Teoria jocurilor este jucată de toată lumea. Teoria jocurilor matematice. Exemple de înregistrare și rezolvare a jocurilor din viață. Exemple de utilizare a instrumentelor matematice ale teoriei jocurilor

Teoria jocurilor matematice, care a apărut în anii patruzeci ai secolului al XX-lea, este cel mai des folosită în economie. Dar cum putem folosi conceptul de jocuri pentru a modela comportamentul oamenilor în societate? De ce studiază economiștii, în ce colț jucătorii de fotbal trage mai des penalități și cum să câștige la „Piatră, hârtie, foarfece”, a explicat profesorul superior la Departamentul HSE de analiză microeconomică Danil Fedorovykh în prelegerea sa.

John Nash și o blondă într-un bar

Un joc este orice situație în care profitul unui agent depinde nu numai de propriile sale acțiuni, ci și de comportamentul altor participanți. Dacă joci solitaire acasă, din punctul de vedere al unui economist și al teoriei jocurilor, acesta nu este un joc. Implică prezența obligatorie a unui conflict de interese.

În filmul „A Beautiful Mind” despre John Nash, laureat Nobelîn economie, există o scenă cu o blondă într-un bar. Arată ideea pentru care omul de știință a primit premiul - aceasta este ideea echilibrului Nash, pe care el însuși a numit-o dinamică de control.

Strategia este o descriere a acțiunilor jucătorului în toate situațiile posibile.

Rezultatul este o combinație de strategii alese.

Deci, din punct de vedere teoretic, jucătorii în această situație sunt doar bărbați, adică cei care iau decizia. Preferințele lor sunt simple: o blondă este mai bună decât o brunetă, iar o brunetă este mai bună decât nimic. Poți acționa în două moduri: mergi la o blondă sau la „ta” brunetă. Jocul constă dintr-o singură mișcare, deciziile sunt luate simultan (adică nu poți vedea unde au mers ceilalți și apoi te miști singur). Dacă vreo fată respinge un bărbat, jocul se termină: este imposibil să te întorci la ea sau să alegi altul.

Care este rezultatul probabil al acestei situații de joc? Adică care este configurația sa stabilă, din care toată lumea va înțelege ce a făcut cea mai buna alegere? În primul rând, așa cum subliniază în mod corect Nash, dacă toată lumea merge la blondă, nu se va termina bine. Prin urmare, omul de știință mai sugerează că toată lumea trebuie să meargă la brunete. Dar atunci, dacă se știe că toată lumea va merge la brunete, ar trebui să meargă la blondă, pentru că ea este mai bună.

Acesta este adevăratul echilibru - un deznodământ în care una merge la blondă, iar restul merge la brunete. Acest lucru poate părea nedrept. Dar, într-o situație de echilibru, nimeni nu poate regreta alegerea făcută: cei care merg la brunete înțeleg că oricum nu ar primi nimic de la o blondă. Astfel, un echilibru Nash este o configurație în care nimeni nu dorește în mod individual să schimbe strategia aleasă de toată lumea. Adică, reflectând la sfârșitul jocului, fiecare participant înțelege că, chiar dacă ar fi știut cum se descurcă alții, el ar fi făcut la fel. Un alt mod de a-l numi este un rezultat, în care fiecare participant răspunde în mod optim la acțiunile celorlalți.

„Foarfece de hârtie de piatră”

Să ne uităm la alte jocuri pentru echilibru. De exemplu, Rock, Paper, Scissors nu are un echilibru Nash: în toate rezultatele posibile, nu există nicio opțiune în care ambii participanți ar fi mulțumiți de alegerea lor. Cu toate acestea, există un Campionat Mondial și World Rock Paper Scissors Society, care colectează statistici de joc. Evident, îți poți îmbunătăți șansele de câștig dacă știi ceva despre comportamentul general al oamenilor din acest joc.

O strategie pură într-un joc este aceea în care o persoană joacă întotdeauna în același mod, alegând aceleași mișcări.

Potrivit World RPS Society, piatra este mișcarea cel mai frecvent aleasă (37,8%). 32,6% folosesc hârtie, 29,6% folosesc foarfece. Acum știi că trebuie să alegi hârtie. Totuși, dacă te joci cu cineva care știe și asta, nu mai trebuie să alegi hârtia, pentru că la fel se așteaptă de la tine. Există un caz celebru: în 2005, două case de licitații Sotheby’s și Christie’s au decis cine va primi un lot foarte mare - o colecție de Picasso și Van Gogh cu un preț de pornire de 20 de milioane de dolari. Proprietarul i-a invitat să joace „Piatră, hârtie, foarfece”, iar reprezentanții caselor i-au trimis opțiunile lor pentru e-mail. Sotheby's, după cum au spus mai târziu, a ales lucrarea fără să se gândească prea mult. A câștigat la Christie's. Când au luat o decizie, au apelat la un expert - fiica de 11 ani a unuia dintre managerii de top. Ea a spus: „Piatra pare a fi cea mai puternică, motiv pentru care majoritatea oamenilor o aleg. Dar dacă nu ne jucăm cu un începător complet prost, el nu va arunca piatra, se va aștepta să o facem și el însuși va arunca hârtia. Dar ne vom gândi cu un pas înainte și vom arunca foarfecele.”

Astfel, poți să gândești în viitor, dar asta nu te va duce neapărat către victorie, pentru că s-ar putea să nu fii conștient de competența adversarului tău. Prin urmare, uneori, în loc de strategii pure, este mai corect să le alegeți pe cele mixte, adică să luați decizii aleatoriu. Astfel, în „Piatră, hârtie, foarfece”, echilibrul pe care nu l-am găsit până acum este tocmai în strategii mixte: alegerea fiecăreia dintre cele trei opțiuni de mișcare cu o treime probabilitate. Dacă alegi o piatră mai des, adversarul tău își va ajusta alegerea. Știind acest lucru, îl vei ajusta pe al tău și echilibrul nu va fi atins. Dar niciunul dintre voi nu va începe să-și schimbe comportamentul dacă toată lumea alege pur și simplu piatră, foarfece sau hârtie cu aceeași probabilitate. Acest lucru se datorează faptului că în strategiile mixte este imposibil să preziceți următoarea mișcare pe baza acțiunilor anterioare.

Strategie mixtă și sport

Există multe exemple mai serioase de strategii mixte. De exemplu, unde să servească în tenis sau să ia/luați un penalty în fotbal. Dacă nu știi nimic despre adversarul tău sau doar joci împotriva altora tot timpul, cea mai bună strategie este să faci lucrurile mai mult sau mai puțin aleatoriu. Profesorul de la London School of Economics, Ignacio Palacios-Huerta, a publicat o lucrare în American Economic Review în 2003, a cărei esență a fost găsirea echilibrului Nash în strategii mixte. Palacios-Huerta a ales fotbalul ca subiect al cercetării sale și, prin urmare, a analizat peste 1.400 de lovituri de departajare. Desigur, în sport totul este aranjat mai viclean decât în ​​„Piatră, hârtie, foarfece”: ia în considerare piciorul puternic al sportivului, lovind unghiuri diferite atunci când lovește cu forță maximă și altele asemenea. Echilibrul Nash aici constă în calcularea opțiunilor, adică, de exemplu, determinarea colțurilor poartă în care să tragi pentru a câștiga cu o probabilitate mai mare, cunoscându-ți punctele slabe și punctele forte. Statisticile pentru fiecare jucător de fotbal și echilibrul găsit în acestea în strategii mixte au arătat că jucătorii de fotbal acționează aproximativ așa cum prevăd economiștii. Nu merită să spunem că oamenii care iau penalizări au citit manuale despre teoria jocurilor și au făcut niște matematici destul de complicate. Cel mai probabil există căi diferiteînvață să te comporți optim: poți fi un fotbalist genial și poți simți ce trebuie să faci, sau poți fi economist și cauți echilibrul în strategii mixte.

În 2008, profesorul Ignacio Palacios-Huerta l-a întâlnit pe Abraham Grant, antrenorul lui Chelsea care juca atunci finala Ligii Campionilor de la Moscova. Omul de știință i-a scris antrenorului o notă cu recomandări pentru o lovituri de departajare care privea comportamentul portarului advers, Edwin van der Sar de la Manchester United. De exemplu, conform statisticilor, aproape întotdeauna a salvat loviturile la un nivel mediu și mai des s-a aruncat în direcția firească pentru a executa un penalty. După cum am stabilit mai sus, este încă mai corect să-ți randomizezi comportamentul ținând cont de cunoștințele despre adversarul tău. Când scorul de pedeapsă era deja 6:5, Nicolas Anelka, atacantul Chelsea, ar fi trebuit să marcheze. Arătând spre colțul din dreapta înainte de șut, van der Sar părea să-l întrebe pe Anelka dacă are de gând să tragă acolo.

Ideea este că toate loviturile anterioare ale lui Chelsea au fost îndreptate spre colțul drept al atacantului. Nu știm exact de ce, poate din cauza sfatului unui economist, să lovească într-o direcție care nu este firească pentru ei, pentru că, conform statisticilor, van der Sar este mai puțin pregătit pentru asta. Majoritatea jucătorilor lui Chelsea au fost dreptaci: lovind colțul drept nefiresc, toți, cu excepția Terry, au marcat. Se pare că strategia era ca Anelka să tragă acolo. Dar van der Sar părea să înțeleagă asta. S-a comportat genial: a arătat colțul din stânga și a spus: „Ai de gând să tragi acolo?”, ceea ce probabil a îngrozit-o pe Anelka, pentru că l-au ghicit. În ultimul moment, a decis să acţioneze altfel, lovind în direcţia lui firească, de care avea nevoie van der Sar, care a luat această lovitură şi a asigurat victoria lui Manchester. Această situație învață alegerea aleatorie, deoarece altfel decizia ta poate fi calculată și vei pierde.

