosťou, ktorá X = X 1 (jeho pravdepodobnosť je R 1). Dokazuje sa podobným spôsobom, že p 21 + p 22 = R 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2. znamená,

M(X + Y) = X 1 p 1 + X 2 p 2 + r 1 g 1 + r 2 g 2 = M (X) + M (Y).

Komentujte. Z vlastnosti 4 vyplýva, že súčet ľubovoľného počtu náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní členov.

Príklad. Nájdite matematické očakávanie súčtu počtu bodov získaných pri hode piatimi kockami.

Nájdime matematické očakávanie počtu hodených bodov pri hode jednou kockou:

M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Rovnaké číslo sa rovná matematickému očakávanému počtu bodov hodených na ľubovoľnej kocke. Preto podľa majetku 4 M(X)=

Disperzia.

Aby sme mali predstavu o správaní náhodnej premennej, nestačí poznať iba jej matematické očakávania. Zvážte dve náhodné premenné: X A Y, špecifikované distribučnými sériami tlačiva

nájdeme M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Ako vidíte, matematické očakávania oboch veličín sú rovnaké, ale ak pre HM(X) dobre opisuje správanie náhodnej premennej, ktorá je jej najpravdepodobnejšou možnou hodnotou (a zvyšné hodnoty sa príliš nelíšia od 50), potom hodnoty Y výrazne odstránené z M(Y). Preto je spolu s matematickým očakávaním žiaduce vedieť, ako veľmi sa od nej líšia hodnoty náhodnej premennej. Na charakterizáciu tohto indikátora sa používa disperzia.

Definícia 7.5.Rozptyl (rozptyl) náhodnej premennej je matematické očakávanie druhej mocniny jej odchýlky od jej matematického očakávania:

D(X) = M (X-M(X))². (7,6)

Poďme nájsť rozptyl náhodnej premennej X(počet normalizovaných častí spomedzi vybraných) v príklade 1 tejto prednášky. Vypočítajme druhú mocninu každej možnej hodnoty od matematického očakávania:

(1 - 2,4)2 = 1,96; (2 - 2,4)2 = 0,16; (3 - 2,4)2 = 0,36. teda

Poznámka 1. Pri určovaní rozptylu sa nehodnotí odchýlka od samotného priemeru, ale jeho druhá mocnina. Deje sa tak tak, aby sa odchýlky rôznych znakov navzájom nezrušili.

Poznámka 2. Z definície disperzie vyplýva, že táto veličina nadobúda len nezáporné hodnoty.

Poznámka 3. Existuje vzorec na výpočet rozptylu, ktorý je vhodnejší pre výpočty, ktorého platnosť je dokázaná v nasledujúcej vete:

Veta 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Dôkaz.

Pomocou čoho M(X) je konštantná hodnota a vlastnosti matematického očakávania transformujeme vzorec (7.6) do tvaru:

D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), čo bolo potrebné dokázať.

Príklad. Vypočítajme rozptyly náhodných premenných X A Y diskutované na začiatku tejto časti. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(Y) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Takže rozptyl druhej náhodnej premennej je niekoľko tisíckrát väčší ako rozptyl prvej. Takže aj bez znalosti distribučných zákonov týchto veličín, na základe známych hodnôt rozptylu to môžeme konštatovať X sa len málo odchyľuje od svojho matematického očakávania, kým pre Y táto odchýlka je dosť významná.

Vlastnosti disperzie.

1) Rozptyl konštantnej hodnoty S rovná nule:

D (C) = 0. (7.8)

Dôkaz. D(C) = M((C-M(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.

2) Konštantný faktor možno zo znamienka disperzie odstrániť jeho umocnením:

D(CX) = C² D(X). (7.9)

Dôkaz. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =

= C² D(X).

3) Rozptyl súčtu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu ich rozptylov:

D(X + Y) = D(X) + D(Y). (7.10)

Dôkaz. D(X + Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +

+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).

Dôsledok 1. Rozptyl súčtu viacerých vzájomne nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu ich rozptylov.

Dôsledok 2. Rozptyl súčtu konštanty a náhodnej premennej sa rovná rozptylu náhodnej premennej.

4) Rozptyl rozdielu medzi dvoma nezávislými náhodnými premennými sa rovná súčtu ich rozptylov:

D(X-Y) = D(X) + D(Y). (7.11)

Dôkaz. D(X-Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).

Rozptyl udáva priemernú hodnotu štvorcovej odchýlky náhodnej premennej od priemeru; Na vyhodnotenie samotnej odchýlky sa používa hodnota nazývaná smerodajná odchýlka.

Definícia 7.6.Smerodajná odchýlkaσ náhodná veličina X sa nazýva druhá odmocnina rozptylu:

Príklad. V predchádzajúcom príklade štandardné odchýlky X A Y sú rovnaké resp

– počet chlapcov medzi 10 novorodencami.

Je úplne jasné, že toto číslo nie je vopred známe a ďalších desať narodených detí môže zahŕňať:

Alebo chlapci - jeden a len jeden z uvedených možností.

A aby ste sa udržali vo forme, trochu telesnej výchovy:

- vzdialenosť skoku do diaľky (v niektorých jednotkách).

To nevie predpovedať ani majster športu :)

Avšak, vaše hypotézy?

2) Spojitá náhodná premenná – akceptuje Všetkyčíselné hodnoty z nejakého konečného alebo nekonečného intervalu.

Poznámka : skratky DSV a NSV sú populárne v náučnej literatúre

Najprv analyzujme diskrétnu náhodnú premennú, potom - nepretržitý.

Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej

- Toto korešpondencia medzi možnými hodnotami tejto veličiny a ich pravdepodobnosťou. Zákon je najčastejšie napísaný v tabuľke:

Termín sa objavuje pomerne často riadok distribúcia, no v niektorých situáciách to vyznieva dvojzmyselne, a tak sa budem držať „zákona“.

A teraz Veľmi dôležitý bod : od náhodnej premennej Nevyhnutne prijme jedna z hodnôt, potom sa vytvoria zodpovedajúce udalosti celá skupina a súčet pravdepodobností ich výskytu sa rovná jednej:

alebo ak je napísané skrátene:

Napríklad zákon o rozdelení pravdepodobnosti bodov hodených na kocke má nasledujúcu podobu:

Bez komentára.

Môžete mať dojem, že diskrétna náhodná premenná môže nadobúdať iba „dobré“ celočíselné hodnoty. Poďme rozptýliť ilúziu - môžu to byť čokoľvek:

Príklad 1

Niektoré hry majú nasledujúci výherný distribučný zákon:

...o takýchto úlohách ste už asi dlho snívali :) Prezradím vám tajomstvo - ja tiež. Najmä po ukončení prác na teória poľa.

Riešenie: keďže náhodná premenná môže nadobudnúť iba jednu z troch hodnôt, tvoria sa zodpovedajúce udalosti celá skupina, čo znamená, že súčet ich pravdepodobností sa rovná jednej:

Odhalenie „partizána“:

– teda pravdepodobnosť výhry konvenčných jednotiek je 0,4.

Kontrola: to sme sa potrebovali uistiť.

Odpoveď:

Nie je nezvyčajné, keď si zákon o distribúcii potrebujete vypracovať sami. Na to používajú klasická definícia pravdepodobnosti, násobiace/sčítacie teorémy pre pravdepodobnosti udalostí a iné čipy tervera:

Príklad 2

Krabica obsahuje 50 lotériových lístkov, z ktorých 12 vyhráva a 2 z nich vyhrávajú po 1 000 rubľov a zvyšok - každý po 100 rubľov. Zostavte zákon o rozdelení náhodnej veličiny - veľkosti výhry, ak sa náhodne vyžrebuje jeden tiket zo schránky.

Riešenie: ako ste si všimli, hodnoty náhodnej premennej sú zvyčajne umiestnené v vo vzostupnom poradí. Preto začíname s najmenšími výhrami, a to rubľmi.

Takýchto lístkov je spolu 50 - 12 = 38 a podľa klasická definícia:
– pravdepodobnosť, že náhodne vyžrebovaný tiket prehrá.

V iných prípadoch je všetko jednoduché. Pravdepodobnosť výhry rubľov je:

Kontrola: – a to je obzvlášť príjemný moment takýchto úloh!

Odpoveď: požadovaný zákon rozdelenia výhier:

Nasledujúcu úlohu musíte vyriešiť sami:

Príklad 3

Pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ, je . Zostavte distribučný zákon pre náhodnú premennú - počet zásahov po 2 výstreloch.

...Vedel som, že ti chýba :) Poďme si zaspomínať vety o násobení a sčítaní. Riešenie a odpoveď sú na konci lekcie.

Distribučný zákon úplne popisuje náhodnú premennú, ale v praxi môže byť užitočné (a niekedy užitočnejšie) poznať len niektoré z nich číselné charakteristiky .

Očakávanie diskrétnej náhodnej premennej

Rozprávanie jednoduchým jazykom, Toto priemerná očakávaná hodnota keď sa testovanie mnohokrát opakuje. Nech náhodná premenná nadobúda hodnoty s pravdepodobnosťou resp. Potom sa matematické očakávanie tejto náhodnej premennej rovná súčet produktov všetky jeho hodnoty s príslušnými pravdepodobnosťami:

alebo zbalené:

Vypočítajme napríklad matematické očakávanie náhodnej premennej - počtu bodov hodených kockou:

Teraz si spomeňme na našu hypotetickú hru:

Vynára sa otázka: je výhodné hrať túto hru vôbec? ...kto ma nejake dojmy? Takže to nemôžete povedať „na rovinu“! Ale na túto otázku možno ľahko odpovedať výpočtom matematického očakávania, v podstate - Vážený priemer podľa pravdepodobnosti výhry:

Teda matematické očakávania tejto hry stratiť.

Neverte svojim dojmom – dôverujte číslam!

Áno, tu môžete vyhrať 10 alebo aj 20-30 krát za sebou, no z dlhodobého hľadiska nás čaká neodvratná skaza. A také hry by som ti neradil :) No možno len pre zábavu.

Zo všetkého uvedeného vyplýva, že matematické očakávanie už nie je NÁHODNÁ hodnota.

Kreatívna úloha pre nezávislý výskum:

Príklad 4

Pán X hrá európsku ruletu podľa nasledujúceho systému: neustále vsádza 100 rubľov na „červenú“. Zostavte zákon rozdelenia náhodnej premennej - jej výhry. Vypočítajte matematické očakávania výhier a zaokrúhlite ich na najbližší kopeck. Koľko priemer Prehráva hráč za každú vsadenú stovku?

Odkaz : Európska ruleta obsahuje 18 červených, 18 čiernych a 1 zelený sektor („nula“). Ak sa objaví „červená“, hráč dostane dvojnásobok stávky, inak ide do príjmu kasína

Existuje mnoho ďalších ruletových systémov, pre ktoré si môžete vytvoriť vlastné pravdepodobnostné tabuľky. Ale to je prípad, keď nepotrebujeme žiadne distribučné zákony alebo tabuľky, pretože bolo s istotou stanovené, že matematické očakávania hráča budú úplne rovnaké. Jediná vec, ktorá sa mení zo systému na systém, je