"Dilema prizonierului"

Probabil cel mai faimos joc care începe cursuri universitare de teoria jocurilor este Dilema prizonierului. Potrivit legendei, doi suspecți pentru o infracțiune gravă au fost prinși și închiși în celule separate. Există dovezi că au păstrat arme, iar acest lucru le permite să fie întemnițați pentru o perioadă scurtă de timp. Cu toate acestea, nu există nicio dovadă că au comis această crimă teribilă. Investigatorul spune fiecărui individ despre condițiile jocului. Dacă ambii criminali mărturisesc, ambii vor merge la închisoare pentru trei ani. Dacă unul mărturisește și complicele tăce, cel care a mărturisit va fi eliberat imediat, iar celălalt va fi închis pe cinci ani. Dacă, dimpotrivă, primul nu se spovedește, iar al doilea îl predă, primul va merge la închisoare pentru cinci ani, iar al doilea va fi eliberat imediat. Dacă nimeni nu mărturisește, ambii vor executa un an de închisoare pentru deținere de arme.

Echilibrul Nash aici constă în prima combinație, când ambii suspecți nu tac și ambii merg la închisoare pentru trei ani. Raționamentul fiecăruia este următorul: „dacă vorbesc, voi merge la închisoare trei ani, dacă voi tace, voi merge la închisoare cinci ani. Dacă cel de-al doilea tăce, e mai bine să o spun și eu: e mai bine să nu mergi la pușcărie decât să merg la închisoare un an.” Aceasta este strategia dominantă: vorbirea este avantajoasă, indiferent ce face celălalt. Cu toate acestea, există o problemă cu ea - există o opțiune mai bună, deoarece a fi închis timp de trei ani este mai rău decât a fi închis timp de un an (dacă luați în considerare povestea doar din punctul de vedere al participanților și nu țineți cont probleme morale). Dar este imposibil să stai un an de zile, pentru că, după cum am înțeles mai sus, este inutil ca ambii criminali să tacă.

Îmbunătățirea Pareto

Există o metaforă celebră despre mâna invizibilă a pieței, care îi aparține lui Adam Smith. El a spus că dacă un măcelar încearcă să câștige bani pentru el însuși, va fi mai bine pentru toată lumea: va face carne gustoasă, pe care brutarul o va cumpăra cu bani din vânzarea chiflelor, pe care, la rândul său, va trebui să o facă și el. gustoase ca să vândă . Dar se dovedește că această mână invizibilă nu funcționează întotdeauna și există o mulțime de situații în care fiecare acționează pentru ei înșiși și toată lumea se simte rău.

Prin urmare, uneori, economiștii și teoreticienii jocului nu se gândesc la comportamentul optim al fiecărui jucător, adică nu la echilibrul Nash, ci la rezultatul în care întreaga societate va fi mai bine (în The Dilemma, societatea este formată din doi criminali). . Din acest punct de vedere, un rezultat este eficient atunci când nu există o îmbunătățire Pareto în el, adică este imposibil să îmbunătățești pe cineva fără a-i face pe alții mai rău. Dacă oamenii fac pur și simplu schimb de bunuri și servicii, aceasta este o îmbunătățire Pareto: o fac în mod voluntar și este puțin probabil ca cineva să se simtă rău din cauza asta. Dar uneori, dacă lași oamenii să interacționeze și nici măcar să nu intervină, ceea ce vin cu ei nu va fi optim Pareto. Asta se întâmplă în Dilema prizonierului. În ea, dacă îi lăsăm pe toți să acționeze în modul care este benefic pentru ei, se dovedește că acest lucru îi face pe toți să se simtă rău. Ar fi mai bine pentru toată lumea dacă toată lumea ar acționa mai puțin decât optim pentru sine, adică ar rămâne tăcută.

Tragedia Comunelor

Dilema prizonierului este o poveste de jucărie. Probabil că nu te aștepți să fii înăuntru situație similară, dar efecte similare există peste tot în jurul nostru. Luați în considerare o dilemă cu mulți jucători, numită uneori tragedia comunului. De exemplu, sunt ambuteiaje pe drumuri, iar eu decid cum să merg la serviciu: cu mașina sau cu autobuzul. Restul fac la fel. Dacă merg cu mașina și toți se hotărăsc să facă la fel, va fi blocaj, dar vom ajunge confortabil. Dacă merg cu autobuzul, va fi încă un blocaj de trafic, dar călătoria va fi incomodă și nu deosebit de rapidă, așa că acest rezultat va fi și mai rău. Dacă, în medie, toți iau autobuzul, atunci dacă fac la fel, voi ajunge destul de repede fără blocaj. Dar dacă merg cu mașina în astfel de condiții, voi ajunge și repede, dar și confortabil. Deci, prezența unui blocaj de trafic nu depinde de acțiunile mele. Echilibrul Nash aici este într-o situație în care toată lumea alege să conducă. Indiferent ce fac alții, este mai bine pentru mine să aleg o mașină, pentru că nu se știe dacă va fi blocaj sau nu, dar în orice caz voi ajunge confortabil acolo. Aceasta este strategia dominantă, așa că până la urmă toată lumea conduce o mașină și avem ceea ce avem. Sarcina statului este de a face călătorii cu autobuzul cea mai bună opțiune cel puțin pentru unii, motiv pentru care apar intrări plătite în centru, parcări etc.

O altă poveste clasică este ignoranța rațională a alegătorului. Imaginați-vă că nu știți în avans rezultatul alegerilor. Puteți studia programele tuturor candidaților, puteți asculta dezbaterile și apoi îl puteți vota pe cel mai bun. A doua strategie este să vii la secția de votare și să votezi la întâmplare sau pentru cel care a fost afișat mai des la televizor. Care este comportamentul optim dacă votul meu nu determină niciodată cine câștigă (și într-o țară de 140 de milioane de oameni, un singur vot nu va decide niciodată nimic)? Desigur, vreau ca țara să aibă un președinte bun, dar știu că nimeni nu va mai studia cu atenție programele candidaților. Prin urmare, a nu pierde timpul cu aceasta este strategia comportamentală dominantă.

Când ești chemat să vii la o zi de curățenie, nu va depinde de nimeni în mod individual dacă curtea va fi curată sau nu: dacă ies singur, nu voi putea curăța totul, sau dacă toată lumea iese. , atunci nu voi ieși, pentru că totul se va face fără mine. Un alt exemplu este transportul de mărfuri în China, despre care am aflat în minunata carte a lui Stephen Landsburg, The Economist on the Couch. În urmă cu 100-150 de ani, în China, exista un mod comun de a transporta mărfuri: totul era pliat într-un corp mare, care era tras de șapte persoane. Clienții au plătit dacă mărfurile au fost livrate la timp. Imaginează-ți că ești unul dintre acești șase. Puteți depune efort și trage cât de tare puteți, iar dacă toată lumea face asta, sarcina va ajunge la timp. Dacă o persoană nu face acest lucru, toată lumea va ajunge și la timp. Toată lumea se gândește: „Dacă toți ceilalți trage corect, de ce ar trebui să o fac și dacă toți ceilalți nu trag cât de tare pot, atunci nu voi putea schimba nimic”. Drept urmare, totul a fost foarte rău cu timpul de livrare, iar încărcătorul înșiși au găsit o cale de ieșire: au început să-l angajeze pe al șaptelea și să-i plătească bani pentru a-i biciui pe leneși cu biciul. Însăși prezența unei astfel de persoane i-a forțat pe toți să muncească cât au putut, pentru că altfel toată lumea ar cădea într-un echilibru prost din care nimeni nu ar putea scăpa profitabil.

Același exemplu poate fi observat în natură. Un copac care crește într-o grădină diferă de unul care crește într-o pădure în coroana sa. În primul caz, înconjoară întregul trunchi, în al doilea, este situat doar în partea de sus. În pădure, acesta este un echilibru Nash. Dacă toți copacii ar fi de acord și ar crește la fel, ar distribui numărul de fotoni în mod egal și toată lumea ar fi mai bine. Dar nu este profitabil pentru nimeni să facă asta. Prin urmare, fiecare copac vrea să crească puțin mai sus decât cei din jur.

Dispozitiv de angajament

În multe situații, unul dintre participanții la joc poate avea nevoie de un instrument care să-i convingă pe alții că nu blufează. Se numește dispozitiv de angajament. De exemplu, legea din unele țări interzice plata răscumpărării către răpitori pentru a reduce motivația infractorilor. Cu toate acestea, această legislație adesea nu funcționează. Dacă ruda ta este capturată și ai ocazia să-l salvezi eludând legea, o vei face. Să ne imaginăm o situație în care legea poate fi ocolită, dar rudele sunt sărace și nu au ce să plătească răscumpărarea. Infractorul are două opțiuni în această situație: eliberarea sau uciderea victimei. Nu-i place să omoare, dar nu-i mai place închisoarea. Victima eliberată, la rândul său, poate fie să depună mărturie pentru ca răpitorul să fie pedepsit, fie să tacă. Cel mai bun rezultat pentru criminal este să lase victima să plece dacă nu o predă. Victima vrea să fie eliberată și să depună mărturie.

Echilibrul aici este că teroristul nu vrea să fie prins, ceea ce înseamnă că victima moare. Dar acesta nu este un echilibru Pareto, pentru că există o opțiune în care toată lumea este mai bine - victima în libertate rămâne tăcută. Dar pentru aceasta este necesar să te asiguri că este benefic pentru ea să tacă. Undeva am citit o opțiune în care poate cere unui terorist să organizeze o ședință foto erotică. Dacă criminalul este închis, complicii săi vor posta fotografii pe internet. Acum, dacă răpitorul rămâne liber, acest lucru este rău, dar fotografiile din domeniul public sunt și mai rele, așa că există un echilibru. Pentru victimă, aceasta este o modalitate de a rămâne în viață.

Alte exemple de jocuri:

modelul Bertrand

Întrucât vorbim de economie, să ne uităm la un exemplu economic. În modelul Bertrand, două magazine vând același produs, cumpărându-l de la producător la același preț. Dacă prețurile în magazine sunt aceleași, atunci profiturile lor sunt aproximativ aceleași, deoarece atunci cumpărătorii aleg un magazin la întâmplare. Singurul echilibru Nash aici este vânzarea produsului la cost. Dar magazinele vor să facă bani. Prin urmare, dacă se stabilește prețul la 10 ruble, al doilea îl va reduce cu un ban, dublându-și astfel veniturile, deoarece toți cumpărătorii vor merge la el. Prin urmare, este benefic pentru participanții de pe piață să reducă prețurile, distribuind astfel profiturile între ei.

Conducerea pe un drum îngust

Să ne uităm la exemple de alegere între două echilibre posibile. Imaginează-ți că Petya și Masha conduc unul spre celălalt pe un drum îngust. Drumul este atât de îngust încât amândoi trebuie să oprească pe marginea drumului. Dacă decid să se întoarcă la stânga sau la dreapta, pur și simplu se vor depărta. Dacă unul face dreapta, iar celălalt la stânga, sau invers, va avea loc un accident. Cum să alegi unde să te muți? Pentru a ajuta la găsirea echilibrului în astfel de jocuri, există, de exemplu, reguli trafic. În Rusia, toată lumea trebuie să facă dreapta.

În jocul Chicken, când doi oameni conduc cu viteză mare unul spre celălalt, există și două echilibre. Dacă amândoi se opresc pe marginea drumului, apare o situație numită Chicken out, dacă amândoi nu se opresc, mor într-un accident teribil. Dacă știu că adversarul meu merge direct, este avantajos pentru mine să mă deplasez pentru a supraviețui. Dacă știu că adversarul meu va pleca, atunci este profitabil pentru mine să merg direct, ca să pot obține 100 de dolari mai târziu. Este dificil de prezis ce se va întâmpla cu adevărat, totuși, fiecare jucător are propria sa metodă de câștig. Imaginează-ți că am fixat volanul astfel încât să nu poată fi rotit și i-am arătat asta adversarului meu. Știind că nu am de ales, adversarul va sări departe.

efect QWERTY

Uneori poate fi foarte dificil să treci de la un echilibru la altul, chiar dacă înseamnă beneficii pentru toată lumea. Aspectul QWERTY a fost conceput pentru a încetini viteza de tastare. Pentru că dacă toată lumea tasta prea repede, capetele mașinii de scris care loveau hârtia s-ar prinde unul de celălalt. Prin urmare, Christopher Scholes a plasat litere care erau adesea adiacente una cu cealaltă, la cea mai îndepărtată distanță posibilă. Dacă accesați setările tastaturii de pe computer, puteți selecta aspectul Dvorak acolo și puteți tasta mult mai repede, deoarece acum nu există nicio problemă cu mașinile de tastat analogice. Dvorak se aștepta ca lumea să treacă la tastatura sa, dar încă trăim cu QWERTY. Desigur, dacă am trece la aspectul Dvorak, generațiile viitoare ne-ar fi recunoscători. Cu toții am depune efort și am reînvăța, iar rezultatul ar fi un echilibru în care toată lumea scrie rapid. Acum suntem și noi în echilibru - într-un mod prost. Dar nu este benefic pentru nimeni să fie singurul care se recalifică, pentru că va fi incomod să lucrezi pe orice alt computer decât unul personal.

De la popularul blog american Cracked.

Teoria jocurilor se referă la studiul modalităților de a face cea mai bună mișcare și, ca rezultat, de a obține cât mai mult posibil din plăcinta câștigătoare, tăind o parte din ea de la alți jucători. Te învață să analizezi mulți factori și să tragi concluzii echilibrate logic. Cred că ar trebui studiat după numere și înainte de alfabet. Pur și simplu pentru că prea mulți oameni iau decizii importante bazate pe intuiție, profeții secrete, locația stelelor și altele asemenea. Am studiat temeinic teoria jocurilor și acum vreau să vă spun despre elementele de bază ale acesteia. Poate că acest lucru va adăuga ceva bun simț în viața ta.

1. Dilema prizonierului

Berto și Robert au fost arestați pentru jaf de bancă după ce nu au folosit în mod corespunzător o mașină furată pentru a scăpa. Polițiștii nu pot dovedi că ei au fost cei care au jefuit banca, dar i-au prins în flagrant într-o mașină furată. Au fost despărțiți de camere diferiteși fiecăruia i s-a oferit o înțelegere: să predea un complice și să-l trimită la închisoare pentru 10 ani și să fie eliberat el însuși. Dar dacă amândoi se trădează unul pe celălalt, atunci fiecare va primi 7 ani. Dacă nimeni nu spune nimic, atunci amândoi vor merge la închisoare pentru 2 ani doar pentru furt de mașină.

Fiecare prizonier este un jucător, iar beneficiul fiecăruia poate fi exprimat ca o „formulă” (ce primesc amândoi, ce primește celălalt). De exemplu, dacă te lovesc, modelul meu de câștig ar arăta așa (obțin un câștig dur, suferi multă durere). Deoarece fiecare deținut are două opțiuni, putem prezenta rezultatele într-un tabel.

Aplicație practică: Identificarea sociopaților

Aici vedem aplicația principală a teoriei jocurilor: identificarea sociopaților care se gândesc doar la ei înșiși. Teoria jocurilor adevărate este un instrument analitic puternic, iar amatorismul servește adesea drept un steag roșu care semnalează pe cineva care nu are simțul onoarei. Oamenii care fac calcule intuitive cred că este mai bine să faci ceva urât pentru că va avea ca rezultat o pedeapsă mai scurtă cu închisoarea indiferent de ceea ce face celălalt jucător. Din punct de vedere tehnic, acest lucru este corect, dar numai dacă ești o persoană miop care prețuiește numerele în detrimentul vieților umane. Acesta este motivul pentru care teoria jocurilor este atât de populară în finanțe.

Adevărata problemă cu dilema prizonierului este că ignoră datele. De exemplu, nu ia în considerare posibilitatea de a vă întâlni cu prietenii, rudele sau chiar creditorii persoanei pe care ați trimis-o la închisoare timp de 10 ani.

Partea cea mai gravă este că toți cei implicați în dilema prizonierului se comportă de parcă nu ar fi auzit niciodată de ea.

Și cea mai bună mișcare este să taci, și după doi ani, împreună cu prieten bun folosește bani obișnuiți.

2. Strategia dominantă

Aceasta este o situație în care acțiunile tale dau cel mai mare profit, indiferent de acțiunile adversarului tău. Indiferent ce s-ar întâmpla, ai făcut totul bine. Acesta este motivul pentru care mulți oameni cu Dilema Prizonierului cred că trădarea duce la cel mai bun rezultat, indiferent de ceea ce face cealaltă persoană, iar ignoranța realității inerentă acestei metode face ca aceasta să pară super ușoară.

Majoritatea jocurilor pe care le jucăm nu au strategii strict dominante, pentru că altfel ar fi groaznice. Imaginează-ți dacă ai face mereu același lucru. Nu există o strategie dominantă în jocul piatră-hârtie-foarfecă. Dar dacă te-ai juca cu o persoană care avea mănuși de cuptor și ar putea arăta doar piatră sau hârtie, ai avea o strategie dominantă: hârtie. Hârtia ta va înfășura piatra lui sau va duce la o remiză și nu poți pierde pentru că adversarul tău nu poate arăta foarfecele. Acum că ai o strategie dominantă, ai fi prost să încerci ceva diferit.

3. Bătălia sexelor

Jocurile sunt mai interesante atunci când nu au o strategie strict dominantă. De exemplu, bătălia sexelor. Anjali și Borislav merg la o întâlnire, dar nu pot alege între balet și box. Anjali iubește boxul pentru că îi place să vadă sângele curgând spre încântarea unei mulțimi de spectatori care țipă, care se cred civilizați doar pentru că au plătit pentru ca capul cuiva să fie zdrobit.

Borislav vrea să se uite la balet pentru că înțelege că balerinii trec printr-un număr mare de accidentări și antrenamente dificile, știind că o singură accidentare poate pune capăt tuturor. Dansatori de balet - cei mai mari sportivi pe pământ. O balerină te poate da cu piciorul în cap, dar nu o va face niciodată, pentru că piciorul ei valorează mult mai mult decât fața ta.

Fiecare dintre ei își dorește să meargă la evenimentul preferat, dar nu vrea să se bucure de el singur, așa că iată cum câștigă: cea mai mare valoare- fac ce le place, cea mai mică valoare este doar să fii cu o altă persoană și zero - să fii singur.

Unii oameni sugerează o îndârjire încăpățânată: dacă faci ceea ce vrei, indiferent de ce, cealaltă persoană trebuie să se conformeze alegerii tale sau să piardă totul. După cum am spus deja, teoria jocurilor simplificată este grozavă la identificarea proștilor.

Aplicație practică: Evitați colțurile ascuțite

Desigur, această strategie are și dezavantajele ei semnificative. În primul rând, dacă îți tratezi întâlnirile ca pe o „bătălie a sexelor”, nu va funcționa. Despărțiți-vă pentru ca fiecare dintre voi să găsească pe cineva care îi place. Și a doua problemă este că, în această situație, participanții sunt atât de nesiguri pe ei înșiși încât nu pot face acest lucru.

Strategia cu adevărat câștigătoare pentru fiecare este să facă ceea ce vrea. iar după, sau a doua zi, când sunt liberi, mergeți împreună la o cafenea. Sau alternează între box și balet până când apare o revoluție în lumea divertismentului și se inventează baletul de box.

4. Echilibru Nash

Un echilibru Nash este un set de mișcări în care nimeni nu vrea să facă ceva diferit după fapt.Și dacă o putem face să funcționeze, teoria jocurilor va înlocui întregul sistem filozofic, religios și financiar de pe planetă, pentru că „dorința de a nu se frânge” a devenit o forță motrice mai puternică pentru umanitate decât focul.

Să împărțim rapid 100 USD. Tu și cu mine decidem câte dintre sutele ne solicităm și în același timp anunțăm sumele. Dacă totalul nostru este mai mic de o sută, fiecare primește ceea ce și-a dorit. Dacă totalul este mai mare de o sută, cel care a cerut cea mai mică sumă primește suma pe care și-a dorit-o, iar cel mai lacom primește ce a mai rămas. Dacă cerem aceeași sumă, toată lumea primește 50 de dolari. Cât vei cere? Cum vei împărți banii? Există o singură mișcare câștigătoare.

Solicitarea de 51 USD vă va oferi suma maximă, indiferent de ce alege adversarul dvs. Dacă va cere mai mult, veți primi 51 USD. Dacă el cere 50 sau 51 USD, vei primi 50 USD. Și dacă el cere mai puțin de 50 de dolari, vei primi 51 de dolari. Oricum, nu există altă opțiune care să vă facă mai mulți bani decât aceasta. Echilibrul Nash - o situație în care amândoi alegem 51 USD.

Aplicație practică: Gândește mai întâi

Acesta este scopul teoriei jocurilor. Nu trebuie să câștigi, cu atât mai puțin să faci rău altor jucători, dar trebuie să faci cea mai bună mișcare pentru tine, indiferent de ceea ce îți rezervă cei din jur. Și este și mai bine dacă această mișcare este benefică pentru alți jucători. Acesta este genul de matematică care ar putea schimba societatea.

O variație interesantă a acestei idei este băutul, care poate fi numit un echilibru Nash dependent de timp. Când bei suficient, nu îți pasă de acțiunile altora, indiferent de ceea ce fac ei, dar a doua zi chiar regreti că nu ai făcut ceva diferit.

5. Joc de aruncare

Tragerea la sorți se joacă între Jucătorul 1 și Jucătorul 2. Fiecare jucător alege simultan capete sau cozi. Dacă ghicesc corect, jucătorul 1 primește banul jucătorului 2. Dacă nu, jucătorul 2 primește moneda jucătorului 1.

Matricea câștigătoare este simplă...

...strategie optimă: jucați complet la întâmplare. Este mai greu decât crezi pentru că alegerea trebuie să fie complet aleatorie. Dacă ai o preferință de cap sau cozi, adversarul tău o poate folosi pentru a-ți lua banii.

Cu siguranță, problema reala Ideea aici este că ar fi mult mai bine dacă s-ar arunca doar un ban unul în celălalt. Drept urmare, profiturile lor ar fi aceleași, iar trauma rezultată ar putea ajuta acești oameni nefericiți să simtă altceva decât o plictiseală teribilă. La urma urmei, acesta este cel mai prost joc vreodată. Și acesta este modelul ideal pentru loviturile de departajare.

Aplicație practică: penalizare

În fotbal, hochei și multe alte jocuri, prelungirile sunt lovituri de departajare. Și ar fi mai interesante dacă s-ar baza pe de câte ori jucătorii în formă completă ar putea face roata căruței, pentru că asta ar fi cel puțin un indicator al abilității lor fizice și ar fi distractiv de urmărit. Portarii nu pot determina clar mișcarea unei mingi sau a pucului chiar la începutul mișcării sale, deoarece, din păcate, roboții încă nu participă la competițiile noastre sportive. Portarul trebuie să aleagă direcția din stânga sau din dreapta și să spere că alegerea sa se potrivește cu alegerea adversarului care șutează la poartă. Acest lucru are ceva în comun cu jocul cu monede.

Cu toate acestea, rețineți că acesta nu este un exemplu perfect al asemănării cu jocul capetelor și cozilor, deoarece chiar dacă făcând alegerea corectă direcție, portarul nu poate prinde mingea, iar atacantul nu poate lovi poarta.

Deci, care este concluzia noastră conform teoriei jocurilor? Jocurile cu mingea ar trebui să se încheie într-o manieră „multi-bile”, în care în fiecare minut jucătorilor unu-la-unu li se oferă o minge/puc suplimentar până când o parte atinge un anumit rezultat, care este un indiciu al adevăratei aptitudini ale jucătorilor și nu o coincidență spectaculoasă întâmplătoare.

La sfârșitul zilei, teoria jocurilor ar trebui să fie folosită pentru a face jocul mai inteligent. Ceea ce înseamnă că e mai bine.

Ce sunt radicalii liberi?

De ce, dacă amesteci toate culorile, obții maro și nu alb, pentru că albul conține toate culorile?

7 fapte neașteptate despre lumea din jurul nostru

O lume minunata

10 fapte uimitoare despre gândirea câinilor

Și cibernetică, mai ales cu interes pentru agenți inteligenți.

Poveste

Soluțiile sau strategiile optime în modelarea matematică au fost propuse încă din secolul al XVIII-lea. Problemele de producție și prețuri în condiții de oligopol, care mai târziu au devenit exemple manuale de teoria jocurilor, au fost luate în considerare în secolul al XIX-lea. A. Cournot și J. Bertrand. La începutul secolului al XX-lea. Emanuel Lasker, Ernst Zermelo și Emil Borel au prezentat ideea unei teorii matematice a conflictului de interese.

Teoria jocurilor matematice provine din economia neoclasică. Aspectele matematice și aplicațiile teoriei au fost descrise pentru prima dată în cartea clasică din 1944 a lui John von Neumann și Oscar Morgenstern, Teoria jocurilor și comportamentul economic. Teoria jocurilor și comportamentul economic).

Această zonă a matematicii și-a găsit o oarecare reflectare în cultura publică. În 1998, scriitoarea și jurnalista americană Sylvia Nazar a publicat o carte despre soarta lui John Nash, laureat al Premiului Nobel pentru economie și om de știință în domeniul teoriei jocurilor; iar filmul „Mind Games” a fost realizat pe baza cărții. Unele emisiuni de televiziune americane, cum ar fi Friend or Foe, Alias ​​sau NUMB3RS, se referă periodic la teorie în episoadele lor.

Teoria jocurilor matematice se dezvoltă acum rapid, iar jocurile dinamice sunt luate în considerare. Cu toate acestea, aparatul matematic al teoriei jocurilor este scump. Este folosit pentru sarcini justificate: politică, economia monopolurilor și distribuția puterii de piață etc. O serie de oameni de știință celebri au devenit laureați ai Nobel în economie pentru contribuția lor la dezvoltarea teoriei jocurilor, care descrie procesele socio-economice. J. Nash, datorită cercetărilor sale în teoria jocurilor, a devenit unul dintre experții de top în domeniul Războiului Rece, ceea ce confirmă amploarea problemelor cu care se confruntă teoria jocurilor.

Prezentarea jocului

Jocurile sunt obiecte matematice strict definite. Jocul este format din jucători, un set de strategii pentru fiecare jucător și indicarea câștigurilor, sau plăți, jucători pentru fiecare combinație de strategii. Majoritate jocuri cooperative sunt descrise printr-o funcție caracteristică, în timp ce pentru alte specii este mai des folosită forma normală sau extensivă. Trăsăturile caracteristice ale jocului ca model matematic al situației:

1. prezența mai multor participanți;
2. incertitudinea în comportamentul participanților asociată cu prezența mai multor opțiuni pentru fiecare dintre ei;
3. diferența (discrepanța) intereselor participanților;
4. interconexiunea comportamentului participanților, deoarece rezultatul obținut de fiecare dintre ei depinde de comportamentul tuturor participanților;
5. prezența unor reguli de conduită cunoscute de toți participanții.

Formă extinsă

Articolul principal: Forma extinsă a jocului

Jocurile în formă extinsă sau extinsă sunt reprezentate ca un arbore direcționat, unde fiecare vârf corespunde situației în care jucătorul își alege strategia. Fiecărui jucător i se atribuie un întreg nivel de vârfuri. Plățile sunt înregistrate în partea de jos a arborelui, sub fiecare vârful frunzei.

Imaginea din stânga este un joc pentru doi jucători. Jucătorul 1 merge primul și alege strategia F sau U. Jucătorul 2 își analizează poziția și decide dacă alege strategia A sau R. Cel mai probabil, primul jucător va alege U, iar al doilea - A (pentru fiecare dintre ei aceasta strategii optime); atunci vor primi 8, respectiv 2 puncte.

Forma extinsă este foarte vizuală și este utilă în special pentru reprezentarea jocurilor cu mai mult de doi jucători și a jocurilor cu mișcări secvențiale. Dacă participanții fac mișcări simultane, atunci vârfurile corespunzătoare sunt fie conectate printr-o linie punctată, fie conturate cu o linie continuă.

Forma normală

În formă normală sau strategică, jocul este descris matricea de plată. Fiecare parte (mai precis, dimensiune) a matricei este un jucător, rândurile determină strategiile primului jucător, iar coloanele determină strategiile celui de-al doilea. La intersecția celor două strategii, puteți vedea câștigurile pe care le vor primi jucătorii. În exemplul din dreapta, dacă jucătorul 1 alege prima strategie, iar jucătorul 2 alege a doua strategie, atunci la intersecție vedem (−1, −1), ceea ce înseamnă că, în urma mutării, ambii jucători au pierdut un punct.

Jucătorii au ales pentru ei înșiși strategii cu rezultatul maxim, dar au pierdut din cauza necunoașterii mișcării celuilalt jucător. În mod normal, jocurile sunt reprezentate în formă normală în care se fac mișcările simultan, sau cel puțin se presupune că toți jucătorii nu știu ce fac alți participanți. Asemenea jocuri cu informatii incomplete vor fi discutate mai jos.

Funcția caracteristică

În jocurile cooperative cu utilitate transferabilă, adică posibilitatea de a transfera fonduri de la un jucător la altul, este imposibil să se aplice conceptul plăți individuale. În schimb, se folosește o așa-numită funcție caracteristică, care determină profitul fiecărei coaliții de jucători. Se presupune că câștigul coaliției goale este zero.

Baza acestei abordări poate fi găsită în cartea lui von Neumann și Morgenstern. Studiind forma normală pentru jocurile de coaliție, ei au motivat că dacă un joc cu două părți formează o coaliție C, atunci coaliția se opune N \ C. Este ca un joc pentru doi jucători. Dar, deoarece există multe opțiuni pentru posibile coaliții (și anume 2 N, Unde N- numărul de jucători), apoi câștigurile pentru C vor fi unele cantitate caracteristică, în funcție de componența coaliției. Formal, un joc în această formă (numit și joc TU) este reprezentat de o pereche (N, v), Unde N- setul tuturor jucătorilor și v: 2 N → R este o funcție caracteristică.

Această formă de reprezentare poate fi utilizată pentru toate jocurile, inclusiv pentru cele fără utilitate transferabilă. În prezent, există modalități de a converti orice joc de la forma normală la forma caracteristică, dar transformarea inversă nu este posibilă în toate cazurile.

Aplicarea teoriei jocurilor

Teoria jocurilor, ca una dintre abordările din matematica aplicată, este folosită pentru a studia comportamentul oamenilor și animalelor în diferite situații. Inițial, teoria jocurilor a început să se dezvolte în cadrul acestui cadru stiinta economica, permițându-ne să înțelegem și să explicăm comportamentul agenților economici în diverse situații. Mai târziu, domeniul de aplicare al teoriei jocurilor a fost extins la alte științe sociale; Teoria jocurilor este folosită în prezent pentru a explica comportamentul uman în științe politice, sociologie și psihologie. Analiza teoretică a jocurilor a fost folosită pentru prima dată pentru a descrie comportamentul animal de către Ronald Fisher în anii 1930 (deși chiar și Charles Darwin a folosit idei de teoria jocurilor fără o justificare formală). Termenul „teoria jocurilor” nu apare în lucrarea lui Ronald Fisher. Cu toate acestea, munca a fost realizată în esență în conformitate cu analiza teoretică a jocurilor. Evoluțiile făcute în economie au fost aplicate de John Maynard Smith în cartea sa Evolution and the Theory of Games. Teoria jocurilor nu este folosită doar pentru a prezice și explica comportamentul; Au fost făcute încercări de a folosi teoria jocurilor pentru a dezvolta teorii ale comportamentului etic sau standard. Economiștii și filozofii au folosit teoria jocurilor pentru a înțelege mai bine comportamentul bun.

Descriere și modelare

Teoria jocurilor a fost folosită inițial pentru a descrie și modela comportamentul populațiilor umane. Unii cercetători consideră că, prin determinarea echilibrului jocurilor adecvate, pot prezice comportamentul populațiilor umane în situații de confruntare reală. Această abordare a teoriei jocurilor a fost recent criticată din mai multe motive. În primul rând, ipotezele utilizate în modelare sunt adesea încălcate în viata reala. Cercetătorii pot presupune că jucătorii aleg comportamente care își maximizează beneficiul total (modelul economic uman), dar, în practică, comportamentul uman nu îndeplinește adesea această ipoteză. Există multe explicații pentru acest fenomen - iraționalitate, simulare de discuții și chiar diferite motive ale jucătorilor (inclusiv altruism). Autorii modelelor teoretice ale jocurilor contrapun acest lucru spunând că ipotezele lor sunt similare cu ipotezele similare din fizică. Prin urmare, chiar dacă ipotezele lor nu sunt întotdeauna îndeplinite, teoria jocurilor poate fi folosită ca un model ideal rezonabil, similar acelorași modele din fizică. Cu toate acestea, teoria jocurilor a primit un nou val de critici atunci când experimentele au arătat că oamenii nu urmează strategiile de echilibru în practică. De exemplu, în jocurile „Centipede” și „Dictator”, participanții adesea nu folosesc profilul de strategie care constituie echilibrul Nash. Dezbaterea continuă cu privire la semnificația unor astfel de experimente. O altă părere este că echilibrul Nash nu este o predicție a comportamentului așteptat, ci doar explică de ce populațiile aflate deja în echilibrul Nash rămân în acea stare. Cu toate acestea, întrebarea cum ajung aceste populații la echilibrul Nash rămâne deschisă. Unii cercetători au apelat la teoria jocurilor evoluționiste pentru a răspunde la această întrebare. Modelele evolutive ale teoriei jocurilor presupun raționalitatea sau iraționalitatea limitată a jucătorilor. În ciuda numelui, teoria jocurilor evoluționiste nu este atât de preocupată de chestiunile de selecție naturală a speciilor biologice. Această ramură a teoriei jocurilor studiază modele de evoluție biologică și culturală, precum și modele ale procesului de învățare.

Analiza normativă (identificarea celui mai bun comportament)

Pe de altă parte, mulți cercetători văd teoria jocurilor nu ca pe un instrument de predicție a comportamentului, ci ca pe un instrument de analiză a situațiilor pentru a identifica cel mai bun comportament pentru un jucător rațional. Deoarece echilibrul Nash implică strategii care sunt cel mai bun răspuns la comportamentul celuilalt jucător, utilizarea conceptului de echilibru Nash pentru a selecta comportamentul pare destul de rezonabilă. Cu toate acestea, această utilizare a modelelor teoretice de joc a fost, de asemenea, criticată. În primul rând, în unele cazuri, este profitabil pentru un jucător să aleagă o strategie care nu face parte din echilibru dacă se așteaptă ca și alți jucători să nu urmeze strategiile de echilibru. În al doilea rând, joc celebru Dilema prizonierului oferă un alt contraexemplu. În Dilema Prizonierului, urmărirea interesului propriu are ca rezultat ambii jucători să ajungă într-o situație mai proastă decât dacă ar fi sacrificat interesul propriu.

Tipuri de jocuri

Cooperative și necooperative

Jocul se numește cooperativ, sau coaliţie, dacă jucătorii se pot uni în grupuri, asumându-și anumite obligații față de alți jucători și coordonându-și acțiunile. Acest lucru diferă de jocurile necooperante în care fiecare trebuie să joace pentru ei înșiși. Jocurile de divertisment sunt rareori cooperante, dar astfel de mecanisme nu sunt neobișnuite în viața de zi cu zi.

Se presupune adesea că ceea ce face jocurile cooperative diferite este capacitatea jucătorilor de a comunica între ei. În general, acest lucru nu este adevărat. Există jocuri în care comunicarea este permisă, dar jucătorii urmăresc scopuri personale și invers.

Dintre cele două tipuri de jocuri, cele non-cooperante descriu situații în detaliu și produc rezultate mai precise. Cooperativele consideră procesul de joc ca un întreg. Încercările de a combina cele două abordări au dat rezultate considerabile. Așa-zisul Programul Nash a găsit deja soluții la unele jocuri cooperative ca situații de echilibru ale jocurilor necooperative.

Jocurile hibride includ elemente ale jocurilor cooperative și non-cooperative. De exemplu, jucătorii pot forma grupuri, dar jocul se va juca într-un stil necooperant. Aceasta înseamnă că fiecare jucător va urmări interesele grupului său, încercând în același timp să obțină câștig personal.

Simetric și asimetric

Articolul principal: Joc simetric

Jocul va fi simetric atunci când strategiile corespunzătoare ale jucătorilor sunt egale, adică au aceleași plăți. Cu alte cuvinte, dacă jucătorii pot schimba locurile și câștigurile lor pentru aceleași mișcări nu se vor schimba. Multe jocuri pentru doi jucători studiate sunt simetrice. În special, acestea sunt: ​​„Dilema prizonierului”, „Vânătoarea de căprioare”, „Șoimi și porumbei”. Jocurile asimetrice includ „Ultimatum” sau „Dictator”.

În exemplul din dreapta, jocul la prima vedere poate părea simetric datorită strategiilor similare, dar nu este cazul - la urma urmei, câștigul celui de-al doilea jucător cu profiluri de strategie (A, A) și (B, B) va fi mai mare decât cea a primei.

Sumă zero și sumă diferită de zero

Jocuri cu sumă zero- varietate deosebită jocuri cu sumă constantă, adică cele în care jucătorii nu pot crește sau micșora resursele disponibile, sau fondul de joc. În acest caz, suma tuturor câștigurilor este egală cu suma tuturor pierderilor pentru orice mutare. Privește în dreapta - numerele reprezintă plăți către jucători - iar suma lor din fiecare celulă este zero. Exemple de astfel de jocuri includ pokerul, în care unul câștigă toate pariurile celorlalți; reversi, unde sunt capturate piesele adversarului; sau banala furt.

Multe jocuri studiate de matematicieni, inclusiv deja menționată „Dilema prizonierului”, sunt de alt fel: în jocuri cu sumă diferită de zero Câștigul unui jucător nu înseamnă neapărat pierderea altuia și invers. Rezultatul unui astfel de joc poate fi mai mic sau mai mare decât zero. Astfel de jocuri pot fi convertite în sumă zero - acest lucru se face prin introducere jucător fictiv, care „își însușește” surplusul sau compensează lipsa de fonduri.

Un alt joc cu o sumă diferită de zero este comerţul, unde fiecare participant beneficiază. Lat exemplu celebru, unde scade, este

Un exemplu amuzant de aplicare a teoriei jocurilor este în cartea de fantezie „The Brave Golem” de Anthony Pearce.

Mult text

„Scopul a ceea ce sunt pe cale să vă demonstrez tuturor”, a început Grundy, „este să se stabilească cantitatea necesară puncte. Scorurile pot fi foarte diferite - totul depinde de combinația de decizii luate de participanții la joc. De exemplu, să presupunem că fiecare participant depune mărturie împotriva colegului său. În acest caz, fiecărui participant i se poate acorda un punct!
- Un punct! – spuse Vrăjitoarea Mării, arătând un interes neașteptat pentru joc. Evident, vrăjitoarea voia să se asigure că golemul nu avea nicio șansă să-l facă pe demonul Xanth fericit cu el.
– Acum să presupunem că fiecare dintre participanții la joc nu depune mărturie împotriva prietenului său! – a continuat Grundy. – În acest caz, fiecărei persoane i se pot acorda trei puncte. Vreau să remarc în mod special că, atâta timp cât toți participanții acționează în același mod, li se acordă același număr de puncte. Nimeni nu are niciun avantaj față de altul.
- Trei puncte! – spuse a doua vrăjitoare.
– Dar acum avem dreptul să sugerăm că unul dintre jucători a început să depună mărturie împotriva celui de-al doilea, dar al doilea încă tăce! – spuse Grundy. - În acest caz, cel care dă această mărturie primește cinci puncte deodată, iar cel care tăce nu primește niciun punct!
- Da! – au exclamat ambele vrăjitoare într-un glas, lingându-și buzele prădător. Era clar că ambii aveau să obțină cinci puncte.
– Mi-am tot pierdut ochelarii! – a exclamat demonul. – Dar ai doar schițat situația și nu ai prezentat încă o modalitate de a o rezolva! Deci care este strategia ta? Nu trebuie să pierdeți timpul!
- Stai, acum iti explic totul! - a exclamat Grundy. „Fiecare dintre noi patru – suntem doi golem și două vrăjitoare – vom lupta împotriva adversarilor noștri. Desigur, vrăjitoarele vor încerca să nu cedeze nimănui în nimic...
- Cu siguranță! – au exclamat din nou ambele vrăjitoare la unison. Au înțeles perfect golemul dintr-o privire!
— Și al doilea golem îmi va urma tactica, continuă Grundy calm. S-a uitat la dubla lui. - Desigur, știi?
- Da sigur! Sunt copia ta! Înțeleg perfect ce crezi!
- Asta e grozav! În acest caz, să facem prima mișcare, astfel încât demonul să poată vedea totul de la sine. Vor fi mai multe runde în fiecare luptă, astfel încât întreaga strategie să poată fi realizată pe deplin și să dea impresia unui sistem complet. Poate ar trebui să încep.

– Acum fiecare dintre noi trebuie să-și marcheze bucățile de hârtie! – golemul se întoarse către vrăjitoare. – Mai întâi ar trebui să desenezi o față zâmbitoare. Aceasta va însemna că nu vom depune mărturie împotriva unui coleg de prizonier. Puteți desena și o față încruntă, ceea ce înseamnă că ne gândim doar la noi și dăm dovezile necesare împotriva tovarășului nostru. Amândoi ne dăm seama că ar fi mai bine dacă nimeni nu s-ar dovedi a fi aceeași față încruntă, dar, pe de altă parte, o față încruntă primește anumite avantaje față de una zâmbitoare! Dar ideea este că fiecare dintre noi nu știe ce va alege celălalt! Nu vom ști până când partenerul nostru de joc nu-și dezvăluie desenul!
- Începe, ticălosule! – înjură vrăjitoarea. Ea, ca întotdeauna, nu se putea lipsi de epitete abuzive!
- Gata! - a exclamat Grundy, desenând o față mare zâmbitoare pe bucata lui de hârtie, astfel încât vrăjitoarea să nu poată vedea ce desenase acolo. Vrăjitoarea a făcut-o să se miște, făcând și o față. Trebuie să ne gândim că cu siguranță a făcut o față neplăcută!
„Ei bine, acum tot ce trebuie să facem este să ne arătăm unul altuia desenele”, a anunțat Grundy. Întorcându-se, a deschis desenul publicului și l-a arătat în toate direcțiile, pentru ca toată lumea să poată vedea desenul. Mormăind ceva nemulțumit, Vrăjitoarea Mării a făcut același lucru.
După cum se așteptase Grundy, din desenul vrăjitoarei se uita o față furioasă și nemulțumită.
— Acum, dragi spectatori, spuse Grundy solemn, vedeți că vrăjitoarea a ales să depună mărturie împotriva mea. Nu am de gând să fac asta. Astfel, Vrăjitoarea Mării marchează cinci puncte. Și, în consecință, nu primesc niciun punct. Si aici…
Un zgomot ușor răsuna din nou printre rândurile de spectatori. Toată lumea simpatiza în mod clar cu golem și dorea cu pasiune ca Vrăjitoarea Mării să piardă.
Dar jocul tocmai a început! Dacă strategia lui ar fi corectă...
– Acum putem trece la turul doi! – anunță Grundy solemn. – Trebuie să repetăm ​​mișcările din nou. Toată lumea desenează chipul cel mai aproape de ei!
Și așa au făcut. Grundy purta acum o față mohorâtă și nemulțumită.
De îndată ce jucătorii și-au arătat desenele, publicul a văzut că amândoi făceau acum muțe furioase.
- Câte două puncte fiecare! – spuse Grundy.
- Şapte doi în favoarea mea! – strigă veselă vrăjitoarea. „N-ai să ieși de aici, nenorocitule!”
- Să începem din nou! - a exclamat Grundy. Au făcut un alt desen și le-au arătat publicului. Din nou aceleași fețe supărate.
– Fiecare dintre noi a repetat mișcarea anterioară, s-a comportat egoist și de aceea, mi se pare, este mai bine să nu acordăm nimănui puncte! – spuse golem.
– Dar eu tot conduc jocul! – spuse vrăjitoarea, frecându-și bucuroasă mâinile.
- Bine, nu face zgomot! – spuse Grundy. - Jocul nu s-a terminat. Să vedem ce se întâmplă! Așadar, dragă audiență, începem runda a patra!
Jucătorii au făcut din nou desene, arătând publicului ce desenaseră pe foile lor de hârtie. Ambele foi de hârtie au arătat din nou aceleași fețe malefice publicului.
- Opt - trei! – țipă vrăjitoarea, izbucnind în râs diabolic. „Ți-ai săpat propriul mormânt cu strategia ta stupidă, golem!”
- A cincea rundă! - a strigat Grundy. Același lucru s-a întâmplat ca și în rundele anterioare - fețe supărate din nou, doar scorul s-a schimbat - a devenit nouă - patru în favoarea vrăjitoarei.
– Acum ultima, a șasea rundă! - anunţă Grundy. Calculele sale preliminare au arătat că această rundă ar trebui să devină fatidică. Acum teoria trebuia confirmată sau infirmată de practică.
Câteva mișcări rapide și nervoase ale creionului pe hârtie - și ambele desene au apărut în fața ochilor publicului. Din nou două fețe, acum chiar și cu dinții descoperiți!
– Zece – cinci în favoarea mea! Jocul meu! Am castigat! – chicoti Vrăjitoarea Mării.

— Chiar ai câștigat, aprobă Grundy sumbru. Publicul a tăcut de rău augur.
Demonul și-a mișcat buzele pentru a spune ceva.

- Dar competiția noastră nu sa încheiat încă! - a strigat Grundy tare. – Aceasta a fost doar prima parte a jocului.
- Să-ți ofere o veșnicie! – mormăi nemulțumit demonul Xanth.
- E corect! - spuse Grundy calm. – Dar o rundă nu rezolvă nimic, doar metodicitatea indică cel mai bun rezultat.
Golemul se apropie acum de cealaltă vrăjitoare.
– Mi-ar plăcea să joc această rundă cu un alt adversar! - a anuntat el. – Fiecare dintre noi va înfățișa chipuri, așa cum a fost data anterioară, apoi vom demonstra ce am atras publicului!
Așa au făcut-o. Rezultatul a fost același ca data trecută - Grundy a desenat o față zâmbitoare, iar vrăjitoarea doar un craniu. Ea a câștigat imediat un avantaj complet de cinci puncte, lăsându-l pe Grundy în urmă.
Cele cinci runde rămase s-au încheiat cu rezultatele la care se putea aștepta. Încă o dată scorul a fost zece - cinci în favoarea Vrăjitoarei Mării.
– Golem, îmi place foarte mult strategia ta! – râse vrăjitoarea.
– Deci, ați urmărit două runde ale jocului, dragi telespectatori! - a exclamat Grundy. „Astfel, am marcat zece puncte, iar rivalii mei au marcat douăzeci!”
Publicul, care număra și puncte, a dat din cap cu jale. Numărul lor se potrivea cu cel al golemului. Doar norul numit Fracto părea foarte încântat, deși, bineînțeles, nici nu o simpatiza pe vrăjitoare.
Dar Rapunzel i-a zâmbit aprobator golemului - ea a continuat să creadă în el. S-ar putea să fie singura care l-a crezut acum. Grundy spera că va justifica această încredere nemărginită.
Acum Grundy s-a apropiat de al treilea adversar al său - dubla lui. El urma să fie ultimul său adversar. Mâzgălindu-și rapid creioanele pe hârtie, golemii au arătat bucățile de hârtie publicului. Toată lumea a văzut două fețe care râdeau.
– Vă rugăm să rețineți, dragi telespectatori, fiecare dintre noi a ales să fie un bun coleg de celulă! - a exclamat Grundy. „Și, prin urmare, niciunul dintre noi nu a primit avantajul necesar față de adversarii noștri în acest joc.” Așa că amândoi obținem trei puncte și trecem în runda următoare!
A început runda a doua. Rezultatul a fost același ca și data anterioară. Apoi rundele rămase. Și în fiecare rundă, ambii adversari au marcat din nou trei puncte! A fost pur și simplu incredibil, dar publicul era gata să confirme tot ce se întâmpla.

În cele din urmă, această rundă a luat sfârșit și Grundy, trecând rapid creionul peste hârtie, a început să calculeze rezultatul. În cele din urmă, el a anunțat solemn:
- De la optsprezece la optsprezece! În total, am marcat douăzeci și opt de puncte, în timp ce adversarii mei au marcat treizeci și opt!
„Deci ai pierdut”, a anunțat cu bucurie Vrăjitoarea Mării. – Astfel, unul dintre noi va deveni câștigător!
- Pot fi! – a răspuns Grundy calm. Acum venea altul punct important. Daca totul decurge conform planului...
– Trebuie să punem capăt acestei chestiuni! – a exclamat al doilea golem. – De asemenea, mai trebuie să mă lupt cu două Vrăjitoare ale Mării! Jocul nu s-a terminat încă!
- Da, bineînțeles, haide! – spuse Grundy. – Dar doar ghidați-vă de strategie!
- Da sigur! – și-a asigurat dubla.
Acest golem s-a apropiat de una dintre vrăjitoare și a început turul. S-a încheiat cu același rezultat cu care Grundy însuși a ieșit dintr-o rundă similară - scorul a fost zece la cinci în favoarea vrăjitoarei. Vrăjitoarea a radiat de fapt de o bucurie inexprimată, iar publicul a tăcut morocănos. Demon Xanth părea oarecum obosit, ceea ce nu era un prevestitor prea bun.
Acum era timpul pentru runda finală - o vrăjitoare a trebuit să lupte împotriva celei de-a doua. Fiecare avea douăzeci de puncte, pe care le-a putut obține luptând cu golemi.
„Și acum, dacă îmi permiteți să obțin măcar câteva puncte în plus...” îi șopti Vrăjitoarea Mării, conspirativ, la dubla ei.
Grundy a încercat să rămână calm, cel puțin în exterior, deși un uragan de sentimente conflictuale năvăli în sufletul lui. Norocul lui depindea acum de cât de corect a prezis comportamentul posibil al ambelor vrăjitoare - la urma urmei, caracterul lor era, în esență, același!
Acum a venit poate cel mai critic moment. Dar dacă a greșit?
- De ce naiba ar trebui sa cedez in fata ta! – a grăunt a doua vrăjitoare către prima. – Eu însumi vreau să fac mai multe puncte și să plec de aici!
„Ei bine, dacă te comporți atât de obscen”, a țipat solicitantul, „atunci te voi bate ca să nu mai fii ca mine!”
Vrăjitoarele, aruncându-se priviri pline de ură, și-au desenat desenele și le-au arătat publicului. Desigur, nimic altceva decât două cranii ar fi putut fi acolo! Fiecare a marcat un punct.
Vrăjitoarele, împrăștiindu-se reciproc cu blesteme, au început runda a doua. Rezultatul este din nou același - din nou două cranii desenate stângaci. Vrăjitoarele au mai înscris astfel un punct. Publicul a înregistrat totul cu sârguință.
Acest lucru a continuat și în viitor. Când runda s-a încheiat, vrăjitoarele obosite au descoperit că fiecare înscriseseră șase puncte. Desenează din nou!
– Acum să calculăm rezultatele și să comparăm totul! – spuse Grundy triumfător. – Fiecare dintre vrăjitoare a obținut douăzeci și șase de puncte, iar golemii au marcat douăzeci și opt de puncte. Deci ce avem? Și avem rezultatul că golemii au mai multe puncte!
Un oftat de surpriză a cuprins rândurile de spectatori. Spectatorii încântați au început să scrie coloane de numere pe bucățile lor de hârtie, verificând exactitatea calculului. În acest timp, mulți pur și simplu nu au numărat numărul de puncte marcate, crezând că știau deja rezultatul jocului. Ambele vrăjitoare au început să mârâie de indignare, nu este clar pe cine anume au dat vina pentru cele întâmplate. Ochii demonului Xant s-au luminat din nou cu un foc precaut. Încrederea lui era justificată!
„Vă rog, dragă audiență, să acordați atenție faptului”, ridică Grundy mâna, cerând publicului să se calmeze, „că niciun golem nu a câștigat o singură rundă”. Dar victoria finală va aparține în continuare unuia dintre noi, golemii. Rezultatele vor fi mai grăitoare dacă competiția continuă! Vreau să spun, dragii mei telespectatori, că în eternul duel strategia mea se va dovedi invariabil câștigătoare!
Demonul Xanth a ascultat cu interes ceea ce spunea Grundy. În cele din urmă, scoţând nori de abur, deschise gura:
– Care este mai exact strategia ta?
– Îi spun „Fii ferm, dar corect”! - a explicat Grundy. – Încep jocul sincer, dar apoi încep să pierd pentru că întâlnesc parteneri foarte specifici. Prin urmare, în primul tur, când se dovedește că Vrăjitoarea Mării începe să depună mărturie împotriva mea, eu rămân automat învins în runda a doua - și asta continuă până la final. Rezultatul poate fi diferit dacă vrăjitoarea își schimbă tactica de a juca. Dar din moment ce acest lucru nici nu i-a putut trece prin cap, am continuat să jucăm conform modelului anterior. Când am început să joc cu dubla mea, el m-a tratat bine, iar eu l-am tratat bine în runda următoare a jocului. Prin urmare, și jocul nostru a mers diferit și oarecum monoton, din moment ce nu am vrut să schimbăm tactica...
– Dar nu ai câștigat nicio rundă! – obiectă surprins demonul.
– Da, și aceste vrăjitoare nu au pierdut nici măcar o rundă! – a confirmat Grundy. – Dar victoria nu revine automat celui care are rundele rămase. Victoria revine celui care marchează cele mai multe puncte, dar aceasta este o cu totul altă chestiune! Am reușit să fac mai multe puncte când am jucat cu dubla mea decât când am jucat cu vrăjitoarele. Atitudinea lor egoistă le-a adus o victorie de moment, dar pe termen lung, s-a dovedit că tocmai din această cauză au pierdut amândoi întregul joc. Acest lucru se întâmplă des!

De la popularul blog american Cracked.

Teoria jocurilor se referă la studiul modalităților de a face cea mai bună mișcare și, ca rezultat, de a obține cât mai mult posibil din plăcinta câștigătoare, tăind o parte din ea de la alți jucători. Te învață să analizezi mulți factori și să tragi concluzii echilibrate logic. Cred că ar trebui studiat după numere și înainte de alfabet. Pur și simplu pentru că prea mulți oameni iau decizii importante bazate pe intuiție, profeții secrete, locația stelelor și altele asemenea. Am studiat temeinic teoria jocurilor și acum vreau să vă spun despre elementele de bază ale acesteia. Poate că acest lucru va adăuga ceva bun simț în viața ta.

1. Dilema prizonierului

Berto și Robert au fost arestați pentru jaf de bancă după ce nu au folosit în mod corespunzător o mașină furată pentru a scăpa. Polițiștii nu pot dovedi că ei au fost cei care au jefuit banca, dar i-au prins în flagrant într-o mașină furată. Au fost duși în camere diferite și fiecăruia i s-a oferit o înțelegere: să predea un complice și să-l trimită la închisoare pentru 10 ani și să fie eliberat el însuși. Dar dacă amândoi se trădează unul pe celălalt, atunci fiecare va primi 7 ani. Dacă nimeni nu spune nimic, atunci amândoi vor merge la închisoare pentru 2 ani doar pentru furt de mașină.

Fiecare prizonier este un jucător, iar beneficiul fiecăruia poate fi exprimat ca o „formulă” (ce primesc amândoi, ce primește celălalt). De exemplu, dacă te lovesc, modelul meu de câștig ar arăta așa (obțin un câștig dur, suferi multă durere). Deoarece fiecare deținut are două opțiuni, putem prezenta rezultatele într-un tabel.

Aplicație practică: Identificarea sociopaților

Aici vedem aplicația principală a teoriei jocurilor: identificarea sociopaților care se gândesc doar la ei înșiși. Teoria jocurilor adevărate este un instrument analitic puternic, iar amatorismul servește adesea drept un steag roșu care semnalează pe cineva care nu are simțul onoarei. Oamenii care fac calcule intuitive cred că este mai bine să faci ceva urât pentru că va avea ca rezultat o pedeapsă mai scurtă cu închisoarea indiferent de ceea ce face celălalt jucător. Din punct de vedere tehnic, acest lucru este corect, dar numai dacă ești o persoană miop care prețuiește numerele în detrimentul vieților umane. Acesta este motivul pentru care teoria jocurilor este atât de populară în finanțe.

Adevărata problemă cu dilema prizonierului este că ignoră datele. De exemplu, nu ia în considerare posibilitatea de a vă întâlni cu prietenii, rudele sau chiar creditorii persoanei pe care ați trimis-o la închisoare timp de 10 ani.

Partea cea mai gravă este că toți cei implicați în dilema prizonierului se comportă de parcă nu ar fi auzit niciodată de ea.

Și cea mai bună mișcare este să taci, iar după doi ani, împreună cu un bun prieten, să folosești aceiași bani.

2. Strategia dominantă

Aceasta este o situație în care acțiunile tale dau cel mai mare profit, indiferent de acțiunile adversarului tău. Indiferent ce s-ar întâmpla, ai făcut totul bine. Acesta este motivul pentru care mulți oameni cu Dilema Prizonierului cred că trădarea duce la cel mai bun rezultat, indiferent de ceea ce face cealaltă persoană, iar ignoranța realității inerentă acestei metode face ca aceasta să pară super ușoară.

Majoritatea jocurilor pe care le jucăm nu au strategii strict dominante, pentru că altfel ar fi groaznice. Imaginează-ți dacă ai face mereu același lucru. Nu există o strategie dominantă în jocul piatră-hârtie-foarfecă. Dar dacă te-ai juca cu o persoană care avea mănuși de cuptor și ar putea arăta doar piatră sau hârtie, ai avea o strategie dominantă: hârtie. Hârtia ta va înfășura piatra lui sau va duce la o remiză și nu poți pierde pentru că adversarul tău nu poate arăta foarfecele. Acum că ai o strategie dominantă, ai fi prost să încerci ceva diferit.

3. Bătălia sexelor

Jocurile sunt mai interesante atunci când nu au o strategie strict dominantă. De exemplu, bătălia sexelor. Anjali și Borislav merg la o întâlnire, dar nu pot alege între balet și box. Anjali iubește boxul pentru că îi place să vadă sângele curgând spre încântarea unei mulțimi de spectatori care țipă, care se cred civilizați doar pentru că au plătit pentru ca capul cuiva să fie zdrobit.

Borislav vrea să se uite la balet pentru că înțelege că balerinii trec printr-un număr mare de accidentări și antrenamente dificile, știind că o singură accidentare poate pune capăt tuturor. Dansatorii de balet sunt cei mai mari sportivi de pe Pământ. O balerină te poate da cu piciorul în cap, dar nu o va face niciodată, pentru că piciorul ei valorează mult mai mult decât fața ta.

Fiecare dintre ei vrea să meargă la evenimentul preferat, dar nu vrea să se bucure de el singur, așa că modelul lor câștigător este: valoarea cea mai mare este să facă ceea ce îi place, cea mai mică valoare este doar să fii cu o altă persoană și zero este să fii singur. .

Unii oameni sugerează o îndârjire încăpățânată: dacă faci ceea ce vrei, indiferent de ce, cealaltă persoană trebuie să se conformeze alegerii tale sau să piardă totul. După cum am spus deja, teoria jocurilor simplificată este grozavă la identificarea proștilor.

Aplicație practică: Evitați colțurile ascuțite

Desigur, această strategie are și dezavantajele ei semnificative. În primul rând, dacă îți tratezi întâlnirile ca pe o „bătălie a sexelor”, nu va funcționa. Despărțiți-vă pentru ca fiecare dintre voi să găsească pe cineva care îi place. Și a doua problemă este că, în această situație, participanții sunt atât de nesiguri pe ei înșiși încât nu pot face acest lucru.

Strategia cu adevărat câștigătoare pentru fiecare este să facă ceea ce vrea. iar după, sau a doua zi, când sunt liberi, mergeți împreună la o cafenea. Sau alternează între box și balet până când apare o revoluție în lumea divertismentului și se inventează baletul de box.

4. Echilibru Nash

Un echilibru Nash este un set de mișcări în care nimeni nu vrea să facă ceva diferit după fapt.Și dacă o putem face să funcționeze, teoria jocurilor va înlocui întregul sistem filozofic, religios și financiar de pe planetă, pentru că „dorința de a nu se frânge” a devenit o forță motrice mai puternică pentru umanitate decât focul.

Să împărțim rapid 100 USD. Tu și cu mine decidem câte dintre sutele ne solicităm și în același timp anunțăm sumele. Dacă totalul nostru este mai mic de o sută, fiecare primește ceea ce și-a dorit. Dacă totalul este mai mare de o sută, cel care a cerut cea mai mică sumă primește suma pe care și-a dorit-o, iar cel mai lacom primește ce a mai rămas. Dacă cerem aceeași sumă, toată lumea primește 50 de dolari. Cât vei cere? Cum vei împărți banii? Există o singură mișcare câștigătoare.

Solicitarea de 51 USD vă va oferi suma maximă, indiferent de ce alege adversarul dvs. Dacă va cere mai mult, veți primi 51 USD. Dacă el cere 50 sau 51 USD, vei primi 50 USD. Și dacă el cere mai puțin de 50 de dolari, vei primi 51 de dolari. Oricum, nu există altă opțiune care să vă facă mai mulți bani decât aceasta. Echilibrul Nash - o situație în care amândoi alegem 51 USD.

Aplicație practică: Gândește mai întâi

Acesta este scopul teoriei jocurilor. Nu trebuie să câștigi, cu atât mai puțin să faci rău altor jucători, dar trebuie să faci cea mai bună mișcare pentru tine, indiferent de ceea ce îți rezervă cei din jur. Și este și mai bine dacă această mișcare este benefică pentru alți jucători. Acesta este genul de matematică care ar putea schimba societatea.

O variație interesantă a acestei idei este băutul, care poate fi numit un echilibru Nash dependent de timp. Când bei suficient, nu îți pasă de acțiunile altora, indiferent de ceea ce fac ei, dar a doua zi chiar regreti că nu ai făcut ceva diferit.

5. Joc de aruncare

Tragerea la sorți se joacă între Jucătorul 1 și Jucătorul 2. Fiecare jucător alege simultan capete sau cozi. Dacă ghicesc corect, jucătorul 1 primește banul jucătorului 2. Dacă nu, jucătorul 2 primește moneda jucătorului 1.

Matricea câștigătoare este simplă...

...strategie optimă: jucați complet la întâmplare. Este mai greu decât crezi pentru că alegerea trebuie să fie complet aleatorie. Dacă ai o preferință de cap sau cozi, adversarul tău o poate folosi pentru a-ți lua banii.

Desigur, adevărata problemă aici este că ar fi mult mai bine dacă s-ar arunca doar cu un ban unul în celălalt. Drept urmare, profiturile lor ar fi aceleași, iar trauma rezultată ar putea ajuta acești oameni nefericiți să simtă altceva decât o plictiseală teribilă. La urma urmei, acesta este cel mai prost joc vreodată. Și acesta este modelul ideal pentru loviturile de departajare.

Aplicație practică: penalizare

În fotbal, hochei și multe alte jocuri, prelungirile sunt lovituri de departajare. Și ar fi mai interesante dacă s-ar baza pe de câte ori jucătorii în formă completă ar putea face roata căruței, pentru că asta ar fi cel puțin un indicator al abilității lor fizice și ar fi distractiv de urmărit. Portarii nu pot determina clar mișcarea unei mingi sau a pucului chiar la începutul mișcării sale, deoarece, din păcate, roboții încă nu participă la competițiile noastre sportive. Portarul trebuie să aleagă direcția din stânga sau din dreapta și să spere că alegerea sa se potrivește cu alegerea adversarului care șutează la poartă. Acest lucru are ceva în comun cu jocul cu monede.

Totuși, rețineți că acesta nu este un exemplu perfect al asemănării cu jocul de cap și coadă, deoarece chiar și cu direcția corectă, portarul poate să nu prindă mingea, iar atacantul să nu lovească poarta.

Deci, care este concluzia noastră conform teoriei jocurilor? Jocurile cu mingea ar trebui să se încheie într-o manieră „multi-bile”, în care în fiecare minut jucătorilor unu-la-unu li se oferă o minge/puc suplimentar până când o parte atinge un anumit rezultat, care este un indiciu al adevăratei aptitudini ale jucătorilor și nu o coincidență spectaculoasă întâmplătoare.

La sfârșitul zilei, teoria jocurilor ar trebui să fie folosită pentru a face jocul mai inteligent. Ceea ce înseamnă că e mai bine.

Ce sunt radicalii liberi?

De ce, dacă amesteci toate culorile, obții maro și nu alb, pentru că albul conține toate culorile?

7 fapte neașteptate despre lumea din jurul nostru

O lume minunata

10 fapte uimitoare despre gândirea câinilor